Les intervalles de fluctuation de la seconde à la terminale

Progressions verticales n
Les intervalles de fluctuation de la seconde à la terminale
en classe de Terminale
Activité 5, activité d’approche : Fluctuation et prise de décision
Énoncé
Une société SC fabrique en très grande quantité des condensateurs pour différentes marques de télévisions
notamment pour la marque SMG. Suite à de nombreuses réclamations évoquant des dysfonctionnements dans
l’alimentation de ses téléviseurs, la marque SMG a saisi un cabinet d’experts indépendants, lequel a estimé à 10 %
le pourcentage de ces dysfonctionnements après une étude sur un échantillon de taille 100. Dans son rapport, ce
cabinet signale même que le dysfonctionnement proviendrait des condensateurs de la société SC implantés sur
les cartes d’alimentation. Quant à elle, la société SC affirme que seulement 5 % de ses condensateurs peuvent
s’avérer défectueux. Ses condensateurs ne peuvent donc pas être la cause de tous ces dysfonctionnements. Une
action juridique est en cours ! La guerre des chiffres est en route !
Le cabinet d’experts choisit, au hasard, des condensateurs dans la production de la société SC.
1.Formalisation
On appelle X n la variable aléatoire qui à tout lot de n condensateurs choisis au hasard dans la production de
la société SC, associe le nombre de condensateurs défectueux. Le nombre de condensateurs dans chaque lot
étudié est supposé suffisamment petit par rapport au nombre de condensateurs fabriqués par la société SC.
a.Justifier que X n suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b.Cas n = 100
Quelle est la probabilité que, dans un tel lot, le nombre de condensateurs défectueux soit compris entre
1 et 9 ?
c.Dans la suite, Fn désigne la variable aléatoire fréquence associée à la variable aléatoire X n .
Cas n = 100
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, la fréquence de condensateurs défectueux soit comprise entre
0,01 et 0,10 ?
2.Intervalles de fluctuation (2de et 1re)
a.Peut-on définir l’intervalle de fluctuation étudié en classe de seconde ? Justifier.
b.Déterminer l’intervalle de fluctuation de la fréquence observée de condensateurs défectueux dans un
échantillon de taille 100, au seuil de 95 %, à l’aide d’une loi binomiale.
3.Un autre intervalle de fluctuation
On note
I n = = p - 1, 96
p^1 - ph
; p + 1, 96
n
p^1 - ph
G
n
a.Vérifier que l’intervalle I 100 est l’intervalle [0,0073 ; 0,0927]. On arrondira les bornes de l’intervalle au dix millième.
b.Justifier que P ^0, 0073 # F100 # 0, 0927h = P ^1 # X 100 # 9 h .
c.En déduire une valeur approchée de la probabilité que la variable aléatoire fréquence F100 prenne ses
valeurs dans l’intervalle I 100 .
d.Prise de décision
Le cabinet d’experts constate que 9 condensateurs sont défectueux sur les 100 choisis au hasard. La
société SC a-t-elle des raisons de s’inquiéter ?
La conclusion est-elle identique quel que soit l’intervalle de fluctuation utilisé ?