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L3 – Communications Numériques – Contrôle écrit – corrigé
22 janvier 2011
Documents exclusivement autorisés :
– Notes manuscrites (TD, cours), pas de photocopie,
– Transparents et polycopiés de cours.
Calculatrice autorisée
1
Compréhension
Codes en ligne
1. Dans un code en bande de base, quel est le but recherché par le filtre adapté, à la réception ? Le filtre
adapté minimise l’impact du bruit sur la probabilité d’erreur. Son expression est gr (t) = g(T1 − t).
2. Quels sont les avantages / inconvénients du code Manchester par rapport au codage NRZ ? Le code
Manchester
– a une occupation spectrale double par rapport au code NRZ,
– n’a pas de composante spectrale dans les basses fréquences,
– permet une conservation de l’horloge à court terme, même lors d’une transmission d’une série de symboles
identiques.
Dans le cas d’un filtrage adapté, pour un code bivalent antipolaire, on calcule
r !
1
Eb
Pe = erfc
2
N0
3. Que représentent les données, Pe , Eb , N0 ?
– Pe est la probabilité d’erreur binaire,
R
– Eb est l’énergie moyenne par bit, soit Eb = g(t)2 dt,
– N0 est la DSP du bruit blanc présent sur le canal.
4. Quel phénomène apparaît lorsque le canal est modélisé par un filtre passe-bas dont la fréquence de
coupure est trop faible ? Quelle est la limite théorique ?
– Le filtrage du canal induit l’interférence entre symboles. La limite théorique pour un filtrage passe-bas idéal
est fc = R/2.
Pour calculer la DSP d’un signal codé on utilise la formule de Bennett.
5. Qu’est-ce-que la DSP d’un signal ? Dans quel cas peut-on utiliser la formule de Bennett simplifiée ?
Exposer un cas concret où son utilisation est impossible. La DSP Sxx (f ) est la densité spectrale de
puissance du signal, l’espérance du carré de la transformée de Fourier. La formule de Bennett simplifiée est
utilisée lorsque les symboles ak sont statistiquement indépendants. Cette propriété n’est pas vérifiée dans le
cas du code AMI
Modulation
Soit un système de modulation numérique d’amplitude (ASK). On a
s(t) = x(t) · cos(ω0 t)
6. Rappeler le principe de démodulation cohérente (qui permet de récupérer à la réception x(t) à
partir de s(t)). La démodulation cohérente consiste à multiplier le signal modulé par une porteuse dont la
fréquence et la phase sont celles de la porteuse de modulation. Le signal modulant est alors récupéré par
filtrage passe-bas.
Une bande de fréquence de 50 KHz est disponible sur un canal hertzien pour effectuer une QAM.
7. Quelle sera la rapidité de modulation maximale ? Pour cette rapidité de modulation maximale,
quelle sera la valence du système pour obtenir un débit de 200 Kbits/s ? La rapidité de modulation
maximale théorique est la largeur de la bande de fréquence disponible, soit RM = 50 kHz. On a D =
R · log2 (M ), soit M = 16.
8. Quel sera le compromis à respecter si l’on augmente le débit en augmentant la valence ? L’augmentation de la valence entraîne une augmentation de la probabilité d’erreur.
9. Quelle est la différence (fonctionnelle) entre la PSK et l’ASK ? Représenter sur une constellation
ces deux modulations. L’ASK est une modulation d’amplitude, l’information est codée par l’amplitude qui
prend un nombre fini de valeurs. La PSK est une modulation de phase. Cf. figure 1
10. Représenter la constellation d’une QAM-16. Représenter sur la constellation l’effet du bruit additif
sur le signal modulé. Cf. figure 1
11. Comparer les modulations QAM et PSK (avantages / inconvénients). L’utilisation de la QAM permet
une plus petite probabilité d’erreur – toutes choses étant égales par ailleurs, rapidité de modulation, valence,
SNR. La PSK est robuste à une atténuation du signal sur le canal.
(a) ASK
(b) PSK
(c) QAM-16
F IG . 1 – Représentation des constellations de différentes modulations.
Codes correcteurs
12. Quel est le débit effectif d’un canal de débit binaire D lorsque l’on utilise un code correcteur ? Si r
est le rendement, alors le débit effectif est rD. Dans le cas d’un code par bloc, r = m/n.
13. Que signifie le principe de redondance ? Afin de pouvoir détecter, repérer, corriger une erreur éventuelle
l’information est répétée (sous la forme d’une séquence de contrôle, par exemple).
14. Qu’est-ce-qu’un code séparable ? Un code séparable est un code pour lequel la source est présente en clair
dans la séquence codée.
15. Dans le cadre d’une radiodiffusion (par exemple la TNT), on utilise exclusivement des code de type
FEC. Pourquoi ? La procédure BEC implique une voie de retour, absente dans le cas d’une radiodiffusion.
2
Exercice : code de Hamming
On considère un code de Hamming (7,4) défini par la matrice de contrôle


1 1 0 1 1 0 0
H= 1 0 1 1 0 1 0 
1 1 1 0 0 0 1
1. Cette matrice est elle conforme ? Oui : les colonnes de la matrice de contrôle sont différentes entre elles et
de la colonne [000]>
2. Quel est le pouvoir correcteur de ce code ? Quel en est le rendement ? Le code de Hamming est 1correcteur. Le rendement est r = m/n = 0.57.
3. Quelle sera la matrice génératrice du code ? La matrice génératrice est


1 0 0 0
 0 1 0 0 


 0 0 1 0 



G=
 0 0 0 1 
 1 1 0 1 


 1 0 1 1 
1 1 1 0
4. Quel sera le mot de code associé au message [0101]. En considérant le vecteur colonne s = [0101]> , on
calcule v = Gs, soit v = [0101011]> .
5. Le récépteur récupère la séquence [1101101]. Décoder la séquence. On calcule le sydrome z = Hv 0 =
[001]> qui est la septième colonne de H. Il y a une erreur sur le septième bit de v 0 , soit v = [1101100]> , donc
la séquence envoyée est [1101].
Le code de Hamming étendu (8,4) consiste à ajouter un bit de parité au mot codé par le code de Hamming
(7,4).
6. Quel est le rendement de ce nouveau code ? Le rendement est r = 4/8 = 0.5.
7. Que se passe-t-il si deux erreurs sont présentes sur un mot codé ? Quel est l’intérêt de ce code ? Si
2 erreurs sont présentes sur le mot reçu, le syndrome est non nul et le nombre de 1 est pair. On en conclue
qu’il y a deux erreurs (que l’on ne peut localiser donc corriger). Le code est 1-correcteur et 2-détecteur.
3
Exercice : modulation
La figure 2 représente le taux d’erreur binaire en fonction du facteur Es /N0 . Le terme Es est l’énergie
consacrée à l’émission d’un symbole (mesurée à l’entrée du récepteur). On désire utiliser une modulation
sur un canal hertzien. La bande de fréquence disponible est de 150 KHz.
1. Quelle est la rapidité de modulation maximale théorique ? La rapidité de modulation maximale est
RM = 1.5 · 105 bauds.
On utilise une rapidité de modulation de 1 × 105 symboles/s (bauds).
2. Pourquoi la rapidité de modulation effective est différente de la rapidité de modulation maximale
théorique ? Une rapidité de modulation de RM impliquerait, pour l’annulation de l’interférence entre symboles, la mise en œuvre d’un filtre passe-bande idéal.
Le rapport Es /N0 peut s’écrire :
Es
PM
=
N0
R · N0
(1)
où PM est la puissance du signal à la réception.
3. Montrer la formule (1) ci-dessus. Le terme Es représente l’énergie moyenne par symbole. La rapidité de
modulation R est le nombre de symboles transmis par unité de temps. La puissance d’émission est donc
PM = R · Es . CQFD.
F IG . 2 – Probabilité d’erreur binaire en fonction du rapport Es /N0 sur le canal
Sur le canal, on mesure N0 = 2 × 10−21 W/Hz. La puissance d’émission est telle que PM = 5 × 10−15 W.
L’application utilisant le canal tolère une probabilité d’erreur binaire maximale de 10−5 . On veut, bien
entendu, maximiser le débit.
4. Que vaut le rapport Es /N0 ? On calcule, grâce à la formule (1), Es /N0 = 25, soit 14 dB.
5. Quelle modulation sera choisie ? Le débit de la transmission ? (Attention : l’axe des abscisses de
la figure 2 est en dB). La figure 2 nous indique que, pour une probabilité d’erreur binaire de maximale de
10−5 , et un rapport Es /N0 = 25 de 14 dB, l’on peut utiliser la PSK-8 et la QAM-16. La QAM-16 permet
d’atteindre un débit D = R log2 M = 4 × 105 bits/s.
On veut se limiter à l’utilisation de la PSK (à l’exclusion, donc, de la QAM).
6. Pour quelle raison ? Quelle sera alors la valence ? Le débit de la transmission ? Le canal induit une
atténuation du signal. La PSK-8 nous permet d’atteindre un débit de 3 × 105 bits/s.
FIN