I. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES Objekttyp: Chapter Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 33 (1987) Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: 25.05.2017 Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. 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ÉTUDE ARITHMÉTIQUE La théorie des suites récurrentes est une mine inépuisable qui renferme toutes les propriétés des nombres ; en calculani les termes consécutifs de telles suites, en décomposani ceux-ci en facteurs, en recherchant par l'expérimentation les lois de l'apparition et de la reproduction des nombres premiers, on fera progresser d'une manière systématique l'étude des propriétés des nombres et de leurs applications dans toutes les branches des Mathématiques. Edouard Lucas (Théorie des Nombres] I. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES 1. Propriétés de périodicité Le premier résultat de ce type est dû à Lagrange, la proposition suivante est essentiellement due à Carmichael. Proposition. Soit E, une suite à valeurs dans un anneau de récurrence linéaire (à coefficients dans se) la relation vérifiant se et On suppose que £ ne prend qu'un nombre fini de valeurs; alors £, est ultimement périodique. De plus, lorsque a Q n'est pas un diviseur de zéro, la suite £ est purement périodique. Considérons la suite fë B , Ç B + 1 , ..., n +k-i)n&o des k-uples de valeurs suc cessivesde £. Si E, ne prend qu'un nombre fini de valeurs alors ces /c-uples ne prennent aussi qu'un nombre fini de valeurs, il existe donc n 0 0 et t > 0 tels que Z> àla relation de récurrence cette égalité reste vraie pour tout n n 0 et on a donc )n+t = £,? pour n 0 . C'est la première assertion. Supposons en outre a 0 non diviseur de zéro et que n 0 a été choisi 1 alors la relation de récurrence minimal. Si on ano montre que Grâce t nO.n =°> ce q ui implique >no _ 1 = 0 +,_ 15 formule qui contredit la minimalité de 0 . On a donc n 0 =0, autrement dit la suite E, est bien purement périodique. ? a ofé»o-i-£iio+t-i) nO.n On peut en déduire une démonstration du théorème de Kronecker. Corollaire. Soit sont de module au plus Soient =9, 9X9 X 1, 02,...,0 2 , un entier algébrique non nul dont tous les conjugués alors 9 est une racine de F unité. 0 ..., 9d9 d les conjugués de 9etXd? son polynôme minimal sur Z. Pour n entier + ... + 93. Alors la suite (ÇJ vérifie ad - x X 0 posons d x? ?a0 ... n=9"+92 l'intervalle [?d, +d~]. Enfin a 0 est non nul, la proposition implique donc que (£J est purement périodique. Soit tla période, onaÇ ( = 0 ; soit 9^ + ... + 9^ = d, et comme |9£ < 1 1, ..., d, 8 f =1. D pour de plus les £? sont des entiers de | i= Le cas particulier de la proposition 1 le plus intéressant est celui où se = F p ( = Z/pZ), p étant (comme toujours !) un nombre premier. Considérons donc une série s.r.l. £ à valeurs dans F p et vérifiant L= F G=Xk? la plus petite extension de F p dans laquelle le polynôme k x XX ~ ? ... ?a0 se décompose en facteurs linéaires. Alors _1 0) et sa période £ est ultimement périodique (purement périodique si a 0 d est un diviseur de p(p ? 1), ce qu'on voit en utilisant les formules (3) et (4) de A.1.2 [d'une part les appartiennent à L* et vérifient donc 7 les du binôme modulo p admettent p coefficients d'autre _ part pj des G si racines simples alors la période n'a outre en comme période] ; que divise p d ? 1. Le cas des suites récurrentes linéaires binaires est très simple. L'entier d ne peut alors prendre que les valeurs 1 ou 2. Plus précisément, si Ç vérifie Soit pd aa k p7p - d-id -i =al+ 4a 0 et supposons p impair. Le symbole de Legendre posons À permet de caractériser les cas d = 1 ou 2: on a Ainsi, on a les trois possibilités suivantes : (i) À est un résidu quadratique modulo p, alors la période t divise P-I (ii) À n'est pas un résidu quadratique modulo p, alors t divise 2 p2p ? 1, (iii) A = 0, alors t divise p(p? 1). On peut raffiner l'assertion (ii) de la manière suivante. Supposons (? \Pj ?1. = 1 Soient p 1 et dans le corps F p2 et soit = a p). On a d'une part p2p 2 les racines du a l'automorphisme polynôme X2X 2 ? a±X ?a0 de Frobenius de ce corps (a(oc) et d'autre part D'où ce qui prouve l'assertion suivante. e l'ordre de ?a0 dans le corps F , alors si A n'est pas résidu p quadratique modulo p, la période divise e(p + 1). (ii)' Soit Exemple et les 1 : Reprenons la suite de Fibonacci. On a alors, trois cas précédents sont (i) p = 5k ± 1, la période divise p (ii) p = 5k ± 2, la période divise 2(p +l) (c'est encore vrai pour p = la période est égale à 20. (iii) p = 5 , ? 1, On en déduit aussitôt les propriétés de divisibilité suivantes si p si p = = 5k ± 1 5k ± 2 alors p divise alors p divise F n lorsque p ? 1 divise n , F n lorsque p + 1 divise n , : 2) [en effet, F. = £Î^I Pi enfin si p = divise n. 5 donc P2 Fp+l = Pi on vérifie directement que 5 ~P^= o], ~ P2 divise F n si et seulement si 5 Exemple 2 Le critère de Lucas peut être obtenu comme corollaire de l'étude : 2w -^? ?= précédente. Soit co~ 2m , - le nombre d'or. On considère la suite d'entiers m=l,2, 3, ..., ainsi r m =3,7, 47, ..., et on peut calculer aisément les r m grâce à la relation évidente r m +1 =r2 ?2. En fait si définie par L o =2,L1 =1, L n+2 dite de Lucas (L n ) est la s.r.l. =Lw+x+Ln pour n 0, on arm = LL 2 m . On a alors le critère de primalité suivant. rm = co + ? Proposition 2. SozY M=Mp=2P?l, si, et seulement si, ? p rp - 1 s _j ( moc j M premier, M ? 8. 16"? ce Inversement, supposons An M Alors +3 e£ soit est premier =0 (mod M). Supposons d'abord ?M+i un nombre premier de la forme le p lème nombre de Mersenne. rr qq 1 = 2 (mod 5), donc Uj implique bien p_ x =0 (mod M). On a alors M (**) Supposons que M se décompose sous la forme où les pi sont des nombres premiers de la forme 5a ± ± 2, et on a 1 et les q^ sont des nombres premiers de la forme 5a Comme les congruences (*) et (**) sont valables pour tout diviseur de M, on voit que l'ordre de G) modulo chaque diviseur premier de M est exactement P+1 Donc les p t et les qj sont respectivement de la forme 2P+l.2 . Le premier cas est impossible puisqu'on aurait p t > M; le second cas n'est donc ? q j9 M est bien premier! possible que pour k } =letona M= Ce test s'applique par exemple pour p = 7 et montre que 127 est premier, de la même manière (mais après plus de calculs !) on peut montrer 127 est aussi premier. D'autres tests de primalité sur les nombres de Mersenne et de Fermât figurent dans l'ouvrage de Sierpinski [56], chap. X. que M127M U équation 2. de Pell-Fermat r une « conique » définie sur Z, elle peut alors être caractérisée à coefficients entiers de la forme équation une par Soit En multipliant cette équation par a, on a la forme équivalente (si a^O) Si a=oetc Si a = c = x' = x + y, y' ce à oon obtient une écriture analogue. non nul (sinon F est une droite) et en posant y on peut mettre l'équation de F sous la forme 0 alors b est = x ? qui nous ramène au cas précédent. Ainsi, par un changement convenable de coordonnées, on peut l'étude de l'équation se limiter ? pour c' > 0, F est une ellipse qui, bien entendu, n'a qu'un nombre fini de coordonnées entières (que l'on peut calculer facilement), ? pour c' = 0, F est une parabole, nous n'étudierons pas encore déterminer facilement les points entiers de F), ? pour c' < 0, F est une hyperbole et par un nouveau changement coordonnées on peut mettre l'équation sous la forme ce cas (on peut de (E) Nous excluons encore le cas trivial où k est nul. Nous sommes donc ramenés à l'étude de cette équation, dite de Pell-Fermat. Si D = 2 est le carré d'un entier on a la décomposition u2u qu'un nombre fini de points que l'on trouve de manière évidente. On supposera donc désormais que D n'est pas un carré. La théorie de l'équation de Pell-Fermat est bien connue. On montre (cf. par exemple Borevitch et Schafarevitch [10], chap. 11, § 5, Th. 1) qu'il existe un nombre fini de solutions (x (1 \ )/ (1) ), ..., (x (k \ y {k) ) qui peuvent être calculées effectivement, telles que toute solution (x, y) vérifie et F n'a où 1 i k, sgZ,etB est l'unité fondamentale de l'anneau Z^D] dont la norme est égale à 1. On a donc les formules et Ceci montre qu'il existe un nombre fini de suites récurrentes binaires (/c) (k) (1) (1) admettant toutes X2X 2 -(e+ e" 1 )^ comme échelle , ..., , ..., rj , rj telles que les solutions de l'équation (E) soient exactement les couples -1 (Ç^Tii0), 1< î<fcetw>o. Exemple 1 : Considérons l'équation On sait que l'unité fondamentale du corps Q(>/5) est le nombre d'or oo = de conjugué =? ?" 1 . D'autre part l'anneau des entiers de ce corps est principal, donc si x, y est une solution avec x > 0 0 tel que et y 0, il existe n On voit aussitôt que les deux signes doivent être + , donc Ensuite, on constate que n doit être multiple de trois, soit (1, 0), (9, 4), (161, 72), ... et elles = Les solutions sont donc (x s ,y s ) vérifient On peut exprimer ces nombres en fonction des nombres de Fibonacci et de Lucas, [On a plus généralement L2L ?5F2 =(? 1)" 4 pour tout n 2 Exemple 2: Considérons l'équation inconnus (et entiers Si n= 2m + mais comme disons n = 1 !). Posons X = 2x + est impair, posons /6\ ? I I x(x + 1) y= 2 m, = ?1, l'équation n'a 2m. Posons encore y = 1 ; = 3 .2k ? 5 0] où x et k sont l'équation devient alors pas de solution. Donc n est pair, 2 m, alors Donc X = 3z et On peut montrer (cf. [42]) que les solutions y 0 sont les valeurs de la suite (y s ) définie par Donc y_ 2 = 16, y_ 1 = = 4, y x = 11, 2 = 40... et on constate seuls y 0 et y_ 2 sont des puissances de 2 qui correspondent aux deux solutions de l'équation initiale ... 5, que pour les petites valeurs de y0 |s| y2y et Nous allons montrer que ce sont les seules. D'abord ce sont les seules 7 (i.e. m pour k<6. Supposons que l'équation ait une solution avec k alors y=yt ? 2 m . On vérifie sans peine que ceci impose mod 16 (regarder y s modulo 32). On considère enfin (y s ) modulo 31, cette suite est t=6 de période 32 (on a I ?J = ?1) et Mais, modulo 31, les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8 et 16. Donc l'équation considérée n'a que les deux solutions notées précédemment. La méthode appliquée ici est un cas particulier d'un algorithme général présenté en [42] et qui s'applique à toutes les équations diophantiennes de la forme f(x) = c a n , où est un polynôme du second degré ; c'est ainsi que l'on peut obtenir une nouvelle démonstration du fait que l'équation de Ramanujan-Nagell 2 + 7 = 2" sont obtenues pour n = 3, 4, 5, 7, 15 (on considère des congruences modulo 7681, voir [43]). . / x2x Exemple 3: Nous allons montrer que les seuls carrés de la suite de Lucas 2, 1, 3, 4, 7 ... sont 1 et 4 et que les seuls carrés de la suite de Fibo nacci0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ... sont 0, 1 et 144. Ce résultat est dû à Cohn [20] (voir aussi le chapitre 8 du livre de Mordell [48]). ce qui permet d'étendre la définition de les deux suites sont de période 6 ces suites àn 0. Modulo 4, comme on le voit sur cette table. 2 FF de la table on déduit que De la relation hh n2 n = 4(- 1)" et -5 Démontrons d'abord l'assertion sur Ln Si n=2m est pair la formule L 2m =L*?2 montre que L n ne peut être un carré. Supposons donc n impair. Il suffit de considérer le cas n > 0, et même 5 (L 1 =4 sont des carrés). On peut écrire avec t = 3 r , k > 0, k = ±2 (mod 6) et c = 1 ou 3. Et les formules Lk jointes au fait que Si n=c+2.tk =letL3 n L est un carré n ( est impair montrent que I=+l mais comme L k =3 (mod 4) c'est impossible. Passons maintenant aux nombres de Fibonacci F n Si n = 1 (mod 4), supposons (sinon F n = 1 est un carré). Comme 3 r, écrivons haut plus modulo 6. Les avec . n^l n=l+2tk t= formules et le fait que L k est impair, impliquent et comme nous l'avons déjà n = k= ±2 1 et Si n Fn = = 3 vu cette congruence est impossible. Donc 1. (mod 4), le changement de n en ?n nous ramène au cas précédent. Si n=2n est pair alors F 2m = F m L m =x2 et on peut supposer m>o ?Sim conséquent m = ?Sim=o (mod 3) ou 1 3, Fn = alors (F m , 4 1 =1 donc F m =y2 et L m = z 2 . Par ou 8; le seul carré est encore 1. Lm) 0 (mod 3) on a (F m9 Lm) - 5/ =2et donc F m =2y2 et Lm =2 z 2 . qui est impossible modulo 8. Si m=2m' alors F m L m =2 y 2 . Si m' est impair on a F m / =2t2 et L m , =w2 donc m! = 1 ou 3etFn = 1 ou 144. Si m' est pair alors FF 3 dans ce cas, tout ce qui précède montre que n=3.2Ss m =t2; et que les nombres de Fibonacci d'indices n/4, n/16 ... sont tous des carrés mais, comme 6 =Bet 48 ne sont pas des carrés, ce dernier cas est impossible. [Il n'est pas nécessaire de calculer i7^ : si 48 =x2 alors F24 =2y2 puis 12 =2 z 2 , mais 12 = 322.] Si m est impair on a z4z , = ?1, ce . > F6F F4BF F4BF Ll2L Ll2L II. MÉTHODES p-ADIQUES Pour une introduction aux nombres p-adiques, le lecteur pourra consulter Borevitch et Schafarevitch [10] ou J. P. Serre [54], et pour une étude plus détaillée de l'analyse p-adique Y. Amice [2] ou K. Mahler [36]. 1. Le théorème de Skolem-Mahler Théorème. Soit (£?) une suite récurrente linéaire à valeurs entières. Alors V ensemble des indices n tels que £,? soit nul est égal à une union finie de progressions arithmétiques (certaines de ces progressions peuvent être de raison nulle et V union peut même être vide !). Comme en A.1.3, écrivons £? sous la forme à coefficients dans le corps de nombres L soit idéal premier de L tel que les ©„ soient et ), un ...,(ù k , tous des Il est facile de voir que, pour tout 8 > 0, il existe un les = Pj étant des polynômes Q(cù 1 entier T tel que En particulier, il existe un entier T tel que chacune des T fonctions (à valeurs dans le complété L^p de L) soient où exp et Log sont l'exponentielle et le logarithme définies et analytiques pour x parcourant l'anneau Z p des entiers p-adiques (p étant le nombre premier au-dessous de Ss).