1 Structure de groupe

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Structure de groupe
Définition 1. Soit G un ensemble non vide, muni d’une loi de composition interne ∗. La loi ∗
définit sur G une structure de groupe si :
1. la loi ∗ est associative ;
2. il existe dans (G, ∗) un élément neutre e ;
3. tout élément de (G, ∗) est symétrisable.
Si de plus, ∗ est commutative, le groupe est dit abélien ou commutatif.
Définition 2. Un groupe G est dit fini s’il n’a qu’un nombre fini d’éléments. Dans ce cas, le
cardinal de G s’appelle l’ordre du groupe G ; il est noté o(G) ou |G|.
Définition 3. G étant un groupe, une partie non vide H de G est un sous-groupe si
1. (x, y) ∈ H × H ⇒ xy ∈ H ;
2. (x, y) ∈ H ⇒ x−1 ∈ H.
Théorème 1. Soit H une partie non vide d’un groupe G, alors H est un sous-groupe de G
si et seulement si
∀(x, y) (x, y) ∈ H × H ⇒ xy −1 ∈ H
Définition 4. Pour toute partie non vide S d’un groupe G, on note hSi le plus petit sousgroupe de G contenant S. hSi est appellé sous-groupe de G engendré par S.
S’il existe x ∈ G tel que hxi = G, le groupe G est monogène.
Définition 5. L’ordre d’un élément x ∈ G est le cardinal du sous-groupe hxi.
Théorème 2 (Lagrange). Si G est un groupe fini, alors l’ordre de tout sous-groupe H de
G divise l’ordre de G.
Corollaire : L’ordre de x ∈ G divise l’ordre de G.
Définition 6. Étant donné deux groupes (E, .) et (F, ∗) un (homo)morphisme de groupe de
E dans F est une application f : E → F telle que,
∀x, y ∈ E
f (x.y) = f (x) ∗ f (y)
Un morphisme de E dans lui-même est appellé endomorphisme de groupe.
Définition 7. Un morphisme de groupe f : E → F est un isomorphisme de groupe s’il existe
un morphisme de groupe g : F → E tel que
g ◦ f = IdE
et
f ◦ g = IdF
Un isomorphisme de E dans lui-même est appellé automorphisme de groupe.
Deux groupes E et F sont isomorphes (E w F ) s’il existe un isomorphisme de E dans F .
Proposition 1. Un morphisme de groupe f : E → F est un isomorphisme si et seulement si
il est bijectif.
Théorème 3. Tout groupe fini d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn .
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Groupes monogènes
Définition 8. On appellera groupe cyclique tout groupe monogène fini.
Proposition 2. Le groupe Z/nZ est cyclique (n > 0).
Théorème 4. Si G est un groupe monogène, alors G vérifie l’une des conditions suivantes :
1. G w Z, dans ce cas G est monogène infini ; ou
2. il existe n > 0 tel que G w Z/nZ, alors G est cyclique d’ordre n.
Proposition 3. Si G = hxi est un groupe cyclique d’ordre n, donc l’élément neutre est e,
alors :
(k ∈ Z et xk = e) ⇐⇒ k ∈ nZ
Corollaire 1. Soit G un groupe fini d’ordre n. Soit x ∈ G tel que o(x) = m, alors :
1. (k ∈ Z et xk = e) ⇐⇒ k ∈ mZ ;
2. m est dans N∗ , le plus petit entier tel que xm = e
3. xn = e
Proposition 4. Tout groupe fini d’ordre premier p est cyclique.
Proposition 5. Le nombre de sous-groupes de Z/nZ est égal au nombre des diviseurs de n
dans N∗ .
Proposition 6. G = hxi étant un groupe cyclique d’ordre n, alors, pour tout diviseur d de
n, il existe un et un seul sous-groupe d’ordre d de G et ce sous-groupe est engendré par xn/d .
Théorème 5. Soit G un groupe monogène G = hxi.
1. Si G est infini, alors les seuls générateurs de G sont x et x−1 .
2. Si G est cyclique d’ordre n > 1, alors l’ensemble des générateurs de G est formé des xk ,
tels que (k, n) = 1.
Proposition 7. Le nombre de générateurs d’un groupe cyclique d’ordre n est égal à ϕ(n).
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Groupes symétriques
Définition 9. Soit E un ensemble non vide. Notons SE l’ensemble des permutations de E
(c’est à dire des bijections de E dans lui-même). Alors (SE , ◦) est un groupe, appellé groupe
symétrique de E.
Si E = {1, 2, . . . , n} = Nn , le groupe symétrique SE est noté Sn
Sn est un groupe fini d’ordre n!.
Définition 10. Un élément σ ∈ Sn est appellé permutation. On notera :
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2
···
n
σ=
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
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Pour tout n > 3, le groupe Sn est non abélien.
Définition 11. Soit σ ∈ Sn , le support de σ est l’ensemble :
{i ∈ Nn ; σ(i) 6= i}
Proposition 8. Dans tout groupe Sn , deux permutations dont les supports sont disjoints
commutent.
Définition 12. À toute permutation σ ∈ Sn , on associe la relation d’équivalence Rσ définie
dans Nn par
i Rσ k ⇐⇒ ∃r ∈ Z, σ r (i) = k
La classe d’équivalence modulo Rσ d’un élément i ∈ Nn est :
Oσ (i) = {σ r (i) ; r ∈ Z}
Oσ (i) s’appelle la σ-orbite de i (ou orbite de i suivant σ).
Définition 13. Une permutation c ∈ Sn dont l’une seulement des orbites Oc (a) n’est pas
triviale, est appellée cycle. Le cardinal de Oc (a) est la longueur du cycle.
Définition 14. Un cycle de longueur 2 dans Sn (n > 2) est appellé transposition.
Le nombre de transpositions dans Sn est égal à Cn2 =
n(n − 1)
.
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Proposition 9. Tout cycle c ∈ Sn de longueur r est un élément d’ordre r.
Théorème 6. Toute permutation σ 6= e dans Sn s’écrit sous la forme :
σ = γ1 ◦ · · · ◦ γs
où s ∈ N∗ , et γ1 , . . . , γs sont des cycles deux à deux disjoints, tous différents de e. La
décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Proposition 10. Soit σ 6= e ; si σ = γ1 ◦ · · · ◦ γs est la décomposition canonique de σ, alors
l’ordre de σ est égal au ppcm des longueurs des cycles γi .
Théorème 7. Pour tout n > 2, tout permutation σ ∈ Sn se décompose, de manière non
unique, en un produit de transpositions.
Théorème 8. Tout groupe symétrique Sn (n > 2) est engendré par l’ensemble des n − 1
transpositions de la forme (1, i), telles que 2 6 i 6 n.
Remarque : (j, k) = (1, j)(1, k)(1, j)
Définition 15. Soit σ ∈ Sn ; si t est le nombre des σ-orbites distinctes, on pose
ε(σ) = (−1)n−t
et ε(σ) est appellée signature de la permutation σ.
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Lemme 1. Soit σ ∈ Sn ; alors quelquesoit la transposition τ ∈ Sn , on a :
ε(σ ◦ τ ) = −ε(σ)
Théorème 9. Si σ est un produit de k transpositions, alors
ε(σ) = (−1)k
Théorème 10. Pour n > 2, l’application
ε : Sn −→ {−1, 1}
σ
7→
ε(σ)
est un épimorphisme (morphisme surjectif) de groupes.
Définition 16. L’ensemble des permutations paires de Sn est noté An . Pour n = 1, on a
A1 = S1 = (e). Pour n > 2, An est le noyau de ε. On appelle An groupe alterné.
Proposition 11. Pour tout n > 1, le groupe alterné An est un sous-groupe normal de Sn ,
d’ordre n!/2.
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Sous-groupes normaux
Théorème 11. H est un sous-groupe normal d’un groupe G si et seulement si il vérifie l’une
des conditions équivalentes suivantes :
Hx = xH, ∀x ∈ G
xHx−1 = H,
−1
x
Hx = H,
xhx−1 = h,
−1
x
hx = h,
∀x ∈ G
∀x ∈ G
∀x ∈ G,
∀h ∈ H
∀x ∈ G,
∀h ∈ H
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