Correction : 18 p. 82 Correction : 19 p. 82

Correction : 18 p. 82
1) n est un entier naturel, n ≥ 2.
a) On suppose que n n’est pas premier.
On note p le plus petit diviseur positif de n, autre que 1.
Supposons par l’absurde que p n’est pas premier.
p admet donc un diviseur d tel que : 1 < d < p.
De plus, d | p et p | n. Donc : d | n.
On vient donc de trouver un diviseur d de n, plus petit que p. Ceci est absurde,
puisque p est le plus petit diviseur de n strictement supérieur à 1.
On vient donc de démontrer, par un raisonnement par l’absurde, que p est premier.
b) D’après ce qui précède, p le plus petit diviseur positif de n, autre que 1.
Donc, il existe k entier relatif tel que : n = pk. k est donc un autre diviseur positif de
n autre que 1. p étant le plus petit, on obtient : 1 < p ≤ k.
Donc, on a : p < p2 ≤ pk, soit p2 ≤ n.
D’où : p ≤ √ , soit 1 < p ≤ √ .
Donc : 2 ≤ p ≤ √ .
c) On a montré que si n n’est pas premier, alors n admet au moins un diviseur premier p :
son plus petit diviseur autre que 1, tel que 2 ≤ p ≤ √ .
Donc, par contraposée, si n n’est divisible par aucun nombre premier p tel que
2 ≤ p ≤ √ , alors n est premier.
2) On a : √137 ≈ 11,7.
137 n’est pas divisible par 2, 3 et 5.
De plus :
137 = 7 × 19 + 4
137 = 11 × 12 + 5
137 n’est donc pas divisible par 7 et 11.
137 est bien un nombre premier.
Correction : 19 p. 82
Le crible d'Eratosthène est une méthode (un algorithme) pour déterminer tous les nombres premiers plus
petits qu'un entier donné. Voici comment procéder si on souhaite par exemple déterminer tous les entiers
premiers plus petits que 100. On écrit tous les entiers qui vont de 2 à 100 (rappelons que 1 n'est pas
premier). Le premier entier écrit est 2. Il est premier : on l'entoure, et on barre tous ses multiples. Le
premier entier non barré après 2 est 3 : il est premier, et on barre tous ses multiples. Le premier entier non
barré après 3 est 5 : il est premier et on barre tous ses multiples. Et on procède comme ceci jusqu'à épuiser
tous les entiers.... Ceux qui ne sont pas barrés sont exactement les premiers !
http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./e/erathostene.html
Correction : 20, 22 et 23 p.82
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Les nombres premiers compris entre 1 et 150 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139 et 149.
Correction : 20, 22 et 23 p.82
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