Fiche 9 : Dénombrement
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Fiche Exercices Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S Fiche 9 : Dénombrement Principes fondamentaux Méthode • lorsque l’on effectue p tirages successifs et que l’on note les résultats il s’agit d’un tirage avec ordre, modélisé par une p-liste ; • lorsque l’on tire simultanément p objets il s’agit d’un tirage sans ordre, modélisé par une combinaison ; • dans le cas de p tirages avec remise, chacun des tirages a le même nombre de valeurs possibles, alors que dans le cas de p tirages sans remise, le nombre de valeurs possibles diminue d’une unité à chaque tirage. Exercice 1 Un sac contient neuf jetons numérotés de 1 à 9. 1. On tire successivement trois jetons. a) Combien y a-t-il de tirages de trois jetons parmi lesquels figurent deux jetons pairs exactement ? b) On note le numéro porté par chaque jeton tiré. Combien de tirages fournissent un nombre pair de trois chiffres, le premier tirage donnant le chiffre des unités et le deuxième celui des dizaines ? 2. On tire trois jetons successivement et avec remise. Traiter les questions a) et b) dans ce cas. Anagrammes Méthode Une anagramme d’une p-liste (d’un « mot de p lettres ») est une p-liste utilisant les mêmes éléments à des places différentes. • Lorsque les éléments sont deux à deux distincts une anagramme est une permutation. • Sinon, pour dénombrer les anagrammes d’une p-liste on détermine « un processus de fabrication » : placer q éléments identiques c’est choisir q emplacements parmi p, restent alors p – q places parmi lesquelles on en choisit q’ pour placer q’ éléments identiques… Exercice 2 Déterminer le nombre d’anagrammes du mot « lettre ». Distinguer « au moins n… » de « exactement n… » Méthode « au moins n… » signifie « exactement n, ou exactement n + 1, ou exactement n + 2,… » jusqu’au maximum permis par l’énoncé. Lorsque ne figurent ni « au moins » ni « exactement », on considère que « exactement » est sous entendu. Exercice 3 On extrait simultanément et au hasard cinq cartes d’un jeu de trente deux cartes. Déterminer le nombre de mains contenant un roi. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32009 MATHEMATIQUES Série S Dénombrer le complémentaire Méthode Lorsqu’un ensemble comporte plus d’éléments que son complémentaire, il peut être plus avantageux de commencer par dénombrer ce dernier. Exercice 4 (Suite de l’exercice précédent) Déterminer le nombre de mains comportant au moins un roi. Dénombrer en utilisant une partition Méthode Cela consiste à décomposer le critère qui caractérise les objets à dénombrer en plusieurs critères s’excluant mutuellement. On doit alors veiller à ne pas compter plusieurs fois le même objet… Exercice 5 (Suite de l’exercice précédent) Déterminer le nombre de mains comportant un roi et trois piques. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 2
