UniversitédeRennes1 IMAGERIE-MICROSCOPIEM1Phys.&M1PhysMed.(2016-2017) TD 2 : Oscillateur de Lorentz INTRODUCTION -Dansl'ultraviolet,ouUV,lachutedetransmissiondansunverreoudansunmilieu diélectrique(milieu transparent, faiblement absorbant, non magnétique, non conducteur)alieudu faitdestransitionsélectroniquesdesélémentscomposantleverre:lesélectronsdevalence absorbentleslongueursd'ondedontl'énergiecorrespondàleurénergiedegap.Unverrede siliceabsorbealorsleslongueursd'ondedel'ordrede150nm.Concernantleverre(etlaplus partdesmilieuxdiélectriquestransparents),larégiondetransparenceduvisiblecorrespondà desfréquencesEMplusfaiblesquelafréquenced'absorptionUV.Cetterégiondetransparence estappeléelarégiondedispersionnormaleetpeutêtredécriteparlemodèledeLorentz (électronélastiquementlié)danslequellesélectronsoscillentàlafréquencedel'ondeEM.Ce B⎞ ⎛ modèlepermetderendrecomptedesloisempiriquesdeCauchy ⎜ n = A + 2 ⎟ etdeSellmeier ⎝ λ ⎠ ⎛ 2 B1λ 2 ⎞ . n = 1+ ⎜⎝ λ 2 − C1 ⎟⎠ -Dansl'infrarouge,ouIR,lesphénomènesphysiquesentraînantunechutedetransmissionsont différents.Lorsqu'unemoléculereçoitunequantitéd'énergiedonnée,ellesemetàvibrerselon différentsmodescorrespondantsàdesmouvementspériodiquesdesatomesdelamolécule; chaquefréquenceassociéeàl'énergiedumodedevibrationdelamoléculeestabsorbée. Dansunverredesilice,laliaisonSi-Opossèdedeuxmodesdevibrationprincipaux,larotationet l'élongation.Commelafréquencedel'élongationestde0,34×1014Hz,l'absorptionauralieuà 8,8µm. -Achaquebanded'absorptionduspectreEM,lasusceptibilitéélectriquesubitunevariation brutaledesapartieréelle(indice)etdesapartieimaginaire(absorption). UniversitédeRennes1 IMAGERIE-MICROSCOPIEM1Phys.&M1PhysMed.(2016-2017) OSCILLATEUR DE LORENTZ Le modèle de Lorentz,modèleditde"l'électronélastiquementlié", permet de rendre compte de l'interaction de la lumière visible avec un milieu diélectrique.Danslecadredecemodèleon considèrequelesconstantesoptiques(indicenetcoefficientd'absorptionα)peuventêtre calculéesàpartirdelaréponsedesélectronsliésauxatomes.Eneffetcesélectronssemettentà vibrersousl'actionduchampélectriqueEetrayonnentàleurtour.Laréponsedumilieusous l'actionduchampEestlapolarisabilitéinduiteP.ApartirdecetteréponseP,onpeuten déduirel'indicederéfractionn. Le modèle physique permettant de calculer la polarisabilité électrique P du milieu est celui de l'oscillateur harmonique pourlequelonsupposequel'électronestsusceptibled'osciller àlafréquenceωautourdunoyaufixesousl'actionduchamp électrique E = Eo eiω t . On suppose que la réponse de l'électron estdutypeoscillateurharmoniqueamortientretenu. 1/ Expliquer pourquoi (justifier) l'équation du mouvement de l'électron (pour un champ orientéesuivantx)s'écrit: dx d2 x qE − mγ − mω o2 x = m dt dt 2 oùmestlamassedel'électron,qsacharge,ωoestlapulsationpropred'oscillationdel'électron (fréquencepropre f o )et γ (s−1 ) letauxd'amortissement. 2/ En supposant que le déplacement de l'électron est harmonique et peut s'écrire x = x o e iωt , donnerl'expressiondexoàpartirdel'équationdumouvement. 3/Endéduirelemomentdipolaireinduit p = q x o ,puislapolarisationélectriquemacroscopique induite P (C/m 2 ) ensupposantqu'ilyNatomesparunitédevolumeetunélectronparatome. Dans le cadre de l'optique classique, la polarisation électrique P est reliée au champ électromagnétique E par la relation suivante P = ε ο χ E où εο = 8.854 ×10−12 Fm−1 est la permittivitéduvideet χ lasusceptibilitéélectriquedumilieu(scalairedansunmilieuisotrope). D'autre part, la constante diélectrique relative complexe ε!r (ω ) ≡ ε r1 (ω ) − iε r 2 (ω ) est reliée à ! ω ) ≡ n(ω ) − iκ (ω ) parlarelationsuivante ε˜r (ω ) = 1+ χ (ω ) ≡ n˜ 2 (ω ) . l'indicecomplexe n( 4/Donnerlesrelationsentre ε r1 (ω ) , ε r 2 (ω ) et n(ω ) , κ (ω ) . 5/Exprimer ε r1 (ω ) et ε r 2 (ω ) enfonctiondeN,q,m,εo,γ,ω,ωo. 6/ Donner les valeurs particulières à fréquence nulle ε r1 (0), ε r 2 (0) et à fréquence infinie ε r1 (∞), ε r 2 (∞) ainsiquelesvaleurscorrespondantes n(0), n(∞), κ (0), κ (∞) . 7/ Exprimer ε r1 (ω ) et ε r 2 (ω ) en fonction de ε r1 (0), ε r1 (∞) , γ, ω, ωo. En déduire les valeurs particulières ε r1 (ω o ) et ε r 2 (ω o ) . 8/ Déduire des résultats précédents l'expression du rapport ωo/γ enfonctionde n(0), n(∞), κ (ω o ) . 9/Apartirdelacourbesuivantereprésentantlesvariations(centréessurl'UV)de n(ω ) et κ (ω ) pourlasilicefondue(verre)enfonctiondeω ,déterminerlalongueurd'onded'absorption λo et UniversitédeRennes1 IMAGERIE-MICROSCOPIEM1Phys.&M1PhysMed.(2016-2017) κ (ω o ) . Déterminer n(0) et n(∞) loin de la fréquence de résonance f o . En déduire la valeur du rapportωo/γ puisde γ. 10/ Calculer la valeur du coefficient d'absorption α = 4 πκ / λ à la fréquence de résonance f o . Donnerl'épaisseurdeverrequicorrespondàunediminutionde1/edel'intensitélumineuse. 11/ Dans la partie visible du spectre (λ=0.5µm), calculer κ à partir de la valeur du coefficient d'absorption α =10-5 cm-1. En utilisant les résultats précédents, donner l'expression de l'indice de réfraction n dans cette partie du spectre en fonction de N, q, m, εo, γ, ω, ωo. Justifier que l'amortissementγ peutêtrenégligé. 12/ En faisant un développement limité au premier ordre en λ0 / λ < 1, montrer que l'indice de réfraction peut s'écrire n 2 = A + B (loi de Cauchy). Calculer A et B. Faire l'application λ2 numérique.