RAN1 - Calcul - Cours
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Calcul et raisonnement Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisonnement Cours Page 1 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement OBJECTIFS généraux de la remise à niveau : - redécouvrir les outils fondamentaux et en améliorer la maîtrise favoriser la démarche d’approche des problèmes PRINCIPES DE BASE : - Dans l’industrie, la problématique pour le cadre est de pouvoir « associer », « appréhender » de nombreux paramètres et de prendre une décision ! - Dans l’industrie, il y a pour l’ingénieur ou le cadre la nécessité de mettre en équation une situation donnée, puis de savoir résoudre une équation – trouver une solution d’une manière exacte ou par approximations -, de savoir étudier des variations pour trouver un optimum, de savoir calculer une grandeur. - De même que l’on construit un mur en partant du sol, il est essentiel d’avoir une bonne maîtrise des bases du calcul et de l’analyse. CONSEILS : Entraînez-vous très régulièrement tout au long de votre parcours ; Surfez sur Internet pour découvrir plusieurs angles d’attaque : http://www.chronomath.com http://www.bibmath.net/ http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/index.htm#Top http://www.bacamaths.net/ et mille autres… Page 2 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1 Calcul numérique____________________________________________________________ 5 1.1 Définitions de base ______________________________________________________ 5 1.2 Puissances d’un nombre __________________________________________________ 1.2.1 Puissances entières positives______________________________________________ 1.2.2 Puissances entières négatives _____________________________________________ 1.2.3 Formules relatives à la notation puissance ___________________________________ 1.2.4 Radicaux et puissances inverses ___________________________________________ 1.2.5 Puissances fractionnaires ________________________________________________ 1.2.6 Puissances entières de 10 ________________________________________________ 7 7 7 8 8 8 9 1.3 Grandes et petites valeurs, ordre de grandeur ________________________________ 9 1.3.1 Ecriture scientifique d’un nombre _________________________________________ 9 1.3.2 Notation de l’ingénieur d’un nombre ______________________________________ 10 1.3.3 Ordre de grandeur d’un nombre __________________________________________ 10 1.4 Calcul fractionnaire ____________________________________________________ 1.4.1 Simplification de fractions ______________________________________________ 1.4.2 Multiplications et divisions ______________________________________________ 1.4.3 Additions ____________________________________________________________ 11 11 12 12 1.5 Proportions et pourcentages _____________________________________________ 1.5.1 Listes et grandeurs proportionnelles _______________________________________ 1.5.2 Listes et grandeurs inversement proportionnelles_____________________________ 1.5.3 Pourcentages fixes ____________________________________________________ 1.5.4 Pourcentages de variations ______________________________________________ 13 13 16 17 18 1.6 Opérateur somme ______________________________________________________ 19 1.7 Différents types de moyennes _____________________________________________ 20 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 1.7.5 2 x moyenne arithmétique ______________________________________________ moyenne géométrique G ________________________________________________ moyenne harmonique h _________________________________________________ moyenne quadratique s _________________________________________________ Comparaison des différentes moyennes ____________________________________ 20 20 20 21 21 1.8 Bases d’écritures _______________________________________________________ 1.8.1 Système romain _______________________________________________________ 1.8.2 Système décimal ______________________________________________________ 1.8.3 D’autres bases ________________________________________________________ 21 21 22 22 Calcul littéral ______________________________________________________________ 23 2.1 Mise en forme et définitions ______________________________________________ 23 2.1.1 forme d’une expression _________________________________________________ 23 2.1.2 Différents types de nombres _____________________________________________ 23 2.2 Calcul littéral dans des cas simples : _______________________________________ 2.2.1 Simplification de fractions ______________________________________________ 2.2.2 Formules rectangulaires et formules triangulaires ____________________________ 2.2.3 Identités remarquables _________________________________________________ 24 24 25 26 2.3 Polynômes ____________________________________________________________ 28 2.3.1 Généralités __________________________________________________________ 28 Page 3 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.3.2 2.3.3 2.3.4 Premier degré ________________________________________________________ 29 Second degré et équation associée ________________________________________ 30 Troisième degré ______________________________________________________ 31 2.4 Opérations sur les polynômes ____________________________________________ 2.4.1 Addition ____________________________________________________________ 2.4.2 Multiplication ________________________________________________________ 2.4.3 Division _____________________________________________________________ 3 32 32 32 34 Raisonnement et mise en équation _____________________________________________ 39 3.1 Raisonnement par récurrence ____________________________________________ 39 3.1.1 Principe : ____________________________________________________________ 39 3.1.2 Exemple ____________________________________________________________ 39 3.2 Mise en équation d’un problème __________________________________________ 40 3.2.1 Principe _____________________________________________________________ 40 3.2.2 Exemple ____________________________________________________________ 41 Page 4 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1 Calcul numérique 1.1 Définitions de base Nombre : notion fondamentale des mathématiques qui permet de compter, de classer des objets ou de mesurer des grandeurs, mais qui ne peut faire l’objet d’une définition stricte. Nombre entier naturel, entier relatif, rationnel… chacun des caractères servant à représenter les nombres. Chiffre : Nos chiffres, en « base 10 », sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Calcul : [du latin calculus, caillou] : mise en œuvre des règles élémentaires d’opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres La somme est le résultat d’une addition ; La différence est le résultat d’une soustraction ; Le produit est le résultat d’une multiplication (que l’on pourra noter × ou .) ; Le quotient est le résultat d’une division Opposé d’un nombre : L’opposé de A est le nombre, noté –A, tel que A + (-A) = 0. 0 est l’élément neutre de l’addition. Dans l’antiquité, il était impossible de concevoir que deux nombres, alors considérés comme exprimant des quantités d’objets, additionnés puissent donner un résultat nul. Les entiers « positifs » étaient tout simplement « naturels », et ces opposés ne l’étaient pas. Ils n’avaient pas de légitimité concrète. Il a fallu attendre que la géométrie devienne analytique pour que ces nombres « négatifs » prennent leur sens : repérer des points sur un plan, une carte, requiert une origine, et un point peut se trouver à gauche ou à droite de celle-ci. Les nombres ont alors exprimé autre chose que des quantités ou des longueurs : des déplacements (+ vers la droite, - vers la gauche). Additionner un nombre négatif est alors devenu naturellement « soustraire ». A + (-B) peut se noter A-B. (définition de la soustraction) Inverse d’un nombre : L’inverse de A est le nombre, noté A-1, tel que A × A-1 = 1. 1 est l’élément neutre de la multiplication. Multiplier un nombre A par l’inverse d’un nombre B sera appelé « diviser A par B » et A×B-1 se A notera . B 1 est une fraction de l’unité, une part, lorsque B est un entier supérieur ou égal à 1. B A se nomme fraction… puisque c’est une fraction de A. Par extension, B Page 5 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Ensembles de nombres : entiers naturels ℕ entiers positifs, y compris zéro. utilisés dès l'antiquité pour compter des objets et mesurer des quantités. entiers relatifs ℤ ensemble des entiers positifs ou négatifs, y compris zéro. Rationnels ℚ [ratio : rapport, division, fraction] ensemble des nombres qui sont fractions de deux entiers. Les décimales des rationnels, lorsqu’elles sont en nombre infini, ont la propriété d’être périodiques. Irrationnels ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. √2 n'est pas rationnel (cherchez la preuve !), π ou e non plus (ne cherchez pas). Réels ℝ ensemble des rationnels et des irrationnels, autrement dit tous les nombres simples existants. Complexes ℂ ensemble des couples (a, b) de deux réels, muni de deux « lois de composition internes » (qui en font un corps, celui des complexes) : l’addition, telle que (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d) et la multiplication, telle que (a, b)×(c, d) = (ac-bd, ad+bc). Les réels a et b sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du complexe (a, b). On assimile le sous-corps des complexes de type (a, 0) – muni des lois définies ci-dessus - au corps des réels a – muni de l’addition et de la multiplication « classiques ». Page 6 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.2 Puissances d’un nombre 1.2.1 Puissances entières positives Plutôt qu’écrire beaucoup de facteurs identiques, ou des nombres longs, on note : n où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) x × x ×⋯× x × x = x n facteurs Quel que soit le nombre réel x : x3 = x×x×x ; x2 = x×x ; x1 = x ; x0 = 1 (et donc 00 = 1) 102 = 103 = 105 = 109 = 100 = 10 × 10 1000 = 100 × 10 = 10 × 100 = 10 × 10 × 10 100000 = 100 × 1000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1000000000 = 1000 × 1000 × 1000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 10n possède n zéros. 1.2.2 Puissances entières négatives On peut remarquer que si m et n sont deux entiers naturels (donc positifs), alors xm ×xn = xm+n En effet, par exemple : x2 ×x4 = x×x × x×x×x×x = x6 Autorisons-nous à utiliser cette propriété avec des nombres négatifs, en cherchant en particulier le nombre a tel que x1 ×xa = x0 . Il vient a = -1 : x1 ×x-1 = x0 . x-1 n’est qu’une écriture symbolique, mais cette dernière égalité n’est autre que x ×x-1 = 1. x-1 , définition de l’inverse de x, est conforme à la notation puissance ! x −1 = 1 x De même, x-2 est l’inverse de x², x-3 est l’inverse de x³, et ainsi de suite. Pour tout entier relatif n : x−n = 1 xn 10-1 = 0,1 ; 10-3 = 0,001 ; 10-6 = 0,000 001 ….. 10-n possède n zéros. Page 7 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.2.3 Formules relatives à la notation puissance Des définitions et constatations précédentes découlent un ensemble de propriétés de la notation puissance : Pour tous entiers relatifs (+ ou -) a et b et pour tous réels x et y : xa = x a −b xb x a × xb = x a +b x × y = ( xy ) a a (x ) a b xa x = ya y a = x ab a Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, et que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ainsi : (a + b)n ≠ an + bn 1.2.4 Radicaux et puissances inverses Comme pour l’établissement des puissances entières négatives, nous pouvons travailler par convention à partir de la formule ( x Or ( ) 2 x De même, 2 =x ab 1 .2 1 et s’autoriser à écrire que x 2 = x 2 = x1 = x . 1 = x , donc 3 ) a b x = x 2 est une écriture cohérente. 1 1 3 x = x , et pour tout entier n positif : n x = xn 1.2.5 Puissances fractionnaires De tout ce qui précède découle l’existence des puissances fractionnaires : Pour p entier relatif et q entier naturel, x 3 2 Exemples : 4 = 4 = 8 , x 3 − 5 3 p q n’est autre que (x p ) = 3 x −5 = 1 3 x5 1 q = xp . q , x x = x1 × x 1 2 3 = x 2. Il est à noter que le formules données dans la partie I.2.3 sont valables pour ces puissances non entières. Page 8 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.2.6 Puissances entières de 10 On retiendra les préfixes associés à quelques puissances de 10, intervenant notamment dans l’écriture scientifique des nombres, dans divers domaines : cent 100 = 102 mille million 1000000 = 106 1000 = 103 milliard 1000000000 = 109 Préfixe Symbole Puissances de 10 Préfixe Symbole Puissances de 10 Exa E 1018 déci d 10-1 Péta P 1015 centi c 10-2 Téra T 1012 milli m 10-3 Giga G 109 micro µ 10-6 Méga M 106 nano n 10-9 kilo k 103 pico p 10-12 hecto h 102 femto f 10-15 déca da 101 atto a 10-18 1.3 Grandes et petites valeurs, ordre de grandeur Certains nombres, très grands ou très petits devant l’unité, gagnent à être écrits en employant une puissance de 10. Cela leur confère une meilleure lisibilité, par une lecture directe de cette puissance de 10. En effet, un nombre comme 112598647360000 n’est pas aisément déchiffrable par un cerveau humain, même après avoir pris le temps de créer des « groupes de 1000 » de droite à gauche : 112 598 647 360 000. 1.3.1 Ecriture scientifique d’un nombre L’écriture scientifique d’un nombre N consiste à trouver un décimal « a » et un entier relatif « n » tels que : 1 ≤ |a| < 10 N = a.10n Puis, a pouvant posséder un grand nombre de décimales, on peut décider de n’en écrire qu’une valeur approchée (choix d’un nombre de décimales, puis écriture de la valeur approchée par défaut, immédiatement inférieure à a, ou par excès, immédiatement supérieure) ou un arrondi (choix d’un nombre de décimales puis écriture de la valeur approchée la plus proche de a ; cas particulier : l’arrondi entier de 1,5 est 2, celui à trois décimales de 0,3125 est 0,313, etc.). La condition imposée sur a rend le couple (a, n) à trouver unique. Page 9 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Par exemple : l’écriture scientifique (unique, donc) de 12 850 est 1,285.104. (environ une dizaine de milliers) l’écriture scientifique de -0,055704 est -5,5704.10-2. (environ cinq centièmes) L’intérêt est dans un premier temps de voir si cette valeur s’exprime en milliers ou dizaines de milliers, centièmes ou millièmes, … 1.3.2 Notation de l’ingénieur d’un nombre Le style d’écriture de type « ingénieur » est basé sur le même principe que celui de l’écriture scientifique, mis à part que les puissances de 10 permises vont de 3 en 3, et que donc le nombre « a » sera compris en valeur absolue entre 1 et 1000 (exclu) : l’écriture de l’ingénieur (unique aussi) de 12 850 est 12,85.103. (environ 13 milliers) l’écriture de l’ingénieur de -0,055704 est –55,704.10-3. (environ 56 millièmes) En somme : alors que le scientifique parle en unités, dizaines, centaines, milliers, …, dixièmes, centièmes, millièmes, …, l’ingénieur préfère parler en unités, milliers, millions, milliards, …, millièmes, millionnièmes, milliardièmes, … Par exemple : 1.3.3 Ordre de grandeur d’un nombre Définition : l’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur 10n employée dans son écriture scientifique. On sortira de ce cadre strict pour rechercher un arrondi grossier d’un nombre et nommer « ordre de grandeur du nombre » le résultat. L’objectif de ce paragraphe est de vous permettre d’obtenir une valeur approximative, suffisamment juste pour raisonner, ce, le plus rapidement possible pour pouvoir, sur le vif, sans machine, avoir un ordre de grandeur suffisant pour prendre une décision. Il s’agit donc d’arrondir les valeurs issues d’un calcul à une précision « raisonnable » (d’ailleurs l’ordre de grandeur mathématique – voir définition - est rarement un arrondi de la valeur concernée). Exemple : le taux horaire de la machine est 412,10 € ; vous allez devoir arrêter la machine pendant 2h25min pour mettre en œuvre une amélioration. Quel est le coût de l’arrêt ? Le premier facteur dépasse légèrement 400 (en proportion de sa valeur) et le second est légèrement inférieur à 2,5 heures. On peut donc se permettre d’écrire : 412,10 × 2h25 ≈ 400 × 2,5 = 1000€. Le calcul exact donne : 995,91 € Page 10 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Lorsqu’on veut diviser deux valeurs, on s’attachera à les augmenter, ou bien à les diminuer, toutes les deux, de façon que le quotient ne soit pas trop modifié et que les nouvelles valeurs permettent un calcul rapide. Exemple : diviser 2327 par 579. On calculera le rapport 2400/600, qui vaut 4. Une valeur plus précise de 2327/579 est 4,019… 1.4 Calcul fractionnaire 1.4.1 Simplification de fractions * Définition : Les nombres premiers sont les entiers naturels qui possèdent exactement deux diviseurs. Conséquence : ces deux diviseurs sont donc 1 et le nombre lui-même et doivent être différents. Les nombres premiers compris entre 0 et 20 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. * Théorème : tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède une décomposition unique en facteurs premiers. Par exemple : 35 = 5×7 ; 63 = 3²×7 ; 130 = 2×5×13 ; 500 = 2²×5³ Aucune autre combinaison de nombres premiers ne peut donner 130, que la combinaison 2×5×13. * Pour aider à la décomposition manuelle d’un entier, il existe quelques critères de divisibilité simples à retenir et à appliquer : Un nombre est Critère divisible par 2 Il est pair 3 La somme de ses chiffres est divisible par 3 5 Son chiffre des unités est 0 ou 5 7 (nombre de dizaines) – (2×chiffre des unités) est divisible par 7 9 La somme de ses chiffres est divisible par 9 * Pour réduire une fraction, on doit diviser numérateur et dénominateur par le même nombre. Numériquement, on décompose en facteurs premiers : directement, 48 2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 4 48 8 × 6 8 2× 4 4 = = = ou par étapes, = = = = 60 2 × 2 × 3× 5 5 5 60 10 × 6 10 2 × 5 5 Lorsque plus aucun facteur premier n’est commun au numérateur et au dénominateur, plus aucune simplification n’est possible et la fraction est alors dite irréductible. Après avoir réduit une fraction, on peut aussi en dégager sa partie entière (l’entier immédiatement inférieur) : Page 11 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 125 5 × 25 25 3× 8 +1 1 = = = = 8 + = 8,3333... 15 × 8,333... = 125 15 5 × 3 3 3 3 16 3× 5 + 1 1 = = 3 + = 3, 2 5 × 3, 2 = 16 5 5 5 256 2 ×128 2 × 2 × 64 4 × 2 × 32 4 × 2 × 2 ×16 16 3× 5 + 1 1 = = = = = = = 5 + = 5,3333... 48 4 ×12 4× 4× 3 4× 4× 3 4× 4×3 3 3 3 256 = 32 × 5,333... 1.4.2 Multiplications et divisions On envisage ici les cas fraction×fraction, nombre×fraction, nombre/fraction, fraction/nombre, fraction/fraction. Dans le cas des divisions, la position du trait représentant la division est très importante : en face de l’égalité, sur la ligne d’écriture. On retiendra que diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. a ac ×c = b b ex : a b = a×1 = a c b c bc 2 8 ×4 = 3 3 ; a c ac × = b d bd 2 2 1 2 1 ex : 3 = × = = 4 3 4 12 6 a b = a × d = ad c b c bc d ; ex : 2 4 8 × = 3 5 15 a c ac = a× = b b b c ex : 2 4 8 = 2× = 3 3 3 4 2 2 5 10 5 ex : 3 = × = = 4 3 4 12 6 5 1.4.3 Additions Calculer les additions nombre+fraction ou fraction+fraction consiste à trouver un dénominateur commun, pour pouvoir additionner des numérateurs exprimés sur le même rapport. Dans le cas nombre+fraction : b ac b ac + b a+ = + = c c c c ex : 2 + 3 8 3 11 = + = 4 4 4 4 Dans le cas fraction+fraction : * la méthode générale consiste à donner comme résultat la somme des produits en croix, divisée par le produit des dénominateurs : a c ad bc ad + bc 2 4 10 12 22 + = + = ex : + = + = b d bd bd bd 3 5 15 15 15 Page 12 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement * Dans le cas de nombres plus importants, le calcul peut être allégé par la recherche d’un dénominateur commun moins important que bd, le PPCM de b et d (leur plus petit multiplicateur commun). Cette recherche exige de décomposer b et d en facteurs premiers, puis de supprimer chaque facteur commun. 7 5 + . On décompose les dénominateurs : 60 = 2.2.3.5 et 42 = 2.3.7. En commun : 2 et 3. 60 42 Après avoir supprimé 2 et 3 une fois et une seule, je multiplie entre eux tous les facteurs restants : 2.5.2.3.7 = 420. Le PPCM de 60 et 42 est 420. 60×7 = 420 et 42×10 = 420, on ne peut avoir un multiple plus petit des deux nombres de départ. On utilisera 420 comme dénominateur commun, ce qui implique que le premier numérateur sera multiplié par 7 et le second par 10 : ex : 7 5 49 50 99 33 + = + = = 60 42 420 420 420 140 L’utilisation de la première méthode sur cet exemple aurait donné : 7 5 294 300 594 2.3.3.3.11 3.11 33 + = + = = = = 60 42 2520 2520 2520 2.2.2.3.3.5.7 2.2.5.7 140 * Des cas particuliers sont ceux où l’un des deux dénominateurs de départ est multiple de l’autre. Ici, on pourra transformer uniquement la seconde : ex : 7 5 7 15 22 11 + = + = = 60 20 60 60 60 30 1.5 Proportions et pourcentages 1.5.1 Listes et grandeurs proportionnelles * Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis. On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de termes, non nuls. Par définition, dire que deux listes sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris entre 1 et n le rapport bi/ai est constant. Autrement dit b1 b2 b3 b = = = ... = n a1 a2 a3 an Notons "p" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers B". C'est le nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B. Page 13 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5 , 70). Calculons les rapports bi/ai : 7/2 = 3,5 = 14/4 = 21/6 = 35/10 = 52,5/15 = 70/20 Les listes A et B sont donc proportionnelles et le coefficient de proportion de A vers B est 3,5. * Une grandeur est une quantité physique a priori mesurable. Lorsqu'on veut exprimer les valeurs d'une grandeur, il nous faut choisir une unité. Nous étendrons le concept de grandeur à tout paramètre mesurable (économie, science, vie quotidienne, …). Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque le rapport des deux valeurs qu'elles prennent dans la même situation est constant. Par exemple : Le périmètre p d’un cercle et son diamètre D sont proportionnels et le coefficient du second vers le premier est π. La tension U aux bornes d’une résistance et l’intensité I du courant qui la traverse sont proportionnels et le coefficient du second vers le premier est R. Le coût de possession Cp d’un stock et la quantité moyenne stockée Qm sont proportionnels et le coefficient de proportion de la seconde vers le premier est P×T (valeur unitaire × taux de possession). * la règle de trois Elle s’applique dans le cadre de la proportion entre deux listes de deux nombres, que l’on peut donc ranger dans un tableau formé de deux lignes et deux colonnes. Elle consiste à calculer le quatrième nombre, inconnu, lorsqu’on connaît les trois autres. Supposons ici que la valeur inconnue soit la seconde de la liste B : Puisque b ×a B2 b1 = , on a : B2 = 1 2 , produit en croix divisé par la valeur diagonalement opposée. a1 a2 a1 Remarques : 1. dans l’expression de grandeurs scientifiques, il convient d’exprimer une liste dans une même unité. 2. Les valeurs doivent être citées dans un ordre cohérent : la valeur 1 de chaque liste correspond à une situation 1, la valeur 2 à une situation 2. 3. Le coefficient de proportion de A vers B est connu. Page 14 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Exemple 1 : Si pour fabriquer 5 objets il faut 7 heures de travail, combien d'heures faut-il pour fabriquer 8 objets ? 7×8 = 11, 2 h 5 (remarque : le coefficient de proportion de A vers B est ici 7/5 = 1,4 : c’est le temps, en heures, nécessaire à la fabrication d’UN objet. Ce coefficient ramène le problème à l’unité). B2 = Exemple 2 : une automobile parcourt 575 km avec 46 litres de carburant. Combien faut-il de centilitres pour parcourir 300 m ? B2 = 4600 × 0, 3 = 2, 4 cl 575 Quelle est sa consommation en litres/100km ? B2 = 46 × 100 = 8 l /100km 575 * Proportion en géométrie Citons ici le fameux théorème de Thalès, qui traduit géométriquement par le parallélisme le fait que deux listes soient proportionnelles : Prenons deux droites quelconques (AC) et (A’C’) et trois sécantes à ces deux droites, parallèles entre elles, (AA’), (BB’) et (CC’). Alors les rapports de distances AB/AC et A’B’/A’C’ sont égaux (« grand » théorème de Thalès). Page 15 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Cela a pour conséquence le « petit » théorème de Thalès : Soit deux sécantes (AB) et (AB’) et une droite (CC’) parallèle à (BB’), avec C ∈ (AB) et C’ ∈ (AB’). Alors on a l’égalité des rapports AB/AC, AB’/AC’ et BB’/CC’. 1.5.2 Listes et grandeurs inversement proportionnelles Lorsqu’une liste (ou une grandeur) A et les inverses d’une liste B (ou l’inverse de la grandeur B) sont proportionnels, on dit que A et B sont inversement proportionnels. Autrement dit, ce n’est pas le rapport des deux qui est constant, mais leur produit : ai×bi = cste Lorsque A est multipliée par 2, B est divisée par 2 ; lorsque A est décuplé, B est « décimé », etc. Par exemple : Pour une distance D à parcourir, fixée, vitesse et temps du trajet sont inversement proportionnels. En effet, on a la relation D = v×t, ou encore v = D/t. Pour un gaz parfait, on a la relation PV = nRT où P est la pression, V le volume, R la constante des gaz parfaits, n la quantité de matière et T la température. A quantité de matière égale et température constante, P et V sont inversement proportionnels. Exemple : j’ai mis 30 minutes pour parcourir le trajet entre mon domicile et mon bureau, à une vitesse moyenne de 40 km/h. Combien de temps mettrais-je si je pouvais aller à 60 km/h ? B2 × 60 = 30 × 40 ⇔ B2 = 30 × 40 = 20 60 Je mettrais 20 minutes. Attention : le tableau ci-dessus n’est pas un tableau de proportion. On peut aussi résoudre le problème plus classiquement, en calculant d’abord la distance parcourue : D = 40 km/h × 0,5 h = 20 km, puis la durée cherchée : t = D/V = 20/60 = 1/3 h = 20 min. Page 16 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.5.3 Pourcentages fixes * On appelle taux t d’une valeur A par rapport à une valeur B le rapport A . B * On appelle pourcentage p d’une valeur A par rapport à une valeur B le nombre A × 100 . B Tout n’est ici qu’une question de proportion entre deux grandeurs, ramenée à 100 : La règle de trois établit dans ce tableau de proportion la formule donnée au-dessus pour p. Le taux t est le coefficient de proportionnalité de B vers A. * signe « % » : « divisé par 100 » Au Moyen Age, dans les milieux comptables, on avait l’habitude de ramener à 100 la comparaison de deux nombres, à l’image du tableau ci-dessus. Le but était de comparer entre elles plusieurs séries de deux nombres, en ramenant à 100 chaque rapport. Par exemple, on disait que 32 est pour 40 ce que 80 est pour cent, c’est à dire 32/40 = 80/100. L’écriture de cette division par 100, très répétée et donc rapide, s’est transformée avec le temps si bien que « /100 » s’est peu à peu écrit « % ». Ainsi aujourd’hui on n’écrit plus 32/40 = 80/100, mais 32/40 = 80%. Par extension, on dira : « 32 représente 80% de 40 » et « le pourcentage de 32 par rapport à 40 est 80 ». Ainsi dans cet exemple numérique : Le taux est t = 32/40 = 0,8 = 80% Le pourcentage est p = 32/40 × 100 = 80 * On s’attachera à se familiariser avec quelques valeurs simples : 1 = 0,5 = 50% 2 1 1 ≈ 0,3333 ≈ 33,33% = 0, 25 = 25% 3 4 1 1 2 2 1 0,3333 = = = 0, 2 = 20% = 3≈ ≈ 0,1667 5 5 × 2 10 6 2 2 1 2× 7 4× 7 8× 7 2n × 7 = + + + ... + 2 n + ... ≈ 0,142857 142857 142857 ≈ 14, 29% 7 100 10000 1000000 10 1 1 1 1 1 0,3333 = × = 0, 25 × 0,5 = 12,5% = 3≈ ≈ 0,1111 ≈ 11,11% 8 4 2 9 3 3 1 1 1 = 0,1 = 10% = 0, 090909... ≈ 9, 09% ≈ 0, 08333 ≈ 8,33% 10 11 12 Page 17 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.5.4 Pourcentages de variations * Le pourcentage de variation d’une valeur initiale A1 vers une valeur finale A2 est : A − A1 p= 2 × 100 A1 A2 – A1 est la variation ; la valeur de référence, celle par laquelle on divise, est toujours la valeur initiale. * Lorsque le pourcentage est connu, mais pas une des deux valeurs, on utilise la relation : p A2 = A1 1 + 100 qui découle directement de la première. Par exemple : 1.Une grandeur A valait initialement 40 et vaut maintenant 50. Le pourcentage de variation est donc : 10/40 × 100 = 25. A a augmenté de 25%. 2. Une grandeur A valait initialement 50 et vaut maintenant 40. Le pourcentage de variation est donc : -10/50 × 100 = -20. A a diminué de 20%. 3. Augmenter de 8%, c’est multiplier par (1 + 8/100), donc par 1,08. Diminuer de 15%, c’est multiplier par (1 – 15/100), donc par 0,85. 4. Le chiffre d’affaires a augmenté de 40% puis diminué de 30%. Quelle a été sa variation globale ? Le CA a été multiplié par 1,4, puis par 0,7, donc par 1,4×0,7 = 0,98. Globalement, le chiffre d’affaires a baissé de 2%. 5. Un article coûte 66,98€ TTC. Combien valait-il HT ? (taux de TVA : 19,6%) A2(TTC) = A1(HT)×(1 + 19,6%) = A1×1,196 donc A1 = 66,98 / 1,196 = 56€. * Si l’on n’est pas à l’aise avec ces coefficients multiplicateurs, on peut bien sûr s’appuyer sur des tableaux de proportion, en retenant une règle simple : la valeur initiale est toujours en face de 100%. exemple : reprenons le point n°5 des exemples ci-dessus : Les valeurs 100, 19,6 et 66,98 sont directement issues de l’énoncé ; 119,6 est le résultat d’une simple addition ; les valeurs HT et TVA, en euros, se calculent grâce à la règle de trois : Ici, 66,98×19,6/119,6 donne 10,98 et 66,98×100/119,6 donne 56. Page 18 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.6 Opérateur somme Un opérateur est un outil conduisant à mener des opérations logiques (de calcul, comme les opérateurs somme ou produit ; d’ensembles, comme les opérateurs union ou intersection ; de dérivation, comme l’opérateur nabla ; etc.). Ici, l'opérateur "somme" consiste à additionner un nombre défini de termes dont l’écriture est donné par une expression générale. n ∑ ( expression ) Formulation : i= p où i est l'indice de la somme : nombre entier prenant toutes les valeurs de p jusqu'à n (n ≥ p), n et p entiers, et où l'expression peut ou non dépendre de i. Exemples : 5 ∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ; 5 ∑ 3i = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 i =1 ; i =1 5 ∑ a = a + a + a + a + a = 5a i =1 Remarque : n n ( n + 1) i =1 2 ∑i = , formule que l’on démontrera dans la partie 3 de ce document. Propriétés de linéarité de l’opérateur : on admettra que pour tous réels a et b ne dépendant pas de i : n ∑ ( ax i= p i n n i= p i= p + byi ) = a ∑ xi + b ∑ yi Les valeurs des nombres xi et yi dépendent ici de i et ne peuvent "sortir de la somme". Cette formule montre une double propriété : 1. La somme de termes dont chacun est lui-même une somme peut être décomposée. ex : 5 ∑ (a + i) = a +1+ a + 2 + a + 3 + a + 4 + a + 5 i =1 5 5 i =1 i =1 = a + a + a + a + a +1+ 2 + 3 + 4 + 5 = ∑ a + ∑ i 2. La somme de termes possédant un facteur commun constant peut être factorisée. ex : 5 ∑ 3i = 3 ×1 + 3 × 2 + 3 × 3 + 3 × 4 + 3 × 5 i =1 5 = 3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 3∑ i i =1 Page 19 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.7 Différents types de moyennes On dispose ici d’une liste de p valeurs x1, x2, x3, …, xp-1, xp. Elles sont du même type (relevées, mesurées, dans le même cadre et avec la même unité). On veut en calculer la « moyenne »… 1.7.1 moyenne arithmétique x p x= ∑x i i =1 « somme des valeurs, divisée par le nombre de valeurs » p Elle représente un partage équitable : combien devrait valoir chacune si on voulait que toutes soient égales et que le total reste le même qu’initialement ? (notons donc que donner la moyenne d’une classe, d’un groupe, à la suite d’un contrôle n’est pas très pertinent… et c’est pourtant ce que l’on fait). 1.7.2 moyenne géométrique G G = p x1 .x2 .x3 . ... .x p "racine pième du produit de p facteurs" Par exemple : Soit un rectangle de côtés a et b. Le côté c d'un carré couvrant la même aire est c = ab , moyenne géométrique de a et b. Soit un parallélépipède rectangle de côtés a, b et c. Le côté d d’un cube occupant le même volume est d = 3 abc , moyenne géométrique de a, b et c. 1.7.3 moyenne harmonique h h= p p 1 ∑ i =1 xi "inverse de la moyenne arithmétique des inverses" Par exemple : si vous roulez à une vitesse a sur la moitié d'un trajet et à une vitesse b sur l'autre moitié, votre vitesse moyenne est la moyenne harmonique de a et b. Numériquement : je roule à 50 km/h sur 10 km puis à 80 km/h sur 10 km. J’ai donc mis 10/50 h + 10/80 h en tout (12 min + 7,5 min). Ma vitesse moyenne est 20km/(10/50+10/80)h = 2/(1/50+1/80), ce qui correspond à la définition de la moyenne harmonique de 50 et 80. Réponse : environ 61,54 km/h Page 20 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.7.4 moyenne quadratique s s= 1 p 2 ∑ xi "racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés" p i =1 Par exemple: soit un rectangle de côtés a et b, le carré qui a même diagonale que ce rectangle a pour côté la moyenne quadratique de a et b. Un autre exemple en statistiques : l’écart type d’une série de valeurs est la moyenne quadratique de la série des écarts de ces valeurs à leur moyenne arithmétique. Numériquement : soit la série de valeurs 3, 5, 7 et 9, de moyenne arithmétique 6. La série des écarts est : -3, -1, 1 et 3. 1 2 2 2 2 L’écart type de (3, 5, 7, 9) est donc : s = ( 3 + 1 + 1 + 3 ) = 5 ≈ 2, 236 . 4 1.7.5 Comparaison des différentes moyennes On montre que dans tous les cas : h ≤ G ≤ x ≤ s . 1.8 Bases d’écritures Ecrire un nombre, c’est avant tout avoir choisi un système de numération 1.8.1 Système romain Le système romain obéissait à une juxtaposition de signes et de bases : I V X L C D M un cinq dix cinquante cent cinq cents mille Les bases 2 et 5 sont mêlées, et à chaque nouveau multiple de l’une obtenu correspond un nouveau signe (une nouvelle lettre ici). Dans ce système, il faudrait un très grand nombre de signes successifs pour citer un nombre très grand, pour ne parler que des nombres entiers ! De plus, ce système ne fait pas mention du zéro. Réaliser des opérations (+, -, ×, : ) dans ce système revient grosso modo à compter sur ses doigts… Il faut dire que le monde Romain n’a jamais été versé en sciences : en 700 ans, on ne peut en citer qu’un seul mathématicien ! Page 21 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 1.8.2 Système décimal Notre système de numération est un système de positionnement relatif en base 10, appelé système décimal, (inventé par Pythagore vers 550 av.J.C., qui en profita pour créer les tables de multiplication que les écoliers réciteront pendant les 2500 années suivantes) : il est constitué de dix chiffres différents, chacun exprimant une quantité allant de 0 à 9, dont la position dans le nombre donne directement l’ordre de grandeur, c’est à dire la puissance de dix, qu’il représente. Dans notre base 10, l’écriture 5328 signifie 5×103 + 3×102 + 2×101 + 8×100. (5 milliers, plus 3 centaines, plus 2 dizaines, plus 8 unités) L’existence de la virgule permet de découper les unités en écrivant des décimales (dont la position représente des divisions successives par 10, déci), représentant les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc., c’est à dire les ordres de grandeur en puissances négatives de 10. L’écriture 208,75 signifie 2×102 + 0×101 + 8×100 + 7×10-1 + 5×10-2 . (2 centaines, plus 8 unités, plus 7 dixièmes, plus 5 centièmes) 1.8.3 D’autres bases * Nous utilisons aussi dans notre vie quotidienne la base 60, « sexagésimale » (bien que n’employant pas 60 chiffres différents) : pour le temps (3h20’35’’ = 3×602 secondes + 20×601 secondes + 35 secondes) et les angles (degrés, minutes, secondes : 1° = 60’ et 1’ = 60’’)… rémanences des tous premiers systèmes de numération inventés dans la haute antiquité (Sumer, en Mésopotamie, qui a légué l’invention du calcul et de ce système aux babyloniens). * L’informatique est fondée sur l’emploi de la base 2, « binaire » où les seuls chiffres autorisés sont 0 et 1, et de la base 16, « hexadécimale ». Un conducteur électrique ne peut que renseigner 1 (des électrons circulent) ou 0 (pas de courant électrique). Ainsi, tout nombre et par extension tout caractère sera codé par un nombre écrit en base 2, formé de 0 et de 1. L’écriture de l’octet 10011101 signifie 1×27 +0×26 + 0×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 , ce qui s’écrit 157 en base 10. Les ordinateurs, pour des raisons de gain de temps, transforment chaque octet (série de 8 bits ; un bit est un chiffre 0 ou 1) en une écriture hexadécimale (base 16) composée des seize chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Il suffit alors de nombres de deux chiffres pour coder 256 caractères différents. Ainsi, le nombre 8C (base 16) vaut 8×161 + 12×160 = 140 en base 10 et 1×27 +0×26 + 0×25 + 0×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 0×20 = 10001100 en base 2. L’écriture décomposée d’un nombre dans une base x renvoie directement à l’écriture d’un polynôme d’une variable x (voir plus loin) Page 22 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2 Calcul littéral 2.1 Mise en forme et définitions Une expression littérale est l’écriture d’un calcul utilisant des valeurs fixées et d’autres non fixées. 1 + cx 2 ex : − ln ( x3 − 4 ) + π x 2 p 2.1.1 forme d’une expression Il est important de savoir reconnaître la forme globale d’une expression et les éléments qui la composent. On appelle termes les groupes additionnés les uns aux autres. On peut changer leur ordre d’écriture dans l’expression. Dans l’exemple ci-dessus, l’expression est une somme de trois termes. Chaque terme peut être composé d’un seul nombre, ou alors d’un produit de facteurs. On peut changer leur ordre d’écriture dans le terme. 1 Dans l’exemple ci-dessus, le premier terme est le produit de deux facteurs : et (1 + cx 2 ) , p le second terme exprime un nombre unique et le troisième terme est le produit de deux facteurs : π et x². Un facteur commun à plusieurs termes pourra donner lieu à une factorisation. Exemple : 25 x3 − 2 x + a = x ( 25 x 2 − 2 ) + a . Ici, les deux premiers termes ont été « factorisés par x », pour devenir un terme unique. 2.1.2 Différents types de nombres La faune que l’on rencontre dans les expressions rend compte d’une certaine diversité de types : Variable Nombre quelconque par nature, dont nous ne décidons pas la valeur, mais qui est au contraire représentatif d’un ensemble (variable notée souvent x, y, …) Coefficient Nombre nécessairement fixe, mais dont nous n’avons pas encore décidé la valeur (a, b, c, …) Paramètre Nombre que nous choisissons et dont nous avons le droit de modifier la valeur au sein d’une expression donnée (p, n, …) Constante Valeur fixe issue des lois de la physique (G, e, H0, …) ou d'une théorie mathématique (π, e, φ, …) inconnue Une valeur d’une variable, à déterminer si possible, devant vérifier une ou plusieurs équations. Page 23 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.2 Calcul littéral dans des cas simples : 2.2.1 Simplification de fractions Numérateur et dénominateur peuvent être composés de plus d'un terme. Chaque terme de l'un d'eux doit être réduit. Exemple de simplification d'une fraction par 2 : 32 + 2 x ( 32 + 2 x ) ÷ 2 16 + x 16 x = = = + 24 24 ÷ 2 12 12 12 ou 32 + 2 x 32 2 x 16 x = + = + 24 24 24 12 12 Autres exemples : 6 x − 21 3 ( 2 x − 7 ) 2 x − 7 = = 15 3× 5 5 6 x − 22 2 ( 3 x − 11) 3 x − 11 = = 2 + 4y 2 (1 + 2 y ) 1 + 2 y 20 x − 15 y + 65 5 ( 4 x − 3 y + 13) = = 4 x − 3 y + 13 5 5 20 x − 15 y + z 5 ( 4 x − 3 y ) + z z = = 4x − 3y + 5 5 5 Simplifications par utilisation d’un conjugué : Dans certains cas, l’écriture d’une expression fractionnaire devant être transformée pour une raison ou une autre, l’emploi du conjugué s’avère très utile. Définition : a + b et a – b sont deux quantités dites conjuguées. (l’un est le conjugué de l’autre) Propriété : leur produit vaut a² - b² Passer au carré permet de simplifier une écriture en racines carrées, ou une écriture en nombre complexe. Deux exemples : x +1 − x lorsque x tend vers +∞. 3 Le numérateur donne la forme indéterminée ∞ - ∞. Multiplions cette fraction en haut et en bas par le conjugué du numérateur. Sa valeur n’en sera pas Cherchons la limite de changée. x +1 − x = 3 ( x +1 − x 3 ( )( x +1 + x x +1 + x ) )= 3 ( x +1− x x +1 + x vers zéro. Page 24 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc = ) ( 3 1 x +1 + x ) , qui tend Calcul et raisonnement Cherchons à diviser le complexe 3 + 2i par le complexe 2 + i : (on précise qu’un nombre complexe (a, b) peut s’écrire a + ib où i est tel que i² = -1 ; en admettant cela, l’addition et la multiplication de complexes telles que définies mathématiquement sont respectées). 3 + 2i ( 3 + 2i )( 2 − i ) 6 − 3i + 4i − 2i 2 6 − 3i + 4i + 2 8 + i 8 1 = = = = = + i. 2+i 4 − i2 4 +1 5 5 5 ( 2 + i )( 2 − i ) Les calculs complexes seront bien sûr vus en détail dans le chapitre correspondant. 2.2.2 Formules rectangulaires et formules triangulaires a c = où b et d sont non nuls. b d Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d). Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix : ad = bc. * Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction : a c = permet la notation b d Exemple : soit l’équation , qui entraîne les égalités : a b = , c d b d = , a c c d = a b x2 + 5 x2 − 6 = à résoudre. x −1 7+ x On remarque dans un premier temps que x ne doit valoir ni 1 ni –7 (afin que chaque dénominateur ne puisse être égal à zéro, sachant que pour ces valeurs de x, le numérateur correspondant ne vaut pas zéro). Puis on transforme l’écriture de départ : les fractions sont difficiles à manipuler, mais nous pouvons écrire l’égalité des produits en croix : (x²+5)(7+x) = (x-1)(x²-6). On développe : 7x² + x³ + 35 + 5x = x³ - 6x – x² + 6 (voir 2.3.5 sur la multiplication) On ramène tous les termes dans le membre de gauche : 7x² + x³ + 35 + 5x - x³ + 6x + x² - 6 = 0 On regroupe les termes de même degré : 8x² + 11x + 29 = 0 On résout cette équation du second degré (voir 2.3.3) ; ici : pas de solution. 2x + 6 2 = . 3x − 9 3 On remarque que x ne peut valoir 3 (dénominateur nul). On pourrait écrire l’égalité des produits en croix pour continuer, mais l’écriture suivante est tout 2 x + 6 3x − 9 aussi valide : = , ce qui donne x + 3 = x – 3 et donc 0 = -6, impossible. 2 3 L’équation de départ n’a pas de solution. Autre exemple : soit l’équation Page 25 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement b . Dans ce cas, on c peut « ranger » les données dans un triangle où le trait intérieur traduit le trait de fraction : * Les formules triangulaires sont omniprésentes en physique et sont du type a = entraîne les égalités : c = b , b = ac . a Par exemple : On sait que vitesse, distance et temps sont liés par : V = En écrivant , on voit tout de suite que t = d . t d et que d = V×t. V 2 = 5 (x ≠ 1) x −1 On a immédiatement x – 1 = 2/5 et donc x = 7/5. Autre exemple : résoudre l’équation 2.2.3 Identités remarquables Second degré : (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² (a+b)(a-b) = a² - b² a et b peuvent désigner ici bien entendu n’importe quels réels, mais aussi n’importe quelles expressions algébriques. Les expressions a+b et a-b sont dites conjuguées. Troisième degré : (a+b)³ =a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Les formules citées ci-dessus se retiennent, mais pour des degrés supérieurs, le développement devient fastidieux, ainsi que la mémorisation de formules. On appelle (a + b) n un binôme. Triangle de Pascal et coefficients du binôme : Pascal s’est attaché à trouver une technique simple pour calculer les coefficients des expressions du style (a + b) n ; il a procédé vraisemblablement par « tâtonnements » en observant ce qui se passe : Page 26 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) (a + b)3 = a 3 + 2a 2b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 En faisant la démonstration par récurrence, il a établi la technique du "triangle de Pascal" qui donne : puissance de b :0 1 2 3 4 5 6 7 exposant coef . 0 1 (a + b)0 = 1 1 1 1 (a + b)1 = 1a +1b 2 1 2 1 (a + b)2 = 1a2 + 2ab +1b2 3 1 3 3 1 (a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 +1b3 4 1 4 6 4 1 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +1b4 5 1 5 10 10 5 1 (a + b)5 = 1a5 + 5a4b +10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 +1b5 + On note (partie de droite) que dans un développement apparaissent des puissances précises sur a et b, conjointement à l’enchaînement des coefficients. Les puissances de b augmentent progressivement de 0 jusqu’à l’exposant n du binôme, alors que les puissances de a font le contraire. i =n i n −i i On peut donc noter la formule du binôme : ( a + b ) = ∑ Cn a b , n i =0 i n où C représente le coefficient de la ligne n et de la colonne i du triangle de Pascal. Remarque : ces coefficients sont également les nombres de combinaisons étudiés en dénombrements, dans le domaine des probabilités. Page 27 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.3 Polynômes 2.3.1 Généralités Les polynômes sont des expressions d’un type particulier et reconnaissable : ce sont des sommes au sein desquelles chaque terme est un monôme… Monôme Expression algébrique formée d’un seul terme : un coefficient réel × une puissance entière naturelle d’une variable Ex : ax3 ou −2x La puissance de x est appelée degré du monôme. (les monômes précédents sont respectivement de degrés 3 et 1) Polynôme Expression algébrique formée d’une somme de monômes (d’une même variable). Ex : 3x² - 0,6x + 4,5 Le plus haut degré présent est appelé degré du polynôme. (l’exemple précédent est un polynôme de degré 2, ou du second degré). D’une manière générale, un polynôme de degré n s’écrira : P ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an − 2 x n − 2 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n n P ( x ) = ∑ ai xi i =0 Egalité de deux polynômes : identification des coefficients n Deux polynômes ∑ ai xi i =1 n et ∑b x i =1 i i sont égaux ssi pour tout i, ai = bi. Exemple : trouver les nombres a et b tels que x² + (a+b)x + 2a = x² - 7x + 10. On identifie les coefficients (on dit qu’ils sont identiques) : coef de x² : 1 = 1 coef de x1 : a + b = -7 coef de x0 (terme constant) : 2a = 10 On en déduit que a = 5 et b = -12. Page 28 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement Racines d’un polynôme Les racines d’un polynôme P(x) sont les nombres xi tels que P(xi) = 0. Par exemple : P(x) = 2x – 5 possède une racine réelle : 5/2 Q(x) = x² - 9 possède deux racines : 3 et –3 R(x) = x² + 9 ne possède pas de racine réelle… par contre il possède deux racines complexes : 3i et –3i qui, de plus, sont conjuguées (cela sera vu en cours dans le chapitre sur les nombres complexes). Le théorème fondamental de l’algèbre affirme (c’est prouvé puisque c’est un théorème) que tout polynôme de degré n possède n racines dans ℂ (sachant que certaines peuvent être égales, on dira « au plus n racines »), donc réelles ou non, et que le nombre de racines non réelles est pair (0, ou 2 complexes conjugués, ou 2 fois 2 complexes conjugués, etc.). Par exemple : P(x) = x² - 6x + 9 possède une racine double réelle : 3 - et zéro non réelle Q(x) = x² + 9 possède deux racines non réelles conjuguées : 3i et –3i R(x) = x³ - x² + 9x - 9 possède deux racines non réelles conjuguées : 3i et –3i, et une racine réelle : 1 Une conséquence de ce théorème porte sur la factorisation : Tout polynôme de degré n se factorise (en n’utilisant que des réels) par des polynômes de degré 1 de forme x-xi (où xi est une racine réelle) et des polynômes de degré 2 (sans racine réelle). Par exemple : Q(x) = x² - 9 = (x – 3)(x + 3) R(x) = x³ - x² + 9x - 9 = (x – 1)(x² + 9) 2.3.2 Premier degré Ces polynômes sont de la forme P(x) = ax + b. (a différent de 0) Ils possèdent une racine : -b/a. Leur représentation graphique par des points de coordonnées (x, P(x)), x balayant l’ensemble ℝ , est une droite de pente a. Ils sont représentatifs des fonctions dites affines, pour lesquelles les variations de la valeur sont proportionnelles aux variations de la variable. En effet, prenons deux valeurs de x : x’ et x’’. La variation de l’une vers l’autre est x’’ – x’. Les valeurs associées pour le polynôme sont P(x’) et P(x’’). La variation de l’une vers l’autre est P(x’’) – P(x’) = (ax’’ + b) – (ax’ + b) = a(x’’ – x’). Le rapport des deux variations est le coefficient a, constant, et donc ces variations sont proportionnelles. Page 29 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.3.3 Second degré et équation associée Ces polynômes sont de la forme P(x) = ax² + bx + c. Une équation du second degré est une équation de la forme : ax² + bx + c = 0 Ses solutions sont donc les racines, si elles existent, du polynôme correspondant. Ses racines réelles sont au nombre de zéro, une ou deux. Pour déterminer l’existence et les valeurs de ces racines, il faut suivre un protocole bien défini : 1. Calculer le discriminant du polynôme : Il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac 2. Comparer ∆ à zéro et en déduire le nombre et la valeur des racines : Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle. Il ne se factorise pas. Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle : x1 = − b . (racine « double ») 2a Sa forme factorisée est P(x) = a(x – x1)². −b − ∆ 2a Sa forme factorisée est P(x) = a(x – x1)(x – x2) Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : x1 = et x2 = −b + ∆ . 2a Exemples : * P(x) = 2x² - 12x + 16 ∆ = 12² - 4.2.16 = 144 – 128 = 16 ∆ > 0, donc P(x) admet deux racines réelles : (-(-12) – √16)/4 = (12 – 4)/4 = 2 et (-(-12) + √16)/4 = (12 + 4)/4 = 4. forme factorisée : P(x) = 2(x – 2)(x – 4) Remarque : diviser ce polynôme par 2 ne modifie pas ses racines : ½.P(x) = x² - 6x + 8 ∆ = 6² - 4.1.8 = 36 – 32 = 4 ; deux racines réelles : (6 – √4)/2 = 2 et (6 + √4)/2 = 4. * P(x) = 2x² - 12x + 18 ∆ = 12² - 4.2.18 = 144 – 144 = 0 ∆ = 0, donc P(x) admet une racine réelle unique : -(-12)/4 = 3. forme factorisée : P(x) = 2(x – 3)² * P(x) = 2x² - 12x + 20 ∆ = 12² - 4.2.20 = 144 – 160 = -16 ∆ < 0, donc P(x) n’admet pas de racine réelle et ne se factorise pas. Page 30 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.3.4 Troisième degré Ces polynômes sont de la forme P(x) = ax³ + bx² + cx + d. Ils peuvent posséder une, deux ou trois racines réelles (donc au moins une !). On se cantonnera à des cas où l’une des racines est « évidente » : un énoncé peut donner sa valeur et vous demander de trouver les autres (exemple 1 ci-dessous), ou bien vous devrez tester des valeurs simples de x (-2, -1, 0, 1, 2) pour tenter d’obtenir un résultat nul (exemple 2). Exemple 1 : on donne le polynôme x³ - 8x² + 4x + 48 , dont une racine est 4. Déterminer ses autres racines en effectuant une première factorisation, puis donner sa forme factorisée finale. 1. Vérifions que 4 est une racine : 4³ - 8.4² + 4.4 + 48 = 64 – 128 + 16 + 48 = 0. OK 2. Ce polynôme se factorise donc par (x – 4) et sa forme semi-factorisée est : (x – 4)(ax² + bx + c). 3. Développons cette forme et identifions les coefficients avec ceux de la forme développée connue : (x – 4)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx - 4ax² - 4bx - 4c = ax³ + (b–4a)x² + (c-4b)x - 4c Par identification, on a : a = 1, b-4a = -8, c-4b = 4, -4c = 48, ce qui donne : a = 1, b = -4, c = -12, c = -12 : OK donc la forme semi-factorisée est (x – 4)(x² - 4x - 12) (on peut aussi effectuer une division de P(x) par (x – 4)) 4. Cherchons les racines du polynôme du second degré obtenu : ∆ = 4² - 4.1.(-12) = 16 + 48 = 64 ∆ > 0, donc il admet deux racines réelles : (-(-4) – √64)/2 = (4 – 8)/2 = -2 et (-(-4) + √64)/2 = (4 + 8)/2 = 6. forme factorisée : (x + 2)(x – 6) 5. Conclusion : x³ - 8x² + 4x + 48 admet trois racines réelles : 4, -2 et 6 et sa forme factorisée est (x – 4)(x + 2)(x – 6) Exemple 2 : on donne le polynôme x³ - 5x² + 10x - 8 . Trouver sa racine évidente, puis rechercher ses autres racines et donner sa forme factorisée finale. 1. Il est clair que 0 n’est pas une racine de P(x) : P(0) = -8. 1 est-il une racine ? P(1) = 1³ - 5.1² + 10.1 - 8 = 1 – 5 + 10 – 8 = -2 : 1 n’est pas une racine. 2 est-il une racine ? P(2) = 2³ - 5.2² + 10.2 - 8 = 8 – 20 + 20 – 8 = 0 : 2 est une racine. 2. Ce polynôme se factorise donc par (x – 2) et sa forme semi-factorisée est : (x – 2)(ax² + bx + c). 3. Développons cette forme et identifions les coefficients avec ceux de la forme développée connue : (x – 2)(ax² + bx + c) = ax³ + bx² + cx - 2ax² - 2bx - 2c = ax³ + (b–2a)x² + (c-2b)x - 2c Par identification, on a : a = 1, b-2a = -5, c-2b = 10, -2c = -8, ce qui donne : a = 1, b = -3, c = 4, c = 4 : OK donc la forme semi-factorisée est (x – 2)(x² - 3x + 4) 4. Cherchons les racines du polynôme du second degré obtenu : ∆ = 3² - 4.1.4 = 9 - 16 = -7 ∆ < 0, donc il n’admet pas de racine réelle et ne se factorise pas. 5. Conclusion : x³ - 5x² + 10x - 8 admet une seule racine réelle : 2 et sa forme factorisée est (x – 2)(x² - 3x + 4) Page 31 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.4 Opérations sur les polynômes 2.4.1 Addition Lorsqu’on additionne (ou retranche) deux (ou plusieurs) polynômes, la règle à appliquer est d’ajouter ce qui est comparable : donc on additionne (ou retranche) les coefficients des monômes de degrés identiques ! Exemples : Soit les polynômes P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 8 x − 15 et Q ( x ) = 5 − 3x 2 + 6 x . ( P + Q )( x ) = P ( x ) + Q ( x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 15 + 5 − 3x 2 + 6 x = x3 − 8 x 2 + 14 x − 10 ( P − Q )( x ) = P ( x ) − Q ( x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 15 − ( 5 − 3 x 2 + 6 x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 15 − 5 + 3x 2 − 6 x = x3 − 2 x 2 + 2 x − 20 ( P + 3Q )( x ) = P ( x ) + 3Q ( x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 15 + 3 ( 5 − 3x 2 + 6 x ) = x3 − 5 x 2 + 8 x − 15 + 15 − 9 x 2 + 18 x = x3 − 14 x 2 + 26 x Le résultat d’une addition de polynômes est un polynôme dont le degré vaut au maximum le plus haut degré rencontré dans les polynômes de départ. 2.4.2 Multiplication * Pour la multiplication de deux polynômes, on pourra appliquer le principe de distributivité de l’opération de multiplication sur l’opération d’addition : Exemple : P( x) = 3x2 + 2x −1 Q( x) = 5x − 2 ( PQ)( x ) = P( x) × Q( x) = ( 5x + 2) × ( 3x2 + 2x −1) ( ) ( ) = 5x × 3x2 + 2x −1 − 2 × 3x2 + 2x −1 = 15x3 + 10x2 − 5x − 6x2 − 4x + 2 = 15x3 + 4x2 − 9x + 2 Le produit de deux polynômes est un polynôme dont le degré est la somme des degrés des polynômes de départ. Page 32 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement * On peut aussi déterminer le produit de deux polynômes en posant la multiplication comme on le ferait pour deux nombres. On rappelle ci-dessous cette dernière : On écrit les deux nombres A et B l’un au-dessus de l’autre (on aura pris soin de « traiter » l’aspect signe par ailleurs ; mais il ne faudra pas oublier ce point) On trace un trait sous B. En-dessous vont se former plusieurs lignes ; sur chacune se trouve le produit de A par un chiffre de B, en commençant en première ligne par celui des unités, puis en-dessous par celui des dizaines en décalant le résultat d’une colonne vers la gauche, etc. Ces lignes se forment de la droite vers la gauche, sans oublier la retenue éventuelle qui viendra s’additionner au suivant. Une fois ces opérations effectuées, on additionne en bas colonne par colonne, de la droite vers la gauche, en n’oubliant pas encore une fois les retenues. Exemple : soit à calculer le produit 137 × 56 On peut donc utiliser cette mise en forme pour multiplier deux polynômes, dans laquelle chaque colonne ne représentera plus des unités, dizaines, centaines, etc., mais des puissances de x (x0, x1, x2, etc.). Exemple : soit à exprimer le produit (x² - 5x + 1)(x² - 1) Donc (x² - 5x + 2)(x² - 1) = x4 – 5x3 + 5x - 1 Page 33 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 2.4.3 Division L’expression présentant la division d’un polynôme par un autre est nommée fraction rationnelle. Hormis des cas particuliers simples, une telle forme n’est pas facile à étudier (dériver, intégrer, …) et on cherche un moyen de simplifier son écriture, un peu comme on cherche à simplifier une fraction de deux entiers. * Rappel sur la division euclidienne de deux nombres : Effectuer la division euclidienne d’un entier A par un entier B non nul, c’est trouver deux entiers Q et R tels que : A = BQ + R |R| < |B| et R doit être positif lorsque A et B le sont La restriction imposée à R implique que le couple (Q, R) est unique lorsque A et B sont positifs. A : dividende ; B : diviseur ; Q : quotient ; R : reste Exemples : A et B positifs : division euclidienne de 20 par 6 : 20 = 6×3 + 2 A positif et B négatif : division euclidienne de 20 par -6 : 20 = -6×(-3) + 2 20 = -6×(-4) - 4 A négatif et B positif : division euclidienne de -20 par 6 : -20 = 6×(-3) – 2 -20 = 6×(-4) + 4 A et B négatifs : division euclidienne de -20 par -6 : -20 = -6×3 - 2 -20 = -6×4 + 4 Où est la « division » ici ? A = BQ + R peut s’écrire aussi A R =Q+ . B B Lorsque le reste est nul, A est dit divisible par B. Autrement dit, les facteurs premiers de B font partie des facteurs premiers de A, Et pour trouver le quotient Q, il suffit d’effectuer la simplification. * La simplification d’une fraction rationnelle que A( x) = Q ( x) + R ( x) B ( x) B ( x) étudier, que la première. A( x) B ( x) consistera à trouver deux polynômes Q et R tels , écriture dans laquelle la dernière fraction sera plus simple à interpréter, à Page 34 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement * Rappel sur la division posée de deux nombres : On écrit les deux nombres l’un à côté de l’autre (on aura pris soin de « traiter » l’aspect signe par ailleurs ; mais il ne faudra pas oublier ce point) On trace un trait vertical entre les deux nombres et un trait horizontal sous le diviseur. On commence à rechercher par quel chiffre (0,1,2,3,4,5,6,7,8 ou 9) il faut multiplier le diviseur pour trouver le plus grand nombre inférieur à un groupe de chiffres de gauche du dividende ; lorsqu’on l’a trouvé, on l’écrit sous le diviseur ; on réalise la multiplication du diviseur par ce chiffre, que l’on écrit sous le dividende, en rajoutant autant de zéros que nécessaire pour contenir autant de chiffres que le dividende, puis on réalise la soustraction du dividende par ce résultat et on obtient ainsi un premier reste. On renouvelle la technique en considérant ce reste comme un nouveau dividende, plusieurs fois de suite si besoin, jusqu’à la précision du quotient souhaitée ; on a alors, en bas, à gauche, dans le cas général, un dernier reste non nul. Exemple : quotient 123456 25 100000 4938 reste 23456 22500 956 750 et donc on a 123456 = 4938 × 25 + 6 206 200 6 Page 35 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement * Division de polynômes suivant les puissances décroissantes On s’arrête lorsque le dernier terme du quotient est de degré zéro. Exemple : 4 x 3 − 10 x 2 − 8 x + 12 x2 + 2x −1 4 x3 + 8 x 2 − 4 x 4 x − 18 − 18 x − 4 x + 12 2 − 18 x 2 − 36 x + 18 32 x − 6 On obtient : 4 x 3 − 10 x 2 − 8 x + 12 32 x − 6 = 4 x − 18 + 2 . 2 x + 2x −1 x + 2x −1 Cette technique est très utile lors de la recherche d’une primitive. Elle permet également de trouver une branche infinie d’une fonction rationnelle, à savoir : lorsque x tend vers l’infini, la dernière fraction tend vers zéro, et notre expression de départ est équivalente à Q(x) ; dans l’exemple donné, la courbe représentative de notre fraction rationnelle est asymptote, en l’infini donc, à la droite d’équation y = 4x – 18. * Division de polynômes suivant les puissances croissantes Dans ce cas-là, il n’y a pas d’arrêt au mécanisme de la division : on cherchera à obtenir un reste de degré aussi grand que voulu. Exemple d’une division avec un reste de degré 4 : 12 − 8 x − 10 x 2 + 4 x 3 − 1 + 2 x + x2 12 − 24 x − 12 x 2 − 12 − 16 x − 34 x 2 16 x + 2 x 2 + 4 x 3 16 x − 32 x 2 − 16 x3 34 x 2 + 20 x 3 34 x 2 − 68 x 3 − 34 x 4 88 x 3 + 34 x 4 4 x 3 − 10 x 2 − 8 x + 12 88 x 3 + 34 x 4 2 On obtient : = −12 − 16 x − 34 x + 2 . x2 + 2 x − 1 x + 2x −1 Cette technique est très utile lors de la recherche d’un développement limité en zéro. En effet, avec notre exemple, lorsque x tend vers 0, le dénominateur de la dernière fraction est équivalent à –1 et donc la fraction à un polynôme dont les deux termes sont négligeables devant les termes du quotient ; le quotient lui-même, -12 – 16x – 34x², est donc un équivalent de la fraction de départ (pour x proche de 0) et ce polynôme représente donc le développement limité à l’ordre 2 (second degré) de la fraction rationnelle de départ. Page 36 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement * Décomposition d’une fraction en éléments simples Dans le cas de la recherche d’une primitive (cas ci-dessus, début de page 36), un problème persiste : il n’est pas aisé de trouver une primitive de la dernière fraction. La méthode de division ayant été totalement exploitée, on recourt à une technique de décomposition en éléments simples, que l’on va expliquer dans des cas… simples. L’idée est d’en factoriser le dénominateur (donc de chercher ses racines). On n’oublie pas non plus que lorsqu’on a effectué une division suivant les puissances décroissantes, le degré du reste est strictement inférieur au degré du diviseur. On retiendra alors les cas suivants pour un dénominateur B(x) de degré 2 (et donc un numérateur de degré inférieur) : S’il admet deux racines réelles x1 et x2 : alors il existe deux réels A et B tels que R ( x) B ( x) = A B + x − x1 x − x2 exemple : 2x + 6 =? 2 x − 5x + 6 racines de x 2 − 5 x + 6 ? ∆ = (−5)2 − 4 ×1× 6 = 25 − 24 = 1 −(−5) + 1 6 −(−5) − 1 4 = =3 x2 = = =2 2 ×1 2 2 ×1 2 2 x − 5 x + 6 = ( x − 2)( x − 3) 2x + 6 A B A( x − 3) B ( x − 2) ( A + B ) x − (3 A + 2 B ) = + = + = 2 x − 5 x + 6 ( x − 2) ( x − 3) ( x − 2)( x − 3) ( x − 2)( x − 3) x2 − 5x + 6 On identifie les deux numérateurs : 2 x + 6 = ( A + B ) x − (3 A + 2 B ) x1 = A+ B = 2 ⇔ A = 2− B 3 A + 2 B = −6 ⇒ 3(2 − B ) + 2 B = −6 ⇔ − B = −12 ⇔ B = 12 ⇒ A = −10 2x + 6 −10 12 = + x − 5 x + 6 ( x − 2) ( x − 3) 2 Page 37 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement S’il admet une racine réelle double x1 : alors il existe deux réels A et B tels que R ( x) B ( x) = A ( x − x1 ) 2 + B x − x1 exemple : 2x + 6 =? 2 x − 10 x + 25 racines de x 2 − 5 x + 6 ? ∆ = 102 − 4 × 1× 25 = 100 − 100 = 0 −(−10) 2 x1 = = 5 ; x 2 − 10 x + 25 = ( x − 5 ) 2 ×1 A + B ( x − 5 ) Bx + A − 5 B 2x + 6 A B = + = 2 = 2 2 x − 10 x + 25 ( x − 5 ) x − 5 x − 10 x + 25 x 2 − 10 x + 25 On identifie les deux numérateurs : 2 x + 6 = Bx + A − 5 B B = 2 ; A − 10 = 6 ⇔ A = 16 2x + 6 16 2 = + 2 2 x − 10 x + 25 ( x − 5 ) x −5 S’il n’admet pas de racine réelle : La recherche d’une primitive donnera lieu à d’autres techniques (reconnaissance d’une dérivée logarithmique, changement de variable, etc.). Page 38 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 3 Raisonnement et mise en équation 3.1 Raisonnement par récurrence On explique ici un des principes qui permettent de démontrer une proposition. 3.1.1 Principe : Une formule, ou plus généralement une proposition, dépendant d’un paramètre entier n et notée Pn, est à vérifier : est-elle vraie pour n’importe quelle valeur entière de n ? La méthode dite de démonstration par récurrence nécessite l’établissement de deux vérités pour prouver Pn : 1. L’initialisation Il faut montrer que Pn est vraie pour la plus petite valeur de n envisageable. On démontre ici la validité de la proposition dans un cas particulier. 2. La récurrence Il faut montrer que la véracité (supposée) de Pn entraîne celle de Pn+1. On ne démontre pas ici la validité de Pn , mais celle de l’implication Pn ⇒ Pn+1. 3.1.2 Exemple n On a donné une formule dans la partie 1.6 sur l’opérateur somme : ∑i = i =1 n ( n + 1) . 2 On peut constater en effet que 1+2+3+4 = 10 et que 4×5 / 2 = 10, ou encore que 1+2+3+4+5+6 = 21 et que 6×7 / 2 = 21. Montrons par récurrence que cette formule, notée Pn, est valide pour tout entier n supérieur à zéro : 1. initialisation Pour n = 1, la somme vaut 1 ; d’autre part, n(n+1)/2 = 1×2/2 = 1. Donc P1 est vraie. 2. récurrence Supposons Pn vraie à un rang n. Dans ce cas, le sera-t-elle au rang suivant n+1 ? Pn+1 : n +1 ( n + 1)( n + 2 ) i =1 2 ∑i = est-elle vraie ? Page 39 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement n +1 n i =1 i =1 ∑ i = 1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = ∑ i + n + 1 = = n ( n + 1) + n +1 2 n ( n + 1) + 2 ( n + 1) ( n + 2 )( n + 1) = 2 2 Des calculs valables, et l’emploi de l’hypothèse, ont conduit à montrer que Pn ⇒ Pn+1. La récurrence est donc assurée. n 3. Conclusion : pour tout entier n positif, ∑i = i =1 n ( n + 1) . 2 n Autres exemples : sauriez-vous montrer que pour tout entier n positif, ∑i i =1 2 = n ( n + 1)( 2n + 1) ? 6 et sauriez-vous montrer que pour tout entier n positif, la dérivée de xn est nxn-1 ? 3.2 Mise en équation d’un problème Il s’agit ici d’être capable d’appréhender un énoncé complexe et qui ne fait pas directement appel à une notion, une formule, précise et unique du cours. 3.2.1 Principe 1. Repérer et nommer (soi-même si besoin) les données fixées de l’énoncé. 2. Repérer et nommer (soi-même si besoin) les variables : quelles grandeurs doivent être choisies, trouvées, dans la question de l’énoncé ? 3. Désigner, s’il y en a, les contraintes (ex : telle grandeur doit être inférieure à telle valeur) et les exprimer en fonction des valeurs fixées et des variables. 4. Désigner et exprimer la fonction objectif : quel est l’objectif donné dans la question de l’énoncé ? Parallèlement à cela, il faut être capable de rassembler les éléments de cours (résultats, formules) qui pourront être utile dans le cadre fixé par l’énoncé. Note : l’étude ultérieure de la fonction objectif peut bien entendu dépasser le cadre de cette première partie de remise à niveau (dérivées, nombres complexes, trigonométrie, …). Pour l’exemple qui suit, nous nous en tiendrons à une équation simple. Page 40 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc Calcul et raisonnement 3.2.2 Exemple La production d’une quantité mensuelle q (en kg) de produit entraîne des frais fixes de 1500 € et a un coût variable de 20 €/kg. Le prix de vente unitaire est dégressif suivant la quantité q (on suppose pour simplifier que toute la quantité produite est commandée par le même client) et est calculé comme suit : P = 50 – 0,1q. Combien faut-il produire et vendre pour que le bénéfice atteigne 500 € ? 1. Frais fixes : 1500 € ; coût variable unitaire : 20 €/kg 2. Variable : quantité q (kg) 3. contraintes : q est positif, ainsi que le prix unitaire de vente (donc q < 500 kg) 4. fonction objectif : le bénéfice, B(q) = (50-0,1q)q - 1500 – 20q Le bénéfice doit être égal à 500 €. Il ne reste qu’à, ici, résoudre l’équation que la question nous impose : (50-0,1q)q - 1500 – 20q = 500 -0,1q² + 30q – 2000 = 0 ∆ = 900 – 4×200 = 100, positif, donc l’équation admet deux solutions : q’ = (-30-10)/(-0,2) = 200 et q’’ = (-30+10)/(-0,2) = 100 Reste à interpréter les résultats trouvés : Deux quantités donnent un bénéfice de 500 €. Elles sont toutes deux réalistes car elles respectent les contraintes. Donc on choisira de produire et vendre 100 kg ou 200 kg Autant que possible, vérifions nos résultats : Pour 100 kg : prix de vente unitaire : 50 – 0,1q = 40 €/kg ; CA = 40×100 = 4000 €. Coût de production : 1500 + 20×100 = 3500 €. Bénéfice : 4000 – 3500 = 500 €. Pour 200 kg : prix de vente unitaire : 50 – 0,1q = 30 €/kg ; CA = 30×200 = 6000 €. Coût de production : 1500 + 20×200 = 5500 €. Bénéfice : 6000 – 5500 = 500 €. Page 41 sur 41 RAN1 - Calcul - Cours - Rev 2011.doc
