ECS 3 Semaine de colle no 11 2013 – 2014 du 25 au 29 novembre Toutes les définitions /énoncés du cours sont à connaître précisément. Les démonstrations/exemples précédés de L peuvent être considérés comme des questions de cours 1 Expériences aléatoires Propriétés Description ensembliste d’une expérience aléatoire : Définition Etant donné une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble, traditionnellement noté Ω, des issues (résultats, réalisations) possibles. Dans tout ce chapitre, on se limite au cas Ω fini . L Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A, B ∈ P (Ω) : 1. P (A) = 1 − P (A) ; 2. P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A) ; 3. Si A ⊂ B, alors P (A) ≤ P (B) ; 4. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). • Conséquence de 1. P (∅) = 0 • Généralisation de iii) à n événements deux à deux incompatibles (n ≥ 2) : Définition Soit Ω un univers fini. Un événement est une partie de Ω i.e. un élément de P (Ω). • Dictionnaire événements ↔ ensembles : événement certain, impossible, contraire ... Définition Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅ Proposition Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω), deux à deux incompatibles. n n [ X P Ai = P (Ai ). i=1 i=1 • Généralisation de 4. à trois événements : Définition Soit (Ai )i∈I une famille d’événements. On dit que cette famille forme un système complet d’événements de Ω si : i) Les Ai sont deux à deux incompatibles : ∀(i, j) ∈ I 2 , i , j =⇒ Ai ∩ Aj = ∅. S ii) Ai = Ω Proposition : Formule de Poincaré Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé et soient A, B, C ∈ P (Ω). P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C). i∈I 2.2 2 Probabilités Dans toute cette partie, Ω désigne un univers fini. 2.1 Proposition Définitions et premières propriétés Définition Construire une probabilité • Probabilités et événements élémentaires Une probabilité P sur (Ω, P (Ω)) est déterminée par sa valeurs sur les événements élémentaires : Soit P une probabilité sur P une univers fini Ω = {ω1 , ω2 , . . . , ωn }. Alors : ∀A ∈ P (Ω), P (A) = P ({ωi }) i / ωi ∈A Une probabilité sur (Ω, P (Ω)) est une application P : P (Ω) :→ [0 , 1] vérifiant : i) P (Ω) = 1 ; n P ii) Pour tous événements A, B ∈ P (Ω) incompatibles, on a P (A∪B) = P (A)+P (B). • Remarque. En particulier, avec A = Ω, on obtient P ({ωi }) = 1 Le triplet (Ω, P (Ω), P ) est alors appelé espace probabilisé (fini). i=1 On a vu que la réciproque de la proposition précédente est vraie. Page 1/2 3.3 • Equiprobabilité Formule des probabilités totales Théorème Définition Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini : • Deux événements A et B sont dits équiprobables si P (A) = P (B) • On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables. L Soit (Ak )1≤k≤n un système complet d’événement et soit B ∈ P (Ω). n P 1. P (B) = P (Ak ∩ B). k=1 2. Si de plus les Ak sont tous de probabilités non-nulles, alors on a n P P (B) = P (Ak )PAk (B). Théorème k=1 Soit (Ω, P (Ω), P ) un espace probabilisé fini en situation d’équiprobabilité. Alors ∀A ∈ P (Ω), P (A) = • Un fait à retenir. Si (Ak )1≤k≤n est un système complet d’événement, alors tout événement B se décompose en une réunion d’événements deux à deux incompatibles : CardA « nombres de cas favorables » = CardΩ « nombres de cas possibles » 3 Probabilités conditionnelles B= (Ak ∩ B) k=1 Dans toute cette partie (Ω, P (Ω), P ) est un espace probabilisé. 3.1 n [ • Philosophie. La formule est utile lorsque l’on « ressent un manque d’informa- Probabilité « sachant » tion ». Le choix d’un s.c.e. correspond intuitivement à une disjonction de cas dans l’expérience et apporte de l’information. Théorème – définition : Rappel Soit A un événement de probabilité non nulle. L’application PA définie sur P (Ω) P (A ∩ B) par : ∀B ∈ P (Ω), PA (B) = P (A) est une probabilité sur (Ω, P (Ω)), appelée probabilité conditionnelle relativement à A ou encore probabilité sachant A. 3.4 Formule de Bayes ou « des probabilités des causes » Théorème L Soit B un événement de probabilité non nulle. P (A) . P (B) un s.c.e. tel que : ∀k ∈ ~1 , n, P (Ak ) , 0. Alors : 1 Si A ∈ P (Ω) est de probabilité non nulle, on a PB (A) = PA (B) • Conséquence. Si P (A) , 0, alors (Ω, P (Ω), PA ) est un espace probabilisé. Toutes les formules vues sur les probabilités sont valables pour PA . • Remarque. Bien souvent, on connaît PA (B) et on cherche P (A ∩ B). On utilise donc plutôt la formule « à l’envers » : P (A ∩ B) = P (A)PA (B) 3.2 2 Soit (Ak )1≤k≤n ∀k ∈ ~1 , n, PB (Ak ) = Formule des probabilités composées PAk (B)P (Ak ) . n P P (Ai )PAi (B) i=1 Proposition Soient A1 , A2 , . . . , An ∈ P (Ω) tels que P (A1 ∩ · · · ∩ An−1 ) , 0. Alors P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 )PA1 (A2 )PA1 ∩A2 (A3 ) . . . PA1 ∩···∩An−1 (An ) • Philosophie. La formule est utile lorsque l’on cherche à « remonter le temps ». Elle permet d’échanger le conditionnement : on passe de PB (Ak ) à PAk (B). Elle permet donc de calculer la probabilité d’une cause connaissant la probabilité de sa conséquence. L’adresse de la page des maths est : http://mcathala.perso.math.cnrs.fr/ecs1_ozenne.html 2/2