INSA DE LYON 2009-2010 QCM d’algèbre linéaire Il peut parfois y avoir plusieurs réponses correctes, on les cochera toutes. Il peut aussi n’y avoir aucune réponse valable. Tous les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur K = R ou C. Qu 1. Est-il possible qu’un espace vectoriel possède exactement : 2 éléments une infinité d’éléments Qu 2. Un espace vectoriel de dimension finie possède un nombre fini d’éléments. VRAI Qu 19. Si B est libre, alors B \ {vj } est libre. FAUX Qu 20. Si B est liée, alors B \ {vj } est liée. Qu 21. Si B est liée, alors B \ {vj } est libre. Soient E un espace vectoriel sur K, F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E. VRAI Qu 4. F ∪ H est un sous-espace vectoriel de E. VRAI Qu 7. Si dim F + dim G = dim E alors F et G sont supplémentaires. Qu 8. Si E = F ⊕ G et si x ∈ / F alors x ∈ G. FAUX Qu 11. Si dim F = dim G = 2 et F ∩ G = {0E } alors dim E > 4. Qu 12. Si E = R5 et dim F = dim G = 3 alors F ∩ G 6= {0E }. VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX Qu 13. F = (x, y, z) ∈ R3 3x + 2z = 0 et x + y = 0 avec E = R3 . Qu 14. F = (x, y, z) ∈ R3 x > 0 avec E = R3 . Qu 15. F = P ∈ R[X] Qu 25. Si les vi (pour 1 ≤ i ≤ n) sont non colinéaires 2 à 2, alors B est libre. Z 0 VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX avec E = R[X]. Qu 16. F = P ∈ R[X] P + P ′ = 1 avec E = R[X]. 1 FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX Qu 26. La famille (V1 , V2 ) est libre. VRAI FAUX VRAI FAUX Qu 28. Cocher les cases correspondant à des bases de E : (V1 ) (V1 , V2 ) (V1 , V2 , V3 ) (V2 , V3 ) (e1 , V2 , V3 ) On se place dans l’espace vectoriel E = R3 [X] des polyômes de degré inférieur ou égal à 3. Cocher les cases correspondant à des affirmations vraies. Qu 29. La famille B1 = (1 + 3X, X + X 2 , 3X + X 3 ) est : libre génératrice de E une base de E ni libre, ni génératrice Qu 30. La famille B2 = (2X + X 3 , −2X + X 3 , −1 + X 2 , 1 + X 2 ) est : 1 P (t)dt = 0 VRAI Soient E un espace vectoriel sur K muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et V1 = 2e1 + e2 − e3 , V2 = −e1 + 2e2 + 5e3 et V3 = 5e2 + 9e3 des vecteurs de E. Qu 27. La famille (V1 , V2 , V3 ) est libre. Dans chacun des cas suivants, dire si l’affirmation « F est un sous-espace vectoriel de E » est vraie ou fausse. Qu 24. Si aucun des vi (pour 1 ≤ i ≤ n) n’est combinaison linéaire des autres, alors B est libre. Qu 10. E = F ⊕ F où F désigne le complémentaire de F dans E. Qu 9. Le complémentaire de F est un sous-espace vectoriel de E. Qu 23. Si B est liée, alors B ∪ {vn+1 } est liée. Qu 6. Si E = F ⊕ G et E = F ⊕ H alors G = H. Qu 5. F + H est un sous-espace vectoriel de E. FAUX Qu 22. Si B est libre, alors B ∪ {vn+1 } est libre. Qu 3. F ∩ H est un sous-espace vectoriel de E. FAUX Familles libres, liées, génératrices, bases, dimension 1 élément Qu 18. F = R avec E = R. VRAI Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie, soit B = (v1 , v2 , . . . , vn ) une famille de n vecteurs de E et soit vn+1 un vecteur de E qui n’est pas dans B. Dans ce qui suit, j désigne un entier entre 1 et n. Espaces vectoriels 0 élément Qu 17. F = P ∈ R5 [X] deg(P ) > 2 avec E = R5 [X], l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 5. VRAI FAUX VRAI FAUX libre génératrice de E une base de E 2 ni libre, ni génératrice Qu 31. La famille B3 = (−1, 7 + X, X − 3X 3 , 2 + X 3 , 5 − X + X 3 ) est : génératrice de E libre une base de E ni libre, ni génératrice génératrice de E une base de E f est injective Qu 32. La famille B4 = (−1, 3 + X, 5 + 4X 2 , 2X 2 , X + X 2 + X 3 ) est : f est surjective f est bijective on ne peut pas savoir Qu 47. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille liée, alors : libre Qu 46. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille libre, alors : ni libre, ni génératrice f est injective Applications linéaires f est surjective f est bijective on ne peut pas savoir Qu 48. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille génératrice de F , alors : f est injective Soit f l’application de R2 dans R3 définie par : f (x, y) = (2x + y, x − y, x − y). Qu 33. Alors f est : Qu 34. Ker(f ) est : Qu 35. f est : un endomorphisme {(0, 0)} injective Vect((1, 1)) surjective un isomorphisme un automorphisme f est injective ni l’un ni l’autre bijective Qu 50. Vect((0, 1, 0)) Vect((2, 1, 1), (1, −1, −1)) f est bijective on ne peut pas savoir Matrices Qu 36. Im(f ) est : R3 f est surjective Vect((2, 1, 1), (1, −1, 1)) R2 on ne peut pas savoir une application linéaire f est bijective Qu 49. S’il existe une base B telle que f (B) soit une base de F , alors : f est surjective le plan d’équation y = z Le rang de B = 0 2 −1 1 est égal à : 0 −1 −1 0 1 2 4 8 Qu 51. Si on fait un changement de bases de matrice P , suivi par un changement de bases de matrice Q, cela équivaut à faire un changement de bases de matrice Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies Qu 37. Si f est une forme linéaire non nulle sur E, alors f est surjective. Qu 38. Si f ∈ L(E, F ), alors rg(f ) 6 inf(dimE, dimF ). PQ VRAI FAUX VRAI FAUX Soient E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E : Qu 39. Si f (g(x)) = f (y) alors g(x) = y. Qu 40. Si (e1 , . . . , en ) est une famille libre de E, alors (f (e1 ), . . . , f (en )) est une famille libre de E. Qu 41. Si (f (e1 ), . . . , f (en )) est une famille libre de E, alors (e1 , . . . , en ) est une famille libre de E. Qu 42. Si (e1 , . . . , en ) est une famille génératrice de E, alors (f (e1 ), . . . , f (en )) est une famille génératrice de E. Qu 43. Si f est injective, alors : Qu 44. Si f est surjective alors : Qu 45. Si f est bijective alors : n>p n>p n>p p>n p>n p>n 3 n=p n=p n=p Q−1 P P −1 Q Qu 52. Si deux matrices sont semblables alors leurs inverses sont semblables. VRAI FAUX Soient E = R3 muni de sa base canonique B et f un endomorphisme de E. VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, et f : E → F une application linéaire. QP on ne sait pas on ne sait pas on ne sait pas 0 0 1 Qu 53. La matrice A = 1 0 0 est inversible. 0 1 0 0 0 1 Qu 54. La matrice de f par rapport à B donnée par Mf = 1 0 0 0 1 0 permet d’affirmer que f est un isomorphisme. Qu 55. Le vecteur v = (−1, 1, −1) est dans le noyau de f . Qu 56. Le vecteur v = (−1, 1, −1) est dans l’image de f . VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX Soient A, B et C trois éléments de Mn (K). Qu 57. Si AB = In alors B = A−1 . Qu 58. Si C 6= 0 et si AC = BC alors A = B. 4 Qu 59. Si A = (aij )1≤i,j≤n AB = n X aik bjk k=1 et B = (bij )1≤i,j≤n alors : ! Qu 60. (AB = BA) ⇔ n X AB = bkj aik k=1 16i,j6n ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 n X ! AB = k=1 n X k=1 bik akj k=1 16i,j6n aik bkj = n X ! akj bij . VRAI ! 16i,j6n FAUX Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ). On définit les vecteurs v 1 = e1 +e2 +e3 , v 2 = e1 − e3 , v 3 = e2 + e3 et f l’endomorphisme de E tel que : f (e1 ) = 2e1 − 3e2 + e3 , f (e2 ) = −e1 + e2 − 3e3 et f (e3 ) = e1 − e3 . Qu 61. La matrice de f par rapport à B est : 2 −3 1 1 −3 −1 1 0 −1 2 −2 1 1 −3 −1 1 −1 0 2 −1 1 1 0 −3 1 −3 −1 1 1 0 1 1 −1 0 1 1 Qu 62. L’image par f de v 1 a pour coordonnées : 2 −2 −3 2 −3 −2 0 −3 0 Qu 63. La matrice de passage de B à (v 1 , v 2 , v 3 ) est : 1 1 1 1 0 −1 0 1 1 1 −1 1 0 1 −1 −1 2 −1 2 −1 1 −3 1 0 1 −3 −1 5 1 1 0 1 1 −1 0 1 1