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Diviseurs et multiples
Si a est un nombre entier naturel qui s’écrit sous la forme d’un produit de deux entiers
naturels non nuls : a = b * c
On dit alors :
- a est un multiple de b ainsi que de c
- a est divisible par b ainsi que pas c
- b est un diviseur de a ; c est un diviseur de a
Critères de divisibilité
Divisibilité
par :
1
2
3
4
5
Énoncé du critère :
Exemple :
Tout nombre entier est divisible par 1
1, 2, 3,4 sont divisibles par 1
Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son 1548 est divisible par 2 car
dernier chiffre est un chiffre pair (0, 2, 4, 6, 8)
son dernier chiffre est pair
(8)
Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la
864 est divisible par 3 car
somme de ses chiffres est divisible par 3
8 + 6 + 4 = 18 > 1 + 8 = 9
(divisible par 3)
Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le
2588 > 88 est divisible par 4
nombre formé par ses 2 derniers chiffres est
(22 x 4)
divisible par 4
Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son 1254410 est divisible par 5
chiffre des unités est 0 ou 5.
car son dernier chiffre est 0.
6
Un nombre est divisible par 6 si et seulement s’il
est à la fois divisible par 2 et par 3.
8
Un nombre est divisible par 8 si et seulement si le
nombre formé par ses 3 derniers chiffres est
divisible par 8
Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la
somme de ses chiffres est divisible par 9
Un nombre est divisible par 10 si et seulement si
son chiffre des unités est 0.
9
10
11
13
25
24186 est divisible par 6 car
> 6 est un chiffre pair ;
> 2+4+1+8+6 = 21 (3x7)
636136 est divisible par 8 car
136 est divisible par 8 (17x8)
423 est divisible par 9 car
4+2+3 = 9
211055460 est divisible par
10 car son chiffre des unités
est 0.
La différence entre la somme de ses chiffres de
80927 est un multiple de 11
rangs pairs et la somme de ses chiffres de rangs
car :
impairs est un multiple de 11
(8+9+7)-(0+2) = 22 (2x11)
CDU : U – 3D –C -> (Chiffre des unités) – (3 x chiffre 156 > 6 – (3 x 5) – (4 x 1)
des dizaines) – (4 x chiffre des centaines) = divisible > 6 – 15 – 4
par 13
>-13 donc divisible par 13
Un nombre est divisible par 25 si et seulement s’il
215375 est divisible par 25
se termine par 00 ; 25 ; 50 ; 75.
car il se termine par 75.
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1
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 2 qui admet exactement 2 diviseurs : 1
et lui-même.
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59
PPCM -> Plus petit commun multiple
Tout nombre entier positif qui n’est pas premier peut se décomposer en produit de facteurs
premiers : PPCM & PGCD
Ex : PPCM de 3 et 4 = 12
Ex : avec 96 et 60
Décomposition en produit de facteurs premiers :
96 2
48 2
24 2
12 2
6
2
3
3
donc 96 = 25 x 3
1
60 2
30 2
15 3
5
1
5
donc 60 = 22 x 3 x 5
Le PPCM commun = 25 x 3 x 5 = 480
Plus Petit Commun Multiple = tous les facteurs premiers qui apparaissent à la plus grande
puissance
PGCD -> Plus grand commun diviseur
Ex : PGDC de 12 et 21 = 3
Ex : avec 96 et 60
Décomposition en produit de facteurs premiers :
96 2
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2
48 2
24 2
12 2
6
2
3
3
donc 96 = 25 x 3
1
60 2
30 2
15 3
5
1
5
donc 60 = 22 x 3 x 5
Le PGCD commun = 22 x 3 = 12
Plus Grand Commun Diviseur = Plus petite puissances communes
Nombres premiers entre eux
2 entiers naturels sont premiers entre eux si leur plus grand commun diviseur est égal à 1 ;
en d'autres termes, s'ils n'ont aucun diviseur autre que 1 et –1 en commun. De manière
équivalente, ils sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun.
Test de primalité :
I) Un technique de calcul > Les soustractions successives :
Ex : 15 et 8
15 - 8 = 7
8 – 7 = 1 -> Oui ils sont premiers entre eux
Ex : 17 et 11
17 – 11 = 6
11 – 6 = 5
6 – 5 = 1 -> Oui ils sont premiers entre eux
II) Autre technique de calcul > Deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD
(Plus Grand Commun Diviseur) vaut 1.
Ex : 15 et 8 sont-ils premiers entre eux ?
15 3
5 5
1
8 1
1
Donc 15 et 8 sont premiers entre eux.
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3
Le nombre parfait
Un nombre parfait est un entier naturel n dont la somme de ses diviseurs propres est égale à
lui-même.
Ex : voici la liste des diviseurs de 8128 :
1
2
4
8 16 32 64
8128 4064 2032 1016 508 254 127
> 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 = 8128
8128 est un nombre parfait
Connaître le nombre de diviseurs d’un entier naturel
Pour n = ax x by, le nombre de diviseur est égal à (x+1) x (y+1)
Ex : 36 = 22 x 32
Le nombre de diviseurs de 36 est égal à (2+1) x (2+1) = 3 x 3 = 9
Les ensembles de nombres
- l'ensemble des nombres entiers naturels noté N (0 ; 3 ; 10/5)
- l'ensemble des nombres entiers relatifs noté Z (-3 ; -80/10 ; -6)
- l'ensemble des nombres décimaux noté D (représentation canonique finie) (35/100 ; 3.2)
- l'ensemble des nombres rationnels noté Q (représentation canonique infinie + périodique)
(1/3 ; 11/7 ; -1/3)
- l'ensemble des nombres réels noté R (
)
* Un nombre est dit rationnel quand il peut s'écrire sous la forme d'un quotient de nombres
entiers (fraction).
* L'ensemble des nombres réels contient tous les nombres que l'on peut imaginer.
* Tous les entiers sont des décimaux, tous les décimaux sont des rationnels, tous les
rationnels sont des réels.
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Particularité des nombres rationnels et décimaux :
Non décimaux :
Fractions : a/b
Ecriture à virgule illimitée et périodique : 25/198 = 0.126262…
Décimaux :
Fraction : a/10n
Fraction irréductible : u/2p5q
Ecriture à virgule limitée : ¾ = 0.75
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