partie 1 - Concours Communs Polytechniques

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Les calculatrices sont autorisées
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
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Exercice 1 : étude d’une suite récurrente
On considère la suite (un )n∈N , définie par :
∀n ∈ N, un+1 = cos(un ) et u0 = 0.
1. Démontrer que la fonction cosinus admet un unique point fixe l dans [0, 1], c’est-à-dire qu’il
existe un unique réel l ∈ [0, 1], tel que cos l = l.
2. Démontrer que pour tout n ∈ N, on a un ∈ [0, 1].
3. Démontrer que :
∀(x, y) ∈ [0, 1]2 , |cos x − cos y| (sin 1)|x − y|.
4. En déduire que :
∀n ∈ N, |un − l| (sin 1)n .
5. Conclure que la suite (un ) est convergente et préciser sa limite.
6. Déterminer un entier N tel que, pour tout entier n N , un est une valeur approchée de l
à 10−6 près.
Exercice 2 : autour des matrices antisymétriques
Une matrice A de Mn (R) (n ∈ N∗ ) est dite antisymétrique si elle est égale à l’opposé de sa
transposée, c’est-à-dire si :
t
A = −A.
On note An l’ensemble des matrices antisymétriques de Mn (R).
1. Démontrer que le déterminant d’une matrice antisymétrique de An vaut 0 si n est impair.
Le résultat subsiste-t-il si n est pair ?
2. Démontrer que An est un sous-espace vectoriel de Mn (R).
3. Donner sans justifier une base de A4 , puis préciser sa dimension. On notera Eij la matrice
élémentaire de M4 (R) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la
colonne j qui vaut 1, et on exprimera les vecteurs de la base à l’aide des matrices élémentaires.
4. Antisymétrique et nilpotente
Soit A une matrice de An que l’on suppose en plus nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe un
entier naturel p tel que Ap = 0. Le but de cette question est de démontrer que A est nulle.
(a) Démontrer que la matrice t AA est symétrique et nilpotente.
(b) Démontrer que les valeurs propres d’une matrice nilpotente sont nulles. En déduire
qu’une matrice diagonalisable et nilpotente est nécessairement nulle.
(c) En déduire que la matrice t AA est nulle.
(d) Exprimer la trace de la matrice t AA en fonction des coefficients (ai,j ) de la matrice A.
En déduire que A est nulle.
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Exercice 3 : une équation fonctionnelle
Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f dérivables de R dans R, vérifiant
l’égalité :
() ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x)f (y).
Pour cela, on mène un raisonnement par «analyse-synthèse».
Analyse : dans les questions 1., 2., 3. et 4., f désigne une fonction dérivable de R dans R
vérifiant l’égalité () ci-dessus.
1. Démontrer que f (0) ∈ {0, 1}.
2. Que dire de f si f (0) = 0 ?
On suppose désormais, jusqu’à la fin de l’analyse, que f (0) = 1.
3. Démontrer que ∀x ∈ R, f (x) = f (x)f (0).
4. On pose a = f (0). En déduire l’expression de f en fonction de a.
5. Synthèse : conclure.
Fin de l’énoncé
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I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 14 1393 – D’après documents fournis