Corrigé du DS n 2 (CCP-e3a) - Mécanique 1 Athlétisme : le 200 m
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Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique Corrigé du DS n◦ 2 (CCP-e3a) - Mécanique 1 Athlétisme : le 200 m - Résolution de problème L’expression de la force centrifuge ressentie par les coureurs est dirigée vers l’extérieur du virage et a pour norme : Fie = mΩ20 R où m est la masse du coureur, R est le rayon de courbure de la trajectoire, qui dépend du couloir dans lequel v0 il coure. Ω0 est la vitesse angulaire du coureur, supposée uniforme pour simplifier, de sorte que Ω0 ' , où R v0 est la vitesse de la course. On peut estimer les grandeurs : 200 L ' = 10 m.s−1 , soit 36 km.h−1 . — v0 par la vitesse moyenne sur l’ensemble de la course v0 ' ∆t 20 — m ' 100 kg — le rayons des couloirs extrêmes : R8 = 46, 4−0.6 = 45, 8 m à l’extérieur et R1 = 45, 8−7×1.2 = 37, 4 m à l’intérieur. Finalement, on peut estimer les forces centrifuges dans chacun des deux couloirs extrêmes : Fie,1 = m v0 2 ' 270 N R1 Fie,8 = m v0 2 ' 220 N R8 On peut tout d’abord dire que ces forces sont très importantes puisqu’elles correspondent respectivement à des masses de 27 et 22 kg tirant le coureur vers l’extérieur ! Par ailleurs, la différence entre ces deux couloirs n’est pas du tout négligeable (environ 20% d’écart), et il est donc préférable de courir dans le couloir extérieur. Le record du monde du 400 mètres est actuellement détenu, pour les hommes, par le sud-africain Wayde van Niekerk, avec un temps de 43,03 s, établi le 14 août 2016 lors des JO de Rio de Janeiro. Il était dans le couloir extérieur 8... Cependant, comme les compétiteurs partent décalés dans les couloirs (cf photo) afin qu’ils parcourent la même distance jusqu’à la ligne d’arrivée, le coureur extérieur doit faire tout le début de course seul en tête. Les "poursuivants" ont donc un léger avantage puisqu’ils peuvent gérer leurs efforts en fonction des coureurs devant eux. En pratique, ces deux effets antagonistes, physiques et psychologiques, font que les meilleurs couloirs sont ceux du centre de la piste. MP1&2 - Année 2016/2017 1 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique 2 Bille dans un tube en rotation galiléen non galiléen MP1&2 - Année 2016/2017 2 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique ; N1 entraîne donc la bille dans la rotation ) MP1&2 - Année 2016/2017 3 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique MP1&2 - Année 2016/2017 4 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique MP1&2 - Année 2016/2017 5 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique MP1&2 - Année 2016/2017 6 Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique 3 Satellite terrestre I. Relations générales 1. → − GmMT → − er Fg =− r2 −−→ − Le vecteur position de M est : OM = r → e r ce qui implique que le déplacement élémentaire est égal → − → − → − → − → − à : d` = dr e + r d e . Comme d e ⊥ e , le travail élémentaire de cette force s’écrit : r r r r − → − → dr δW = F g . d` = − GmMT 2 = − dEp r et donc : dEp GmMT GmMT = =⇒ Ep (r) = − dr r2 r2 2. Le théorème du moment cinétique conduit à : → − − → → − −−→ → − dL → − = M O ( F g ) = OM ∧ F g = 0 dt → − → − −−→ − d’où L reste constant. Ceci implique que le mouvement est plan puisque L = OM ∧ m→ v , ce qui −−→ → − montre que les vecteurs OM et v restent à tout instant perpendiculaires à un vecteur constant. → − − − − 3. Il faut exprimer L dans la base polaire, sachant que → v = ṙ → e + rθ̇ → e . Il vient : r θ → − − − − − L = r→ e r ∧ m(ṙ → e r + rθ̇ → e θ ) = mr2 θ̇→ ez et donc C = r2 θ̇ est une constante. D’un point de vue physique, C est la constante des aires puisque −−→ si A est l’aire balayée par le vecteur position OM pendant ∆t, alors : A= C∆t 2 4. Dans le cas d’un mouvement circulaire, la vitesse et l’accélération s’écrivent : → − − − − − v = Rθ̇ → e θ et → a = −Rθ̇2 → e r + Rθ̈ → eθ − En appliquant le principe fondamental de la dynamique à M et en projetant sur → e r , on obtient : −mRθ̇2 = − GmMT GMT 2 =⇒ vC = R2 θ̇2 = R2 R d’où : s vC = GMT R 1 GmMT 2 et Ec = mvC = 2 2R 5. L’orbite circulaire étant décrite avec une vitesse constante en norme, la période de révolution vérifie l’équation vC T = 2πR ce qui conduit à : 2πR T = = 2π vC s R3 GMT et donc : T2 = MP1&2 - Année 2016/2017 7 4π 2 3 R GMT Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique 6. Par définition : Em = Ec + Ep = GmMT GmMT GmMT − =− 2R R 2R II. Étude d’une trajectoire elliptique 7. a) Le point M n’étant soumis qu’à une force conservative, l’énergie mécanique est conservée. On aura donc : 1 GmMT GmMT GmMT 2 Em = Em (A) = mvA = − − 2 rA 9rA rA et donc : Em = − 8 GmMT GmMT =− 9rA 2a =⇒ a = 9a 16 b) Aux points A et P , la vitesse est perpendiculaire au vecteur position (puisque ṙ = 0 en ces points). La conservation du moment cinétique s’écrit : → − −→ −−→ − − L = OA ∧ m→ v A = OP ∧ m→ vP ce qui, compte tenu de la perpendicularité des vecteur, s’écrit encore : − − mrA vA → e z = mrP vP → ez et donc : rP vA = rA vP D’autre part, rA + rP = 2a = rP = 9rA d’après la question précédente. On en déduit que : 8 9rA rA rP 1 vP − rA = =⇒ = et =8 8 8 rA 8 vA 8. a) Il s’agit d’une vitesse circulaire de rayon rP . D’après la question 4. : s vstat = GMT rP b) Comme les trois vecteurs vitesses sont de même direction et de même sens, nous pouvons écrire : mvp = s Or vP = 8vA = 8 2GMT =8 9rA s m m vstat vcab + vstat =⇒ vcab = vP − 2 2 2 2GMT et donc : 9 × 8rP 4 vP = 3 MP1&2 - Année 2016/2017 s GMT rP d’où vcab 8 1 = 3 s GMT rP Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique c) Juste après la séparation, la cabine est toujours à la distance rP du centre de la Terre. Son énergie mécanique s’écrit (attention, la cabine a une masse m/2) : 1 m GMT GmMT 17 GmMT 1m 2 GmMT = − =− <0 vcab − 2 2 2rP 2 2 9rP 2rP 18 2rP Em (cab) = L’énergie mécanique étant négative, la trajectoire est donc une ellipse. III. Passage dans la ceinture de Van Allen 9. Figure représentée ci-dessous : y M r O A x θ R1 P R2 Ceinture de Van Allen 10. rA est obtenu pour cos θ = −1 et rP pour cos θ = +1, ce qui conduit aux expressions : rA = p p et rP = 1−e 1+e Le quotient de ces deux relations donne : rP 1−e = ⇐⇒ rP (1 + e) = rA (1 − e) rA 1+e et donc : e= rA − rP rP + rA On en déduit ensuite que : p = rA (1 − e) = 2 rA rP rP + rA 11. L’angle θ1 est solution de r(θ) = R1 , ce qui correspond à : p 1 = R1 ⇐⇒ cos θ1 = 1 + e cos θ1 e ou encore : rP + rA cos θ1 = rA − rP p −1 R1 2rA rP −1 (rA + rP )R1 Application numérique : θ1 = 57◦ [360◦ ] ou θ1 = -57◦ [360◦ ] = 303◦ [360◦ ] On obtient une relation analogue pourθ2 θ2 = 143◦ [360◦ ] et θ2 = -143◦ [360◦ ] = 217◦ [360◦ ]. MP1&2 - Année 2016/2017 9 en remplaçant R1 par R2 . Il vient : Lycée Janson de Sailly Corrigé du DS no 2 (CCP - e3a) - Mécanique Physique 12. C∆t 2 Le vecteur position balayant une aire S durant la période de révolution T , nous avons aussi : A= S= et donc : CT 2 A ∆t = S T −−→ Comme le vecteur OM passe deux fois dans la ceinture de Van Allen à chaque période de révolution, nous avons : ∆t 2A ρ= = T S Application numérique : e = 0,7234 et p = 11 719 km ce qui donne : S = 1,311×109 km2 . On a donc : ρ = 0,305 ≈ 30% Le pourcentage d’activité du satellite est donc de 70%. MP1&2 - Année 2016/2017 10 Lycée Janson de Sailly
