TD n 02

DI ENS LYON – L3 – Probabilités – 2016-2017
E. Kirshanova – B. Simon
TD n◦02
31 janvier 2016
Exercice 1 - En noir et blanc (Exercise 1.6 in MU)
Suppose we start with a bin containing two balls, one white and one black. I repeat the following
procedure until the bin contains n balls. At each step, I take a ball uniformly at random from
the bin and put the ball back into the bin and add another ball of the same color to the bin.
Show that the number of white balls is equally likely to be any number between 1 and n − 1.
Exercice 2 - Inclusion
Let X and Y be independently and uniformly chosen subsets of {1, . . . , n}. Compute P {X ⊆ Y }.
Exercice 3 - Le problème des rencontres
On se donne une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On va alors procéder à une
succession de tirages sans remise jusqu’à vider l’urne.
On s’intéresse aux évènements Ei = « la ième boule tirée porte le numéro i».
3.1 Proposer un espace de probabilité pour modéliser cette expérience.
3.2 Calculer la probabilité des évènements suivants : Ei , Ei ∩ Ej pour i < j, et enfin
pour 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n.
Tr
j=1 Eij
3.3 Calculer la probabilité que l’évènement Ei se produise pour au moins un i. Quelle est la
limite de cette probabilité lorsque n tend vers l’infini.
3.4 Combien y a-t-il de façons de placer huit tours sur un échiquier de telle sorte qu’aucune
d’entre elles en attaque une autre ? Qu’en est-il si on impose en plus que la diagonale principale
soit vide ?
Exercice 4 - Jouons avec la mesure !
Soit (Ω, A) un espace de probabilité muni de la mesure de probabilité P : A → [0, 1].
4.1 Montrer que pour toute famille dénombrable (An )n∈N de parties mesurables, on a la relation
suivante (appelée inégalité de Boole ou encore union bound ) :
!
[
X
An ≤
P(An )
P
n∈N
n∈N
4.2 Soit (An )n∈N une famille croissante de parties mesurables, c’est-à-dire que An ⊆ An+1 pour
tout n. Montrer que :
(
)
[
P
An = lim P {An }
n∞
n∈N
1
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E. Kirshanova – B. Simon
Exercice 5 - Moi d’abord !
Alan et Beth lancent une pièce à tour de rôle, le premier qui fait face a gagné.
5.1 Alan commence, quelle est la probabilité qu’il gagne ?
5.2 Peut-on truquer la pièce pour rendre le jeu équitable ?
5.3 Cette fois ils lancent deux dés. Alan gagne s’il obtient 7, Beth gagne si elle obtient 6. Elle
s’est déjà fait avoir une fois et exige de commencer. Est-ce un jeu équitable ?
5.4 L’une de ces parties risque t-elle de se prolonger Is there a chance that the game runs
forever ?
Exercice 6 - Et un peu de σ-algèbres
Soit (Ω, A, P ) un espace de probabilité. On note M une partie de Ω ayant la propriété suivante :
(
C ⊆ M ⇒ P (C) = 0
∀C ∈ A
C ⊇ M ⇒ P (C) = 1
6.1 Show that M does not belong to A.
6.2 On pose AM := {M ∩ A | A ∈ A}.
Montrer que AM est une σ-algèbre sur M et que l’on définit sans ambiguïté une probabilité P 0
sur cette algèbre en posant P 0 (M ∩ A) := P (A).
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