manoeuvres orbitales
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Rappels Le carré de la norme du vecteur vitesse en coordonnées polaires est : 2 2 dr dq V 2 = + r2 [1] dt dt Les composantes radiale (selon l’axe xθ) et tangentielle (selon l’axe yθ) du vecteur accélération exprimées dans le référentiel polaire ont également été déterminées précédemment : 2 d 2r m dq - r =- 2 2 dt r dt [2] 2 dr dq d q 2 +r 2 =0 dt dt dt Les trajectoires étudiées sont des ellipses, conformément à la 1ere loi de Kepler, dont l’expression en coordonnþes polaires est : k2 r= [3’] m + A k 2 cos(q + q 0 ) avec : k 2 b2 = [3’’] m a Ak2 a2 - b2 =e= m a eme et vérifient la 2 loi de Kepler : dq r2 =k dt [3’’’] [4] Théorþme de lýénergie Lorsque l’on multiplie dans l’expression [2] le premier terme par dr et le second terme par dt dq on obtient : dt 2 dr d 2 r dr dq m dr 2 - r =- 2 dt dt dt dt r dt [5’] 2 2 dr dq 2 dq d q 2r =0 +r dt dt dt dt 2 L’þquation [5’’] permet d’þcrire : 2 2 2 dr dq dr dq 2 dq d q - r 2 = r +r dt dt dt dt dt dt que l’on peut rþintroduire dans [5’] pour obtenir : 2 2 dr d 2 r dr dq m dr 2 dq d q 2 + r 2 + 2 =0 +r dt dt dt dt dt dt r dt [5’’] [6] [7] En remarquant que : 2 dr d 2 r 1 d dr 2 = dt dt 2 dt dt 2 2 2 dr dq 1 d 2 dq 2 dq d q r = r +r dt dt dt dt 2 2 dt dt m dr d m = - r 2 dt dt r il vient immédiatement : 2 2 d 1 dr 1 2 dq m + r =0 dt 2 dt 2 dt r [8] [9] 2 2 1 dr 1 2 dq m La relation [9] implique que l’expression + r est une constante 2 dt 2 dt r U et associþe ý l’þquation [1] permet d’þcrire l’expression partielle du théorþme de lýénergie signifiant qu’il y a conservation de l’þnergie sur l’orbite : V2 m - =U [10] 2 r V2 m où est l’þnergie cinþtique, - l’þnergie potentielle et U l’þnergie totale. 2 r k2 La distance au foyer de l’ellipse r = est minimale lorsque m + A k 2 cos(q + q 0 ) cos(q + q 0 ) = 1 et prend la valeur : k2 [11] m + Ak2 Dans ce cas, il est évident que la vitesse radiale est nulle : dr = 0 @ r = rmin [12] dt Ce qui permet d’þcrire immþdiatement d’aprüs [1] : dq V =r @ r = rmin [13] dt La combinaison avec la formule [4] donne la valeur de la vitesse sur la trajectoire au plus proche du foyer de l’ellipse : k V = @ r = rmin [14] r Soit m + Ak2 V = @ r = rmin [15] k La combinaison des équations [10], [11] et [15] permet alors d’þcrire : A2 k 4 - m 2 U= [16] 2k2 L’utilisation des þquations [3’’] et [3’’’] dans [16] donne : m U =[17] 2a rmin = et il vient pour finir l’expression complüte du théorþme de lýénergie pour une orbite elliptique: V2 m m - =[18] 2 r 2a où r est la distance au foyer, V la vitesse sur la trajectoire, a le demi-grand axe de l’orbite et ý le coefficient gravitationnel du corps central. Vitesse de satellisation et vitesse de libération Si l’on considüre une orbite circulaire, nous sommes dans le cas oû r est constant et þgal ú a, la vitesse sur l’orbite est constante et prend l’expression : m Vcir = [19] R+h oû R est le rayon du corps central et h l’altitude de l’orbite. Un engin spatial lancþ ý l’horizontale ý cette vitesse se retrouve satellisþ sur une orbite circulaire. Un autre cas remarquable est celui oû l’orbite prþsente un demi-grand axe infini (parabole d’excentricitþ e þgale ý 1), on parle alors de vitesse de libþration : 2m Vlib = [20] R+h Un engin spatial lancé à cette vitesse se retrouve injecté sur une orbite parabolique et s’þloigne indþfiniment sur une branche de parabole avec une vitesse asymptotique nulle. Lorsque le lancement est effectué à une vitesse supérieure à cette vitesse de libþration, l’engin se retrouve injectþ sur une orbite hyperbolique et s’þloigne indþfiniment sur une branche 2 2 d’hyperbole avec une vitesse asymptotique þgale ý Vlancement - Vlib . 9 3 -2 3 Pour la Terre on a m T = 398600,64 10 m s et RT = 6378 10 m , et il vient les résultats suivants : Altitude (km) 200 400 1000 35786 Vitesse de satellisation sur une orbite circulaire ou 1ere vitesse cosmique (m/s) 7784 7668 7350 3075 Vitesse de libération ou 2eme vitesse cosmique (m/s) 11008 10845 10395 4348 Transfert de Hohmann Le transfert de Hohmann dþfinit la technique de transfert ú coùt þnergþtique minimal d’un vþhicule spatial entre deux orbites circulaires selon l’orbite elliptique dþfinie figure 1. Figure 1 : Transfert de Hohmann L’orbite initiale est une orbite circulaire de rayon r = a1 sur laquelle la vitesse est : V1 = m a1 [21] L’orbite finale est une orbite circulaire de rayon r = a 2 sur laquelle la vitesse est : V2 = m a2 [22] Le transfert s’effectue en donnant une impulsion de vitesse DV1 au périastre de façon à a1 + a 2 injecter le véhicule spatial sur une orbite elliptique de demi-grand axe . A l’arrivþe ý 2 l’apoastre une seconde impulsion de vitesse DV2 est communiquée au véhicule spatial de faúon ý circulariser l’orbite. Si l’on þcrit le thþorüme de l’þnergie sur l’orbite de transfert elliptique au pþriastre, il vient : (V1 + DV1 )2 m m - =[23] 2 a1 a1 + a 2 Soit en tenant compte de l’þquation [21] : 2 m a2 m DV1 = [24] a1 (a1 + a 2 ) a1 La vitesse du vþhicule ý son arrivþe ý l’apoastre est alors toujours selon le thþorüme de l’þnergie : 2 m a1 Va = [25] a 2 (a1 + a 2 ) L’impulsion de vitesse ý communiquer pour circulariser l’orbite est DV2 = V2 - Va soit : DV2 = 2 m a1 m a2 a 2 (a1 + a 2 ) [26] Pour les transferts interplanétaires dits de Hohmann à partir de la Terre, il vient les résultats suivants : Destination Mercure Vénus Mars Jupiter Saturne Uranus Neptune Périodicité des lancements 3 mois 3 semaines 1 an 7 mois 2 ans 1 mois 1 an 1 mois 1 an 2 semaines 1 an 1 semaine 1 an Durée du trajet 3 mois 2 semaines 4 mois 3 semaines 8 mois 2 semaines 2 ans 9 mois 6 ans 16 ans 30 ans 7 mois Vitesse de lancement DV1 (km/s) 14 11,4 11,5 14,1 15,1 15,8 16 Les temps de voyage pour les planètes à partir de Saturne sont dissuasifs et les moyens techniques actuels ne permettent pas des vitesses de lancement beaucoup plus élevées que 14 km/s, de sorte que seul le recours à la technique de l’assistance gravitationnelle (transfert d’þnergie cinþtique entre une planüte et la sonde lors du survol) permet aujourd’hui l’accüs aux planètes lointaines. par Didier Levavasseur version initiale le 10 décembre 2003 corrections mineures le 25 août 2004
