1, 2, 3...Sciences

1, 2, 3. . .Sciences
Année académique 2009-2010
Exercices de mathématiques
Liste type numéro 1 (fin)
Liste type numéro 2
Répétition 2 : solutions
Version 11 janvier 2010(V1 : 29/08/09)
VII. Equations cartésiennes de droites
On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé.
1. Quelle est la forme canonique de l’équation cartésienne d’une droite dans le
plan ? Indiquer ce que représente chacune des lettres utilisées.
La forme canonique de l’équation cartésienne d’une droite dans le plan est donnée par
ax + by + c = 0 où a, b, c sont des réels, a et b n’étant pas simultanément nuls.
2. a) Quelle est l’équation cartésienne d’une droite passant par le point de coordonnées cartésiennes (x1 , y1 ) et de coefficient angulaire m (x1 , y1 , m sont des
réels) ?
L’équation cartésienne d’une droite passant par le point de coordonnées cartésiennes
(x1 , y1 ) et de coefficient angulaire m est y − y1 = m(x − x1 ).
b) Si cette droite a pour vecteur directeur le vecteur de composantes (a, b), quel
lien existe-t-il entre m et (a, b) ? a et b peuvent-ils être des réels quelconques ?
Expliquer.
Le coefficient angulaire m est égal à ab si a 6= 0.
c) Sans en déterminer l’équation cartésienne, représenter graphiquement la
droite passant par le point de coordonnées cartésiennes (−1, 2) et de coefficient
angulaire − 13 .
Y
6
(-1,2)
-
1
?
-
-1
1
2
X
3. a) Quelle est l’équation cartésienne d’une droite passant par les points distincts
de coordonnées cartésiennes respectives (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) ? Envisager tous les
cas possibles.
L’équation cartésienne d’une droite passant par les points distincts de coordonnées cartésiennes
respectives (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ) est
y − y1 =
y2 − y1
(x − x1 ) si x2 − x1 6= 0.
x2 − x1
Si x1 = x2 alors la droite a pour équation cartésienne x = x1 .
b) Si cette droite a pour vecteur directeur le vecteur de composantes (a, b), quel
lien existe-t-il entre (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) et (a, b) ?
Le vecteur de composantes (a, b) est un multiple non nul du vecteur de composantes
(x2 − x1 , y2 − y1 ).
4. Quelle est l’équation cartésienne d’une droite passant par le point de coordonnées cartésiennes (x1 , y1 ) et parallèle à
(a) l’axe des abscisses ?
L’équation cartésienne de cette droite est y = y1 .
(b) l’axe des ordonnées ?
L’équation cartésienne de cette droite est x = x1 .
2
5. a) Si deux droites non parallèles aux axes sont
(i) orthogonales entre elles, que peut-on dire de leurs coefficients angulaires ?
Le produit des coefficients angulaires de 2 droites non parallèles aux axes et orthogonales
entres elles est égal à -1.
(ii) parallèles entre elles, que peut-on dire de leurs coefficients angulaires ?
Les coefficients angulaires de 2 droites non parallèles aux axes et parallèles entres elles sont
égaux.
b) Donner l’équation cartésienne de la droite passant par le point de coordonnée (0, 1) et orthogonale à la droite d’équation x + y + 1 = 0. Représenter
graphiquement ces deux droites dans un même repère.
L’équation demandée est x − y + 1 = 0.
Y
6
x+y+1=0
x-y+1=0
1
-
1
X
6. a) Donner l’équation cartésienne de la droite passant par les points de coordonnées (−2, 1) et (2, 3) ainsi que celle de la droite passant par (−2, 1) et (−2, 0).
Les équations demandées sont respectivement x − 2y + 4 = 0 et x + 2 = 0.
b) Représenter graphiquement ces deux droites dans un même repère.
Y 6
x-2y+4=0
x+2=0
1
-
1
X
7. a) Si on a un vecteur directeur d’une droite de composantes (a, b) et un point
de coordonnées (x1 , y1 ) par lequel elle passe, en donner des équations paramétriques cartésiennes.
Des équations paramétriques cartésiennes de cette droite sont
x = x1 + ra
,r ∈ R
y = y1 + rb
On considère la droite d’équation cartésienne x + y + 1 = 0.
b) Donner les composantes d’un vecteur directeur de cette droite.
Un vecteur directeur de cette droite a pour composantes (1, −1) (ou tout autre multiple
non nul de ce couple).
c) Donner les coordonnées d’un point de cette droite.
Un point de cette droite a pour coordonnées (0, −1) par exemple.
d) Donner des équations paramétriques cartésiennes de la droite d’équation
3
x + y + 1 = 0.
Des équations paramétriques cartésiennes de cette droite sont
x=r
,r ∈ R
y = −1 − r
e) Pour quelle
du paramètre, la droite passe-t-elle par le point de coor√
√ valeur
données (− 2, 2 − 1) ?
√ √
√
La droite passe par le point de coordonnées (− 2, 2 − 1) si r = − 2.
VIII. Résolution de systèmes linéaires
1. a) Quels sont les processus les plus fréquemment utilisés pour résoudre les
systèmes linéaires ?
Les processus les plus fréquemment utilisés pour résoudre un système linéaire sont la substitution et les combinaisons linéaires.
b) Si on considère l’équation 2y + x = 1, la représenter graphiquement dans un
repère cartésien du plan. Quel est le nom de cette courbe ?
Y
6
2y+x=1
1
-
1
X
Cette courbe est une droite.
y−x=0
c) Résoudre le système
2y + x = 1
Ne pas oublier de mentionner l’ensemble
des solutions.
1 1
L’ensemble des solutions du système est S =
,
.
3 3
d) Comment interpréter graphiquement ce système et son ensemble de solutions ?
Ce système est constitué par les équations de 2 droites sécantes au point de coordonnées
( 13 , 13 ).
2. a) Dans le plan, représenter graphiquement le système
Y
6
2x-4y+3=1
x-2y+1=0
1
-
1
4
X
x − 2y + 1 = 0
2x − 4y + 3 = 1
b) Comment interpréter graphiquement ce système et son ensemble de solutions ?
Ce système est constitué par les équations de 2 droites parallèles confondues. L’ensemble
des solutions est l’ensemble des points de la droite.
c) Résoudre ce système et donner son ensemble de solutions.
L’ensemble des solutions est S = {(2y − 1, y) : y ∈ R} ; le système est simplement
indéterminé.
x − 2y + 1 = 0
d) Faire de même avec le système
2x − 4y + 3 = 0
Y
6
2x-4y+3=0
1
x-2y+1=0
-
1
X
Ce système est constitué par les équations de 2 droites parallèles distinctes. L’ensemble
des solutions est l’ensemble vide.
3. a) Si on considère l’équation y + x + z = 1, comment peut-on la représenter
graphiquement dans un repère cartésien de l’espace ? Quel est le nom de cet
élément ?
Z
6
1
-
1
Y
1
X
L’équation donnée est celle d’un plan.
b) Si on a un système formé de deux équations de ce type, quelles situations
peut-on avoir graphiquement ? En déduire le type d’ensemble de solutions dans
chacun des cas.
Si les 2 plans sont
1) parallèles et distincts, l’ensemble des solutions est vide.
2) parallèles et confondus, l’ensemble des solutions est l’ensemble des points du plan. Le
système est doublement indéterminé.
3) sécants, l’ensemble des solutions est l’ensemble des points de la droite d’intersection. Le
système est simplement
indéterminé.
y+x+z =1
c) Résoudre
y − x + 2z = 0
1 + z 1 − 3z
,
,z : z ∈ R
L’ensemble des solutions est S =
2
2
5
Liste 2
I. Trigonométrie
1. a) Voir cours p 23
b) Voir cours p 23
c) Voir cours p 25, 26 et 28
d) Voir cours p 23 et 24.
La tangente et la cotangente sont positives dans les 1er et le 3eme quadrants, négatives
dans les 2 autres.
e) Si x ∈ ] − π2 , 0[, on travaille dans le 4eme quadrant
f)
−3
4
−4
sin(x) =
, cos(x) = , cotg(x) =
.
5
5
3
2. a)
sin(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z
b)
cos(x) = 0 ⇔ x =
3.
4.
5.
6.
7.
π
+ kπ, k ∈ Z
2
c) Voir cours p 26 et 27
π
d) L’expression est définie pour x ∈ R \ {k : k ∈ Z}
2
e) En simplifiant cette expression vaut 0.
a) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
b) Cette expression vaut 1.
a) Voir cours p 26
b) cos(x − y) − cos(x + y) = 2 sin(x) sin(y)
c) —
a) Voir cours p 25 et 26
b) Si les sinus de 2 réels sont égaux alors, à un multiple entier de 2π près, ces 2 réels sont
égaux ou supplémentaires.
c)
n
o
π 2kπ
π
S=
+
:k∈Z ∪
+ 2kπ : k ∈ Z
6
3
2
π π 5π 3π
d) Les solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π] sont , , , .
6 2 6 2
a) Si les cosinus de 2 réels sont égaux alors, à un multiple entier de 2π près, ces 2 réels
sont égaux ou opposés.
b)
2kπ
S=
:k∈Z
3
2π 4π
c) Les solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π] sont 0, , , 2π.
3 3
a) Si un produit de 2 facteurs est positif alors ces 2 facteurs sont de même signe.
b) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
c)
i 5π
[ h π
π
3π
S=
+ 2kπ, + 2kπ ∪
+ 2kπ,
+ 2kπ
6
2
6
2
k∈Z
h π π i 5π 3π ,
∪
,
d) Les solutions qui appartiennent à l’intervalle [0, 2π] sont
.
6 2
6 2
6
II. Vecteurs - Produits scalaire et vectoriel
1. a) Voir cours p 19
−→
−−→
b) Composantes de OA(3, 2) et de OB(4, −1)
−−→
c) Composantes de AB(1, −3)
1 1
2. a) Composantes de ~a dans la base ~u, ~v : − ,
.
2 3
b) Représenter ~a.
*
~u U
-
~v
~a
c) On considère le vecteur ~x. Le décomposer comme combinaison linéaire des vecteurs ~u
et ~v puis en donner les composantes dans cette base.
~u *
x
i ~
*
-
~v
Les composantes de ~x dans la base ~u, ~v sont ( 13 , − 31 ).
3. a) Composantes de ~a dans la base u~1 , u~2 , u~3 : (2, 12 , 0)
b) Composantes de ~b dans cette base (1, −1, 1)
c) Voir cours p 33.
Le produit scalaire de 2 vecteurs dont on connaı̂t les composantes dans une base orthonormée est égal à la somme des produits des composantes de même nom. Le résultat est
un réel.
3
d) Le produit scalaire ~a • ~b vaut .
2
e) Voir cours p 38. Le résultat est un vecteur.
1
5
~
f) Le produit vectoriel b ∧ ~a a pour composantes − , 2,
.
2
2
g) Le produit scalaire de 2 vecteurs est commutatif.
h) Le produit vectoriel n’est pas commutatif ; il change de signe si on permute l’ordre des
facteurs (antisymétrie).
5
1
3
i) Les composantes de ~x sont
, −4, − , celles de ~y sont 3, , 0 et celles de ~z sont
2
2
4
5
17
, −5,
.
4
4
7
4. a)
6Y
P1
P2
1
-
0
1
X
b) Coordonnées de P1 (r cos(θ), r sin(θ))
◦
c) Coordonnées de P2 (r cos(θ + 60◦ ), r sin(θ + 60
! )).
√
√
x1 − 3y1
3x1 + y1
d) Coordonnées de P2
,
2
2
Y
5. a)
6
~a
√
y=
F~1
1
3
3 x
F~
1
F~2
-
1
X
b) Si m est le coefficient angulaire de la droite et θ ∈ [0, π] la mesure de l’angle que cette
droite forme avec l’axe des abscisses
alors m = tg(θ).
√
3
c) La droite d’équation y = 3 x fait un angle de 30◦ avec l’axe des abscisses.
−
→
−
→
d) L’angle formé par F1 avec l’axe des abscisses vaut 75◦ ; celui formé par F2 vaut 15◦ .
−
→
e) √
Dans
correspondant
au repère orthonormé,
√ la base √
√
√ les
√ composantes
√ √ de F1 sont
−
→
(2 2( 3 − 1), 2 2( 3 + 1)) et celles de F2 sont ( 2(√ 3 +
1),
2( √3 −√
1)).
√
f) La résultante de ces 2 forces a pour composantes
(
2(3
3
−
1),
2(3
3 + 1)).
√ √
√ √
g) Les composantes de l’accélération sont (2 2(3 3 − 1), 2 2(3 3 + 1)).
h) Les composantes
d’un vecteur directeur de toute droite orthogonale à la droite donnée
√
sont (1, − 3) (ou tout multiple non nul).
i) Voir cours p 32
√ √
√ √
j) La projection orthogonale demandée a pour composantes ( 2( 3 − 5), 2(5 3 − 3)).
8