Cours Terminale L Nombres rationnels et nombres réels

Cours
Terminale L
Nombres rationnels et nombres réels
1. Ecriture décimale d'un nombre:
Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale est finie.
1.1. Exemples: 3,14; 1 considéré comme 1,0; 2,71828; 0,69; 1,333.
1.2. Définition: Un nombre réel d est dit décimal si et seulement si il existe deux entiers relatifs a et p tels que
d = a × 10p .
1.3. Exemple: 3,14 = 314 × 10 – 2 .
1.4. Exercice: Écrire les nombres suivants sous la forme a × 10 :
15,28;
30,056;
0,098;
2,71828;
1,333333.
p
Il existe des nombres dont la partie décimale est illimitée. Certains présentent une partie décimale périodique,
c'est-à-dire, qu'à partir d'un certain rang, une suite finie de chiffres est répétée indéfiniment.
Exemples:
1
= 0,33333... La partie décimale est illimitée, mais le chiffre 3 est répété indéfiniment.
3
4
= 0,363636... La partie décimale est illimitée, mais les chiffres 3 et 6 sont répétés indéfiniment.
11
4
Notation:
= 0,363636... se note 0, 36 .
11
2. Les nombres rationnels :
Les nombres rationnels sont ceux dont l'écriture décimale présente une partie périodique à partir d'un certain rang.
2.1. Exemple: soit le nombre 3,5727272... = 3,572 = 3,5 + 72×10– 3 + 72×10– 5 +72×10– 7 + ....
On voit apparaître la somme des termes d'une suite géométrique (un) tel que un = 72×10– (2n + 3) = 72×100–n×10– 3 .
La raison de la suite est 100– 1 = 0,01 et le premier terme 72×10– 3 .
n
n
10,01
10,01
La somme Sn des n premiers termes de cette suite est égale à Sn = u0 ×
= 72×10– 3 ×
.
10,01
0,99
n
n
0,01 = 0 car la raison est strictement comprise entre 0 et 1. Donc lim 10,01 = 1
On sait que nlim
0,99
0,99
n
1
0,072
72
4
Donc la limite de cette somme est lim S n = 72×10– 3 ×
=
=
=
. Ainsi le nombre
n 0,99
0,99
990
55
4
35
4
375
8
393
=
+
=
+
=
qui est bien un rationnel.
3,5727272... = 3,5 72 = 3,5 +
55
10
55
110
110
110
2.2. Technique: La méthode pour obtenir l'écriture fractionnaire:
On pose x = 3,572 ; on a 10x = 35, 72 et 1000x = 3572, 72 ;
donc 1000x – 10x = 3572, 72 – 35, 72 = 3572 – 35 = 3537;
3537
393
donc 990x = 3537 et x =
=
.
990
110
2.3. Exercice: a) Trouver les rationnels correspondants aux nombres : 3,142857142857142857... ; 0,66666... ;
0,027027027... ; 0,037037037... ; 1,999999... ; 0,142857142857.... ; 0,428571428571... ; 0,285714285714...
2
239
4562
28
,
,
,
.
b) Écrire les rationnels suivants dans leur écriture décimale:
7
6
3
13
Chaque dénominateur a sa propre période. Trouver la période pour les dénominateurs 3; 7; 9; 11; 13.
2.4. Remarque: En fait, les nombres irrationnels sont ceux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme du quotient de
deux entiers, c'est-à-dire que la partie décimale du nombre n'est jamais périodique.
2.5. Exemples: 1. Le nombre 2 est irrationnel. Voici une démonstration célèbre, trouvée par Pythagore ou un
mathématicien de son époque:
On suppose que
2
est rationnel, c'est-à-dire qu'il puisse s'écrire comme quotient de deux entiers
p
q
, et on
suppose en plus que ces deux entiers sont premiers entre eux (le plus grand diviseur commun de p et q est 1).
Dans ce cas, p² = 2q² , donc p² est un multiple de 2, donc p aussi. On écrit alors p = 2p' ; on obtient (2p')² = 2q²,
soit 4(p')² = 2q², soit 2p' ² = q² et donc q est un multiple de 2. Donc 2 est un diviseur commun de p et q, ce qui
contredit l'hypothèse de départ. Ce type de raisonnement est appelé « raisonnement par l'absurde », puisque on
suppose un résultat faux pour obtenir une contradiction dans la démonstration.
2. Le nombre est irrationnel. La première démonstration a été proposée par Lambert en 1761.
3. Le nombre ln2 est irrationnel.
4. Le nombre e (base de la fonction exponentielle) est irrationnel.
En utilisant le modèle de la démonstration de l'irrationalité de
La calculatrice donne
2
2 , montrer que 3
1,414213562 qui est une valeur approchée de
2
est irrationnel.
–9
à 10 près.