Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 6 - LAMA
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Probabilités, MATH 424 Feuille de travaux dirigés 6 : Approximations et théorèmes limites Exercice 1 (Approximations). Des études effectuées par une compagnie aérienne montrent qu’il y a une probabilité 0.05 qu’un passager ayant effectué une réservation n’effectue par le vol. Dès lors elle vend toujours 94 billets pour ses avions à 90 places. On note A le nombre d’absents à l’embarquement. 1. Quelle est la loi suivie par A. 2. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un problème à l’embarquement ? 3. Comparer les approximations par la loi de Poisson et par la loi normale, quelle est la meilleure ? pourquoi pouvait on s’en douter ? Exercice 2 (Sondage avec et sans remise). Deux individus A et B sont les candidats d’une élection dans une population de N personnes. On note p la proportion d’électeurs pour A dans la population totale. Afin d’estimer p on fait un sondage auprès de n personnes. 1. On suppose le sondage fait sans remise et on note Y le nombre d’électeurs favorables à A dans cet échantillon. Donner la loi de N et calculer son espérance. 2. On suppose le sondage fait avec remise et on note X le nombre d’électeurs favorables à A dans cet échantillon. (a) Quelle est la loi suivie par X ? (b) Grâce à l’approximation normale, donner en fonction de n et p un intervalle où X a 95% de chance de se situer. (c) Donner un estimateur naturel p̂ de p. Quelle est sa moyenne ? (d) Donner un majorant de x(1 − x) lorsque x ∈ [0, 1]. En déduire un intervalle de confiance à 95% pour p. (e) Quelle est la taille de cet intervalle lorsque l’on interroge 1000 personnes ? (f) Combien de personnes faut-il interroger pour obtenir une estimation à ±2%. (g) On suppose que la taille n de l’échantillon est très petite devant la taille N de la population. Comparer X et Y . Exercice 3 (Méthode de Monte-Carlo). Soit (Un ) une suite de variables aléatoires indépendantes toutes de loi uniforme sur l’intervalle [0, 1]. Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Que peut on dire de f (U1 ) + ... + f (Un ) n lorsque n tend vers l’infini ? Exercice 4 (Somme de lois de Poisson). Soit Xn une suite de variable aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de n n nk −n paramètre 1. Soit Sn = ∑k=1 Xk . Donner la loi de Sn et calculer la limite de la suite e ∑k=0 k! . Exercice 5 (Dé). La somme des résultats de 10000 lancers d’un même dé est 35487. Pensez-vous que ce dé soit truqué ? 1
