Actes des rencontres du C . I . R . M . Vol .2no 2(2010)71 − 77 Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund Farid Bencherif Résumé In this paper , we prove a remarkable property of the coefficients of Nörlund ’ s polynomials obtained mainly from a result of J . - L . Chabert . 1 . Introduction Cet article synthétise des résultats obtenus dans [ 2 ] et [ 3 ] . Dans ce paragraphe , nous rappelons la définition des polyn ô mes de Nörlund de premi è re et deuxi è me esp è ce ainsi que celle des polyn ô mes de Stirling . Nous énon ccedilla ons ensuite le principal résultat qui concerne une propriété remarquable des coefficients des polyn ô mes de Nörlund . La démonstration de ce théor è me faite au paragraphe suivant repose essentiellement sur un résultat de J - L Chabert [ 6 ] . Un corollaire de notre théor è me permet alors de répondre positivement à une ancienne question posée en 1 960 par D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović [ 14 ] . 1 . 1 . Polyn ô mes de Nörlund . (x) (x) Les polyn ô mes de Nörlund nB ([16], chapitre 6 ) et nb sont définis par n=0 X (x)z n n! nB ∞ =( z )x z e −1 et n=0 X (x) nb z n = ( ∞ z )x. ln(1 + z) (1.1) (x) Les polyn ô mes de Nörlund nB sont aussi appelés nombres généralisés de Bernoul l i d ’ ordre x; (1) (1) nB = Bn est le n− i è me nombre ordinaire de Bernoul li ; nb = bn est appelé n− i è me nombre de Bernoul li de s econde esp è ce et aussi n− i è me nombre de Cauchy . Il est bien connu et facile à prouver que B2n+1 = 0 pourn ≥ 1. (1.2) On a B0 = 1, B1 = − 1 1 1 1 B2 = B4 = − B6 = 2, 6, 30 , 42 , et b0 = 1, b1 = Texte exposé lors de la rencontre Troisi 1 1 19 3 1 b2 = − b3 = b4 = − b5 = 2, 12 , 24 , 729 , 160 . è me Rencontre Internationale sur les Polyn ô mes à Valeurs Enti è res organisée par Sabine Evrard . 29 novembre - 3 décembre 2010 , C . I . R . M . ( Luminy ) . Classification Mathématique ( 2000 ) . 1 1 B 68 , 1 1 B 83 . Mots clés . Bernoulli numbers . 71 (x) Farid Bencherif (x) Pour n ≥ 1, nB et nb sont des polyn ô mes en x de degré nà coefficients rationnels et de 1 n coefficients dominants respectifs ( −1 2 ) and n!2n . On a B (x) B B { B5 0(x) 1(x) B 2(x) B 3(x) 4(x) = == == = −1 − 1 x − 41 16 x− x1 1 2 1 1x 1 x1 x4 2 + 1 20 48 x2 8 48 5 + −x − +2 3 35 2 1 21 8 32 8 x3 5 + 11 −x 96 x x x 48 4 et braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceex − braceleftmid − braceex − Les nombres de Stirling de premi è re esp è ce s(n, k) et de deuxi è me esp è ce S(n, k) sont définis par ([8], [11]) : n=0 X n s(n, k) ∞ (ln(1 + z)) z = n! k! k et n=0 X (ez − 1)k z = n! k! . n S(n, k) ∞ (1.3) Il est bien connu que , pour kf ixé, s(n, n − k) et S(n + k, n) sont des polyn ô mes en n qui s ’ expriment à l ’ aide des polyn ô mes de Nörlund ( [ 4 ] , [ 1 0 ] , [ 1 5 ] ) : s(n, n − k) = n−1 k (n) kB etS(n + k, n) = n+k k (−n) kB . (1.4) Pour n et k ≥ 0, posons Tn (x) = x−1 n (x) nB . (1.5) Tn (x) est un polyn ô me de degré 2n, appelé polyn ô me de Stirling par D . S . R . S . Mitrinović . On déduit de ( 1 . 4 ) et ( 1 . 5 ) les relations (pourn ≥ k)etS(n + k, n) = (−1)k Tk (−n). s(n, n − k) = Tk (n) Mitrinović et (1.6) Il est facile de constater à l ’ aide des relations ( 1 . 3 ) et ( 1 . 1 ) que s(n, n − k) = k! n k (k−n) kb . (1.7) On déduit alors de ( 1 . 4 ) et ( 1 . 7 ) la relation suivante (x) (n−x) (n − x)nB = −n!xnb . (1.8) 1 . 2 . Les suites d ’ entiers (Mn ), (dn ) et (mn ). Nous allons définir trois suites d ’ entiers (Mn ), (dn ) et (mn ) attachées respectivement aux suites (x) (x) de polyn ô mes (nb ) et (nB ) et (Tn (x)). – La suite des nombres de Minkowski , répertoriée A53657 dans [ 1 7 ] , est la suite d ’ entiers (Mn )n ≥ 0 définie par Mn := Y n pb p−1 c+ b n c + bline − twonp(p−1) c + · · ·. p(p − 1) ppremier (1.9) Remarquons que , si p > n + 1, le facteur correspond dans le produit ( 1 . 9 ) vaut 1 , et donc Mn est en fait un produit fini . La suite d ’ entiers (Mn )n≥0 = (1, 2, 24, 48, 5760, 11520, 2903040, 5806080, 1393459200, ...) 72 ô mes de Nörlund intervient dans de nombreuses situations ( cf [ 6 ] , [ 7 ] ) . Les deux propriétés suivantes faciles à prouver nous seront utiles : Sur une propriété des polyn (n + 1)! | Mn et M2n+1 = 2M2n [12], (1.10) – La suite d ’ entiers (dn )n ≥ 0 = ( Mn!n )n≥0 est répertoriée A01898 dans [ 1 7 ] : (dn )n ≥ 0 = (1, 2, 12, 8, 240, 96, 4032, 1152, 34560, 7680, 101376...). De ( 1 . 1 0 ) , on déduit que d2n 2n + 1 = d2n+1 2 . (1.11) Mn )n≥0 , répertoriée A163176 dans [ 1 7 ] , a été mise en évidence – La suite d ’ entiers (mn )n ≥ 0 = ( (n+1)! par D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović dans [ 1 4 ] : (mn )n ≥ 0 = (1, 1, 4, 2, 48, 16, 576, 144, 3840, 768, 9216...). Le résultat suivant est essentiel dans la démonstration du théor è me principal qui suit . Rappelons qu ’ un polyn ô me non nul de Z[x] est dit primitif si le pgcd de l ’ ensemble de ses coefficients vaut 1 . (x) Lemme 1 . Pour tout entier n ≥ 0, (1.12) Mn nb est un polyn ô me primitif de Z[x] (x) (1.13) dn nB est un polyn ô me primitif de Z[x]. (−x) Démonstration . Dans [ 6 ] , J . - L . Chabert prouve que (−1)n Mn nb est un polyn ô me primitif de (n−x) Z[x]. On en déduit ( 1 . 1 2 ) ainsi que la primitivité du polyn ô me Mn xnb de Z[x]. Remarquons alors qu ’ avec ( 1 . 8 ) , on a (−x) dn (n − x)nB (n−x) = −Mn xnb . (−x) Par suite , dn (n − x)nB est aussi un polyn ô me primitif de Z[x]; la relation ( 1 . 1 3 ) en résulte . On peut aussi obtenir la relation ( 1 . 1 3 ) directement d ’ apr è s un résultat d ’ Adelberg ( [ 1 ] , Corollary 3). 1. 3. Le résultat principal . bline − twonp(p−1) c + · · · e t dn = Théor è me 2 . Mn n! , Avec Mn := Q n n c+ pb p−1 c+ b p(p−1) on a , pour n ≥ 3 : ppremier x (x) n 2B n = (αn 2n−1 x2n−1 + α2n−2 x2n−2 + · · · + α1n x + αn0 ) d2n x2 (x) n 2B n+1 = − (β n x2n−1 + β2n−2 x2n−2 + · · · + β1n x + β0n ) d2n+1 2n−1 P2n−1 k=0 αkn xk e t P2n−1 k=0 (1.14) (1.15) βkn xk é tant des polyn ô mes primitifs de Z[x] avec αn2n−1 = 2n + 1, n β2n−1 αn2n−2 = 2n − 1, n β2n−2 αn2n−3 = 2n − 3, n β2n−3 αn1 = 1, β1n αn0 = 1. β0n Ainsi , on a pour n = 3 (x) d6 6B (x) d7 7B = = 53α = 7, β53 x(63x5 − 315x4 + 315x3 + 91x2 − 42x − 16) −x2 (9x5 − 63x4 + 15x3 + 7x2 − 42x − 16) 43α = 5, β43 3α3 = 3, β33 3α1 = 1, β13 3α0 = 1. β03 et pour n = 4 (x) d8 8 B x(1357x − 1260x6 + 3150x5 − 840x4 − 2345x3 − 540x2 + 404x + 144) = (x) d9 9B = −x2 (157x − 180x6 + 630x5 − 448x4 − 665x3 + 10x2 + 404x + 144) 73 Farid Bencherif 4α7 = 9, β74 4α6 = 7, β64 4α5 = 5, β54 4α1 = 1, β14 4α0 = 1. β04 (1) n Remarque 3 . Pour n ≥ 1, on a 2B n+1 = B2n+1 = 0. On en déduit que le polyn ô me β2n−1 x2n−1 + n n β2n−2 x2n−2 + β2n−3 x2n−3 + ... + β1n x + β0n est divisible par x − 1 dans Z[x]. Avec les notations du théor è me 2 , on peut écrire pour n ≥ 1 (x) 2B n = 1 x2 (x − 1) (x) xP2n (x)et2B n+1 = P2n+1 (x), (2n + 1)m2n (2n + 2)m2n+1 où n n P2n (x) = αn2n−1 x2n−1 + α2n−2 x2n−2 + α2n−3 x2n−3 + · · · + α1n x + αn0 et n n n (x − 1)P2n+1 (x) = −(β2n−1 x2n−1 + β2n−2 x2n−2 + β2n−3 x2n−3 + · · · + β1n x + β0n ), les polyn ô mes P2n (x) et P2n+1 (x) étant des polyn ô mes primitifs de Z[x] vérifiant P2n (0) = αn0 = β0n = P2n+1 (0). 1 . 4 . Propriété des polyn ô mes de St ir ling . D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović [ 1 4 ] Tn (x) pour n ∈ {1, 9} et ont trouvé : ont déterminé les polyn ô mes de Stirling x = − 2 1 x P2 (x) T2 (x) = 3 4 1 x x(x − 1)P3 (x) T3 (x) = 4 2 1 x T4 (x) = P4 (x) 5 48 1 x T5 (x) = x(x − 1)P5 (x) 6 16 1 x T6 (x) = P6 (x) 7 576 1 x x(x − 1)P7 (x) T7 (x) = 8 144 1 x T8 (x) = P8 (x) 9 3840 1 x x(x − 1)P9 (x) T9 (x) = 10 768 T1 (x) où P2 (x) = P3 (x) P4 (x) = P5 (x) P6 (x) = = −1 15x − 30x + 5x + 2 = −3x2 + 7x + 2 = −9x4 + 54x3 − 51x2 − 58x − 16 135x7 − 1260x6 + 3150x5 − 840x4 − 2345x3 − 540x2 + 404x + 144 P9 (x) Ils ont constaté que = 2 63x5 − 315x4 + 315x3 + 91x2 − 42x − 16 P7 (x) P8 (x) 3 3x − 1 = −15x6 + 165x5 − 465x4 − 17x3 + 648x2 + 548x + 144. les Pn (x) sont des polyn ô mes primitifs de Z[x] vérifiant : P2 (0) = P3 (0), P4 (0) = P5 (0), P6 (0) = P7 (0), P8 (0) = P9 (0). 74 Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund Ils ont alors posé la question de savoir si cette propriété est vérifiée de mani è re générale pour le couple de polyn ô mes (P2k (n), P2k+1 (n)) associé au couple de nombres de Stirling (s(n, n− 2k), s(n, n − (2k + 1)) pour tout k ≥ 1([14], page 4 ) . Le corollaire suivant répond positivement à cette question . Corollaire 4. Pour tout entier k > 1, il existe deux polyn ô mes primitifs de Z[x], P2k (x) et P2k+1 (x) t e ls que 1 n P2k (n) (n > 2k) s(n, n − 2k) = 2k + 1 m2k 1 n s(n, n − 2k − 1) = n(n − 1)P2k+1 (n) (n > 2k + 1), 2k + 2 m2k+1 P2k (0) = P2k+1 (0). (1.16) (1.17) (1.18) Démonstration . D ’ apr è s ( 1 . 6 ) , pour k ≥ 1, on a : s(n, n − 2k) = T2k (n) si n ≥ 2k et s(n, n − 2k − 1) = T2k+1 (n) si n ≥ 2k + 1. Compte tenu de la relation ( 1 . 5 ) et de la remarque 3 , on a n−1 T2k (n) = B2k (n) 2k n n−1 P2k (n) = 2k (2k + 1)m2k 1 n P2k (n) = 2k + 1 m2k et n−1 2k + 1 T2k+1 (n) = B2k+1 (n) n2 (n − 1) n−1 = P2k+1 (n) 2k + 1 (2k + 2)m2k+1 1 n = n(n − 1)P2k+1 (n) 2k + 2 m2k+1 o ùP2k (x) et P2k+1 (x) sont primitifs dans Z[x] et vérifient P2k (0) = P2k+1 (0). 2 . Démonstration du théor è me principal (x) Plusieurs auteurs se sont intéressés aux coefficients du polyn ô me nB ([5], [9], [13]). Dans [ 1 3 ] , ( Theorem 1 et Theorem 2 ) , G . D . Liu et H . M . Strivastava ont prouvé la formule explicite donnée dans le lemme suivant : (x) Lemme 5 . Pour n ≥ 1, nB est un polyn ô me de degré n, de te rme constant nul e t , pour 1 ≤ k ≤ n, l e coefficient de xk est égal à : (x) nB = (−1)n−k n! k! i1 + i2 X k +···+i =n Bi1 ...Bik . (i1 ...ik ).i1 !...ik ! ij ≥ 1pourj = 1, ..., k A l ’ aide de ce lemme , on obtient aisément les relations suivantes 75 Farid Bencherif Lemme 6 . Pour n ≥ 2, on a (−1)n 2n (−1)n−1 n = 2 3.2n n (−1) n = 4 3.2n (x) nB (x) [xn−1 ]nB (x) [xn−2 ]nB n−1B (x) (x) [x2 ]2B n [x]nB = (−1)n 1 X B2i B2n−2i 2n 1 1 2i 2 2i(2n − 2i) = n = i≤ ≤n− B2n (2n + 1) 4n B2i B2n−2i 2n + 1 X 2n 1 1 − 2i 4 2i(2n − 2i) . (x) [x2 ]2B (x) [x3 ]2B n+1 = n+1 = i≤ ≤n− (x) On sait que d ’ apr è s les lemmes 1 et 5 que dn nB est un polyn ô me primitif de Z[x], de terme (x) 2n+1 constant nul . De plus d ’ apr è s la relation ( 1 . 2 ) et le lemme 6 , on a [x]2B n+1 = B2n+1 = 0 pour (x) n ≥ 1. Le polyn ô me d2n+1 2B n+1 est donc divisible par x2 , pour n ≥ 1. Ainsi se trouvent justifiées les écritures ( 1 . 1 4 ) et ( 1 . 1 5 ) ainsi que la primitivité dans Z[x] des polyn ô mes P2n−1 n k P2n−1 n k k=0 αk x et k=0 βk x . Les relations ( 2 ) du théor è me 2 découlent alors de la relation ( 1 . 1 1 ) et des relations suivantes déduites du lemme 6 : (x) αn2n−1 = d2n [x2n ]2B αn2n−2 = d2n [x2n−1 ]2B αn2n−3 = αn1 et n (x) n (x) n β2n−1 = d2n+1 [x2n+1 ]2B et (x) n d2n [x ]2B n et β2n−3 (x) = d2n [x2n−2 ]2B n et β1n (x) αn0 = d2n [x]2B n et 2n−2 (x) n β2n−2 = d2n+1 [x2n ]2B n+1, n+1, (x) = d2n+1 [x ]2B n+1, (x) = d2n+1 [x2n−1 ]2B n+1, (x) β0n = d2n+1 [x2 ]2B n+1. 2n−1 La preuve du théor è me 2 est compl è te . Références (x) [ 1 ] A . Adelberg , Arithmetic properties of the Nörlund polynomial nB , Discrete Mathematics , ( H . W . Gould volume ) 204 ( 1 999 ) , 5 - 1 3 . [ 2 ] F . Bencherif et T . Garici , Sur une propriété des polyn ô mes de Stirling , Preprint ( soumis ) . [ 3 ] F . Bencherif et A . Zekiri , On some properties of Nörlund ’ s polynomials , Preprint . (x) nB , Proc . Amer . Math . Soc . 1 1 ( 1 960 ) , 452 - 455 . (x) [ 5 ] L . Carlitz , Some properties of the Norlund polynomial nB , Math . Nachr . 33 ( 1 967 ) , 297 - 3 1 1 . [ 4 ] L . Carlitz , Note on the Nörlund polynomial [ 6 ] J . - L . Chabert , Integer - valued polynomials on prime numbers and logarithm power expansion , European Journal of Combinatorics 28 ( 2007 ) , 754 - 76 1 . [ 7 ] J . - L . Chabert and P . - J . Cahen , Old Problems and New Questions around Integer - Valued Polynomials and Factorial Sequences , in Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra , Springer , 2006 , 89 - 108 . [ 8 ] L . Comtet Analyse Combinatoire , Presses Universitaires de France , Paris , Vol .1&2, 1970. [ 9 ] I . M . Gessel , On Miki ’ s identity for Bernoulli numbers , J . Number Theory 1 1 0 ( 2005 ) , 75 - 82 . [ 10 ] H . W . Gould , The Lagrange interpolation formula and Stirling numbers , Proc . Amer . Math . Soc . 1 1 ( 1 960 ) , 421 - 425 . [ 1 1 ] R . L . Graham , D . E . Knuth , and O . Patashnick , Concrete Mathematics : a Foundation for Computer Science , Addison - Wesley , 1 994 . [ 1 2 ] R . M . Guralnick and M . Lorentz , Orders of Finite Groups of Matrices , arXiv : math / 51 1 1 9 1 v 1 [ math . GR ] v 1 ] 8 Nov 2005 . [ 1 3 ] G . - D . Liu and H . M . Srivastava , Explicit Formulas for the Nörlund Polynomials (x) (x) nB and nb , Computers & Mathematics with Applications Vol .51, n◦ 9 − 10, (2006), 1377 − 1384. [ 14 ] D . S . Mitrinović et R . S . Mitrinović , Tableaux qui fournissent des polyn ô mes de Stirling , Publications de la Faculté d ’ Electronique , série : Mathématiques et physique , N ◦ 34, (1960)1 − 23. 76 Sur une propriété des polyn ô mes de Nörlund [ 1 5 ] D . S . Mitrinović , Sur une relation de récurrence relative aux nombres de Bernoulli d ’ ordre supérieur , C . R . Acad . Sc . Paris 250 ( 1 960 ) , 4266 - 4267 . [ 1 6 ] N . E . Nörlund , Vorlesungen über Differenzenrechnung , Springer , Berlin , 1 924 ; repr . Chelsea Publ . Comp . , New York , 1 954 . [ 1 7 ] N . J . A . Sloane , The On - Line Encylopedia of Integer Sequences , http : / / www . research . att . com / ˜njas / sequences / index . htm . USTHB , Fac . Math . , P . B . 32 , El Alia , 1 6 1 1 1 , Algiers , Algeria . • f − b encherif 77 @ usthb . dz