M2-C1 - CPGE Brizeux

PCSI Physique
Exercices. M2-C1
Lycée Brizeux 2016-2017
Dynamique.
Exercice 1.
Oscillations d’un anneau dans un cerceau.
Un cerceau de rayon 𝑅 est fixé au sol. Un anneau 𝑀 de masse 𝑚 peut glisser
sans frottement le long de ce cerceau. Cela signifie que la force 𝑅 exercée par
le cerceau sur l’anneau est perpendiculaire au cerceau.
a Quelles coordonnées doit-on a priori utiliser pour décrire la position de
l’anneau ?
b Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour l’anneau.
c Projeter l’expression précédente sur la base choisie.
d En déduire la période des petites oscillations. On pourra utiliser sin 𝑥 ≈
𝑥 pour 𝑥 ≪ 1. Proposer une application numérique.
e Initialement, l’anneau est situé à la verticale au-dessous de 𝑂 avec une
vitesse initiale 𝑣- horizontale vers la droite. Trouver l’évolution au cours
du temps de la position de l’anneau.
Exercice 2.
Lancer d’un objet *.
Un caillou est lancé depuis une hauteur ℎ = 1,5m avec une vitesse initiale de
norme 𝑣- = 40km.h9: faisant un angle 𝛼 = 30° avec l’horizontale. Le champ de
pesanteur est uniforme 𝑔 = 9,8m.s 9A . A quel endroit le caillou touche-t-il à
nouveau le sol ?
Exercice 3.
Etude d’un skieur *.
On étudie le mouvement d’un skieur descendant une piste selon la ligne de plus grande pente, faisant
l’angle 𝛼 avec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement supposée de la forme 𝑓C = −𝜆𝑣, où 𝜆 est
un coefficient constant positif et 𝑣 la vitesse du skieur. On note 𝑇 et 𝑁 les composantes tangentielle et
normale de la force de frottement exercée par la neige et 𝑓 le coefficient de frottement solide tel que
𝑇 = 𝑓 𝑁 . On choisit comme origine de l’axe 𝑂𝑥 de la ligne de plus grande pente la position initiale du
skieur, supposé partir à l’instant initial avec une vitesse négligeable. On note 𝑂𝑦 la normale à la piste
dirigée vers le haut.
a. Calculer 𝑇 et 𝑁.
b. Calculer la vitesse 𝑣 et la position 𝑥 du skieur à chaque instant.
c. Montrer que le skieur atteint une vitesse limite 𝑣I et calculer 𝑣 en fonction de 𝑣I .
d. Calculer 𝑣I pour 𝜆 = 1SI, 𝑓 = 0,9, 𝑔 = 10m.s 9A , 𝑚 = 80kg et 𝛼 = 45°.
e. Calculer littéralement et numériquement la date 𝑡: o le skieur a une vitesse
égale à 𝑣I 2.
f. A la date 𝑡: , le skieur tombe. On néglige alors la résistance de l’air, et on
considère que le coefficient de frottement sur le sol est multiplié par 10.
Calculer la distance parcourue par le skieur avant de s’arrêter.
Exercice 4.
Décollage d’une bille **.
Sur un ressort de raideur 𝑘 et longueur à vide 𝑙- est accrochée une plaque de masse
𝑀. On pose une bille de masse 𝑚 sur la plaque.
a. Quelle est la longueur 𝑙éR du ressort à l’équilibre ?
b. Décrire le mouvement quand la bille reste au contact de la plaque.
c. Quelle est la condition de non-décollage de la bille ?
Réponses détaillées :
a. Le principe fondamental de la dynamique appliquée au système composé de la bille et de la
plaque (l’ensemble des deux est supposé se comporter comme un point matériel) à l’équilibre
donne (avec 𝑓S la tension du ressort) :
𝑚+𝑀 𝑔
𝑚 + 𝑀 𝑎 = 0 = 𝑚 + 𝑀 𝑔 + 𝑇 ⇒ 0 = − 𝑚 + 𝑀 𝑔 − 𝑘 𝑙éR − 𝑙- ⇔ 𝑙éR = 𝑙- −
𝑘
Le vecteur 𝑢Y est dirigé vers le haut. La longueur du ressort est plus faible qu’à vide à cause
du poids de la bille et de la plaque.
b. L’ensemble bille et plaque est alors rigide et se modélise comme un point matériel. On note
𝑧 𝑡 leur altitude repérée par rapport à 𝑂. Le principe fondamental de la dynamique appliqué
au système bille et plaque donne en projection :
𝑘
𝑘
𝑚 + 𝑀 𝑧 = − 𝑚 + 𝑀 𝑔 − 𝑘 𝑧 − 𝑙- ⇔ 𝑧 +
𝑧 = −𝑔 +
𝑙
𝑚+𝑀
𝑚+𝑀 -
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⇒ 𝑧 = 𝑙éR + 𝐴 sin 𝜔- 𝑡 + 𝜑 ;𝜔- =
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𝑘
𝑚+𝑀
𝐴 et 𝜑 sont des constantes. Le système oscille à la pulsation 𝜔- . L’amplitude 𝐴 est donnée par
les conditions initiales.
c. Il faut évaluer la réaction 𝑅 = 𝑅𝑢Y de la plaque sur la bille. Pour cela, on applique le principe
fondamental de la dynamique à la bille.
𝑚𝑧 = −𝑚𝑔 + 𝑅 ⇔ 𝑅 = 𝑚 𝑧 + 𝑔 = 𝑚 −𝜔- A 𝐴 sin 𝜔- 𝑡 + 𝜑 + 𝑔
Pour que 𝑅 reste positive, il faut que l’amplitude 𝐴 vérifie 𝜔- A 𝐴 ≤ 𝑔. Pour des grandes
amplitudes, la bille décolle, ce qui semble physiquement correct.
Exercice 5.
Jeux aquatiques ***.
Un baigneur (masse 𝑚 = 80kg) saute d’un plongeoir situé à une hauteur ℎ = 10m au-dessus de la
surface de l’eau. On considère qu’il se laisse chuter sans vitesse initiale et qu’il est uniquement soumis
à la force de pesanteur (on prendra 𝑔 = 10m.s 9A ) durant la chute. On note 𝑂𝑧 , l’axe vertical descendant,
𝑂 étant le point de saut.
a. Déterminer la vitesse 𝑣` d’entrée dans l’eau ainsi que le temps de chute 𝑡a . Application
numérique.
Lorsqu’il est dans l’eau, le baigneur ne fait aucun mouvement. Il subit, en plus de la pesanteur, une
force de frottement 𝑓C = −𝑘𝑣 (𝑣 étant la vitesse et 𝑘 = 250kg.s 9: ) et la poussée d’Archimède 𝑓A = − 𝑚𝑔 𝑑d
(𝑑d = 0,9 est la densité du corps humain).
b. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit la vitesse en projection sur 𝑂𝑧 , notée 𝑣Y . On
posera 𝜏 = 𝑚 𝑘.
c. Intégrer cette équation en prenant comme nouvelle origine des temps 𝑡 = 𝑡a .
d. Déterminer la vitesse limite 𝑣I (< 0) en fonction de 𝑚, 𝑘, 𝑔 et 𝑑d . Application numérique.
e. Exprimer la vitesse 𝑣Y en fonction de 𝑣` , 𝑣I et 𝑡. Déterminer à quel instant 𝑡: le baigneur
commence à remonter.
f. En prenant la surface de l’eau comme nouvelle origine de l’axe 𝑂𝑧 , exprimer 𝑧 𝑡 . En déduire
la profondeur maximale pouvant être atteinte.
g. En fait, il suffit que le baigneur arrive au fond de la piscine avec une vitesse de l’ordre de 1m.s 9:
pour qu’il puisse se repousser avec ses pieds sans risque : à quel instant 𝑡A atteint-il cette vitesse
et quelle est la profondeur minimale du bassin ?
Réponses courtes :
a. Vitesse d’entrée dans l’eau et temps de chute :
𝑣` =
2ℎ
⇒ 𝑣` = 14m.s 9: ;𝑡a = 1,4s
𝑔
2𝑔ℎ;𝑡a =
b. Equation différentielle :
𝑣Y +
𝑣Y
1
=𝑔 1−
𝜏
𝑑d
c. Solution de l’équation avec la nouvelle échelle des temps :
1
1
𝑡
𝑣Y 𝑡 = 𝑔𝜏 1 −
+ 𝑣` − 𝑔𝜏 1 −
exp −
𝑑d
𝑑d
𝜏
d. Vitesse limite :
𝑣I = 𝑔𝜏 1 −
e. Vitesse :
𝑣Y 𝑡 = 𝑣` + 𝑣I exp −
f.
1
⇒ 𝑣I = −0,356m.s 9:
𝑑d
𝑡
𝑣`
− 𝑣I ;𝑡: = 𝜏 ln 1 +
⇒ 𝑡: = 1,19s
𝜏
𝑣I
Altitude/profondeur :
𝑧 𝑡 = 𝜏 𝑣` + 𝑣I
1 − exp −
𝑡
𝜏
− 𝑣I 𝑡 ⇒ 𝑧max = 4,1m
g. Equation différentielle :
𝑡A = 𝜏 ln
𝑣` + 𝑣I
𝑣A + 𝑣I
⇒ 𝑡A = 0,76s ⇒ 𝑧 = 3,94m