Étude de l`expérience de Timochenko 1.Étude générale ω < Rx x

Étude de l'expérience de Timochenko
1.Étude générale
1.1.Théorèmes généraux
L’application de la relation fondamentale à la plaque
permet d’écrire, dans un référentiel terrestre considéré
galiléen :
‰
avec le théorème de la résultante cinétique, et
en projection
‰
avec le théorème du moment cinétique en O
(point fixe).
R 1 + R 2 + P = ma
N1 + N 2 − mg = 0 (1)
T1 + T2 = m&x& (2)
dσ 0
= OI1 ∧ N1 + OI 2 ∧ N 2 + OG ∧ mg
dt
1.2.Réactions normales et tangentielles
La dérivée par rapport au temps du moment cinétique
en O est nulle si G se déplace en translation et si les
vecteurs OG et mvG sont colinéaires (plaque infiniment
mince).
‰ On obtient :
‰
On calcule les réactions
combinant (1) et (3)
normales
en
On calcule les réactions tangentielles en utilisant la
condition imposée par le glissement et après avoir
justifié leur sens grâce à la vitesse de glissement (et la
condition imposée x& < Rω )
σ 0 = σ G + OG ∧ m v G
L
L
N1 + N 2 − xmg = 0 (3)
2
2
mg
x
mg
x
N1 =
(1 − 2 )
N2 =
(1 + 2 )
2
L
2
L
-
v g = v I∈P / ℜ − v I∈Cylindre / ℜ
Pour les cylindres 1 et 2 :
‰
La coordonnée de vG1 est négative donc T1 > 0
car opposée à la vitesse de glissement
v g1 = ( x& − Rω) i
T1 = + f N1 =
‰
La coordonnée de vG2 est positive donc T2 < 0
car opposée à la vitesse de glissement
v g 2 = ( x& − (− Rω)) i
T2 = −f N 2 = −
1.3.Équation différentielle
La relation (2) permet d’écrire l’équation différentielle.
La solution de cette équation est une fonction
sinusoïdale de période T donnée par l’expression cicontre.
La période dépend de la longueur de la plaque et du
coefficient de frottement entre plaque et cylindres.
(possibilité de mesure de f par une mesure de temps).
I.N.R.P. – B. Richoux, C. Salvetat, Lycée J.-B. Corot, Savigny s/orge
fmg
x
(1 − 2 )
2
L
fmg
x
(1 + 2 )
2
L
fmg 
x
x
2fg
1 − 2 − 1 − 2  = m &x& Æ &x& +
x=0

2 
L
L
L
x = x 0 cos(
17/10/01
L
2π
t ) Æ T = 2π
T
2fg
1/1