LES VECTEURS

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LES VECTEURS
INTRODUCTION
À partir de la Renaissance, l’algèbre devient un outil puissant pour
résoudre des problèmes relatifs à des quantités inconnues.
Au XVIIe siècle, Gottfried Leibniz s’est demandé si un travail analogue
n’était pas possible pour améliorer la représentation de situations géométriques et de mouvements.
Plus tard, cette réflexion aboutira au concept de vecteur.
Dans ce chapitre, nous allons mettre en place un outil mathématique
utile pour comprendre quelques principes utilisés par les logiciels de
dessin et les machines à commandes numériques.
EXPLORATION
fig. 1. Carte des vents
1. DÉPLACEMENTS
Un objet est posé sur une table (voir fig. 2).
On schématise la situation en représentant la table par un
rectangle et en marquant d’un point P la position de l’objet
(voir fig. 3).
Reproduire ce schéma à l’échelle un cinquième.
M
P
fig. 2
50 cm
Q
80 cm
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fig. 3
1
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a Voici des instructions pour déplacer l’objet du point P vers un
point P’. Dans chaque cas, représenter tous les points P’ où l’objet
peut se trouver après le déplacement :
1. Déplacer l’objet de 10 cm.
2. Déplacer l’objet parallèlement au bord le plus long de la table.
3. Déplacer l’objet parallèlement au bord le plus long de la table et
vers la gauche.
4. Déplacer l’objet de 10 cm, parallèlement au bord le plus long de la
table.
5. Déplacer l’objet de 10 cm, parallèlement au bord le plus long de la
table et vers la droite.
Répondre chaque fois à la question : « Cette instruction permet-elle
de déterminer de manière unique la position de P’ ? » Expliquer.
b Deux autres objets sont placés l’un au point M et l’autre au point Q.
On leur applique le déplacement décrit au point a 5.
Représenter les positions M ’ et Q’ de ces objets après leur
déplacement.
c En reliant ces quatre points (M, Q, M ’ et Q’) dans un certain ordre, on obtient un quadrilatère particulier. Lequel ?
d Nommer les trois caractéristiques du déplacement décrit au
point 5.
Quelques informations
u
En mathématique et en physique, un déplacement caractérisé
par une direction, un sens et une longueur est modélisé par un
vecteur.
On note le vecteur au moyen d’une (ou de deux) lettre(s) surmontée(s) d’une flèche.
On le représente par un segment orienté (pensons aux flèches indiquant la direction et la force des vents sur une carte météo).
A
AB
B
fig. 4
2. DÉPLACEMENTS SUCCESSIFS
Lors d’une course d’orientation, un premier concurrent part d’un
point A et se rend en ligne droite vers un point B situé à 500 m de A,
en suivant l’azimut 25° sur sa boussole.
Arrivé en B, il pivote de 15° vers la droite et parcourt 400 m jusqu’au
point C.
fig. 5
1
a Représenter la situation à l’échelle
en marquant les dépla- Azimut ou cap : direction à suivre
10 000
cements par des flèches.
exprimée par un nombre compris
b Croyant bien faire, un deuxième concurrent part du point A et par- entre 0 et 360. Ce nombre est une
mesure en degrés de l’angle que forcourt 900 m en suivant le cap 40°. Il est déçu. Qu’en pensez-vous ?
me la direction suivie avec le nord,
c
Qu’aurait-il dû faire pour arriver directement au point C sans pas- compté à partir du nord dans le sens
des aiguilles d’une montre.
ser par le point B ?
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3. VITESSES COMPOSÉES
Des naufragés se trouvent sur une embarcation livrée à elle-même.
Ils aperçoivent une île vers laquelle un vent d’ouest les pousse à la
vitesse, supposée constante, de 5 km/h.
Malheureusement, dans le même temps, un courant les emporte vers
le nord à la même vitesse de 5 km/h.
a Sur la fig. 6, chaque maille représente un carré de 5 km de côté et X
est la position initiale de l’embarcation. Reproduire la figure et y représenter le déplacement de l’embarcation pendant la première heure.
b
Indiquer les déplacements effectués après 2 heures, après 4 heures,
après 5 heures. Les naufragés parviendront-ils à accoster sur l’île ?
fig. 6
c
Mêmes questions si le courant suit un azimut de 30°, les vitesses
restant inchangées.
4. VECTEURS ET NOMBRES
Pour réaliser une planche de Galton1, on fore des trous dans une
plaque.
Pour ce faire, l’atelier de mécanique dispose d’une machine à commandes numériques. Elle est constituée d’une table au-dessus de laquelle se déplace un outil mobile (ici une foreuse).
Au début, l’outil est positionné sur le zéro machine, pour nous (voir
fig. 8), le coin inférieur gauche de la plaque.
Ensuite, il se déplace au centre d’un premier trou, puis au centre d’un
deuxième, et ainsi de suite, pour enfin revenir au zéro machine.
Chaque déplacement combine des déplacements élémentaires parallèles aux bords x et y de la plaque.
fig. 7
On programme chaque fois le déplacement pour que l’outil se positionne au centre du trou suivant.
La plaque mesure 120 mm sur 70 mm.
Les centres des trous sont alignés sur des droites parallèles aux
bords x et y de la plaque. Ces droites sont équidistantes de 10 mm.
L’ensemble est centré sur la plaque.
a L’opérateur a codé le premier déplacement sous la forme (60 , 10).
Quel trou a-t-il l’intention de forer ?
b
En utilisant cette notation, écrire une liste des déplacements qui
seront programmés pour percer l’ensemble de trous.
y
x
fig. 8
c
Quelle sera la distance totale parcourue par l’outil pour effectuer
ce travail ?
d En comparant vos résultats, quel est le programme qui permet
d’effectuer l’ensemble du travail le plus rapidement (en supposant
la vitesse de déplacement de l’outil constante) ?
1 La planche de Galton est un dispositif expérimental utilisé dans l’étude des
probabilités (voir tome 2 du manuel Clic & Maths 5e /6e).
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5. VECTEURS ET REPÈRE
y
Dans un repère cartésien, on donne les points A(– 1 , 2), B(4 , – 1),
C(1 , 6), D(6 , 3) et E(5 , – 3).
Pour caractériser le vecteur AB, on observe que l’on avance de 5 unités vers la droite dans la direction de l’axe des x et de 3 unités vers le
bas dans la direction de l’axe des y (voir fig. 9).
On dit que les composantes du vecteur AB sont les nombres 5 et – 3.
On les note (5 , – 3).
a
b
c
A
1
0
1
B
x
Placer les points C, D et E.
Calculer les composantes des vecteurs CD et OE.
Comparer les trois paires de composantes obtenues. Que peut-on
dire des vecteurs AB, CD et OE ? Vérifier sur la fig. 9.
fig. 9
d
Écrire une relation entre les composantes du vecteur CD et les
coordonnées des points C et D.
6. TRANSLATION
Dans un repère cartésien, une translation est donnée par
le couple (2 , 4).
a
b
c
Comment interpréter cette donnée ?
Quelle est l’image du point A(5 , – 2) par cette translation ?
Quelle est l’image du point O par cette translation ?
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SYNTHÈSE
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Un vecteur est caractérisé par : – une direction,
– un sens,
– une grandeur (longueur, intensité,…).
On représente un vecteur par un segment orienté (une flèche).
Si la flèche qui représente le vecteur a pour origine le point A et pour extrémité le point B, on note ce
vecteur AB.
Si on ne connaît ni l’origine ni l’extrémité de cette flèche, on notera le vecteur qu’elle représente par une
lettre minuscule surmontée d’une flèche : u, v,…
Le vecteur nul est noté o ou AA. Il désigne un déplacement de longueur nulle, sans direction, ni sens.
Graphiquement, on représente un vecteur par une
flèche.
Dans un repère cartésien du plan, on caractérise
un vecteur u au moyen de deux nombres appelés
composantes du vecteur : (xu , yu).
A
Si on connaît les coordonnées du point A(xA , yA) et
celles du point B(xB , yB), alors les composantes du
vecteur AB sont (xB – xA , yB – yA).
AB
y
B
A(5 , 5)
1
B(2 , 1)
0 1
u
AB (– 3 , – 4)
x
fig. 10
u (9 , 2)
fig. 11
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Quelle est l’origine du mot vecteur ?
Le terme vecteur provient du latin vehere qui signifie « déplacer,
conduire, porter de l’information ».
La mise au point mathématique de ce concept est assez récente. Elle est
due à Sir William Hamilton (1805-1865).
fig. 12
Où rencontre-t-on des vecteurs ?
En physique, un vecteur peut représenter un déplacement, une vitesse, une accélération, mais aussi une
force, un poids, une pression.
En électricité, un vecteur représente une tension, un courant, un champ magnétique.
Les grandeurs vectorielles se différencient des grandeurs scalaires (les nombres) qui n’ont ni direction
ni sens (comme la masse, la température, le temps).
Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?
Des vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Deux vecteurs de même direction et de même longueur, mais de sens contraires sont des vecteurs opposés.
Le vecteur opposé au vecteur u est noté – u, le vecteur opposé au vecteur AB est noté – AB ou BA.
Graphiquement, les flèches qui représentent
deux vecteurs égaux sont les côtés opposés d’un
parallélogramme, sauf quand elles sont alignées.
Dans un repère cartésien du plan, les composantes de deux vecteurs égaux sont égales :
u=v
si (xu , yu) = (xv , yv)
Les flèches qui représentent des vecteurs opposés
sont de même direction et de même longueur, mais
de sens contraires.
c’est-à-dire
si xu = xv et yu = yv.
Des vecteurs opposés ont des composantes opposées :
si le vecteur u a pour composantes (xu , yu), alors le
vecteur – u a pour composantes (– xu , – yu).
v
v (5 , 1)
u
u (5 , 1)
–u
fig. 13
– u (– 5 , – 1)
fig. 14
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Comment additionne-t-on deux vecteurs ?
Graphiquement, quand deux vecteurs sont représentés par des flèches consécutives, on utilise la
construction de la fig. 15.
Dans un repère cartésien du plan, pour additionner deux vecteurs, il suffit d’additionner leurs
composantes.
Cette façon de procéder justifie l’appellation
addition de vecteurs.
B
Si le vecteur u a pour composantes (xu , yu) et
si le vecteur v a pour composantes (xv , yv),
alors le vecteur u + v a pour composantes
(xu + xv , yu + yv).
A
C
fig. 15
y
B
On traduit cette construction par la relation de
Chasles :
AB + BC = AC.
Si les deux flèches ont la même origine mais
pas la même direction, on peut utiliser une autre
construction (voir fig. 16).
A
C
1
u
0
u+v
v
x
1
fig. 17
Composantes de AB : (4 , 4).
fig. 16
Composantes de BC : (3 , –5).
On l’appelle règle du parallélogramme.
Composantes de AB + BC = AC :
(4 , 4) + (3 , – 5) = (7 , – 1).
Remarque
y
Quand on additionne deux vecteurs opposés,
on obtient le vecteur nul.
u
u+v
v
1
0 1
x
fig. 18
Composantes de u : (5 , 2).
Composantes de v : (3 , – 2).
Composantes de u + v : (5 , 2) + (3 , – 2) = (8 , 0).
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On utilise aussi la règle du parallélogramme pour
décomposer un vecteur en somme de deux vecteurs
de directions données.
Les composantes d’un vecteur traduisent la manière dont le vecteur se décompose en vecteurs
parallèles aux axes du repère.
y
Exemple
On veut décomposer le vecteur u en somme
de deux vecteurs parallèles l’un à la droite d1
et l’autre à la droite d2 (voir fig. 19 et 20).
u1
u
d1
1
0
u2
x
1
u
fig. 21
Composantes du vecteur u1 : (0 , 5).
Composantes du vecteur u2 : (7 , 0).
Composantes du vecteur u : (7 , 5).
d2
fig. 19
Solution
d1
u1
u
u2
d2
fig. 20
u = u1 + u2
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Comment additionner plus de deux vecteurs ?
Pour additionner plus de deux vecteurs, on peut appliquer la règle du parallélogramme aux deux premiers
vecteurs, puis une nouvelle fois au résultat et au troisième vecteur, et ainsi de suite.
On peut aussi généraliser la relation de Chasles en disposant les vecteurs bout à bout de manière à ce qu’ils
soient consécutifs. Leur somme relie alors l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur :
AB + BC + CD + DE = AE
Graphiquement :
Dans un repère cartésien du plan :
y
E
B
AB + BC + CD + DE = AE
E
B
C
1
C
A
A
0
D
x
1
D
fig. 22
fig. 23
Composantes de AB : (3 , 4).
Composantes de BC : (7 , – 3).
Composantes de CD : (– 5 , – 6).
Composantes de DE : (– 6 , 10).
En additionnant les composantes, on a :
(3 , 4) + (7 , – 3) + (– 5 , – 6) + (– 6 , 10) = (– 1 , 5).
Vérification :
composantes de AE : (–1 , 5).
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Que se passe-t-il si on multiplie un vecteur non nul par un nombre ?
Quand on multiplie un vecteur u par un nombre r différent de zéro, on obtient un nouveau vecteur ru.
Celui-ci a toujours la même direction que le vecteur u.
Sa longueur est celle du vecteur u multipliée par la valeur absolue de r.
Le vecteur ru a le même sens que le vecteur u si r est positif et le sens contraire si r est négatif.
Le produit d’un vecteur par zéro est le vecteur nul.
Graphiquement, la fig. 24 montre un vecteur et
deux de ses multiples.
Dans un repère cartésien du plan, pour multiplier
un vecteur par un nombre, il suffit de multiplier ses
composantes par ce nombre.
Si le vecteur u a pour composantes (xu , yu), alors
le vecteur 2u a pour composantes (2xu , 2yu) et le
vecteur – 3u a pour composantes (– 3xu , – 3yu).
u
2u
y
u
– 3u
2u
fig. 24
– 3u
1
0
x
1
fig. 25
Composantes de u : (3 , 1).
Composantes de 2u : (6 , 2).
Composantes de – 3u : (– 9 , – 3).
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EXERCICES
Ë Expliciter les savoirs et les procédures
a
1. COMPARONS
f
h
La fig. 26 représente des vecteurs.
a
b
c
d
Quels sont les vecteurs de même longueur ?
e
Écrire les égalités qui en découlent.
c
b
Quels sont les vecteurs de même direction ?
g
Quels sont les vecteurs de même direction et de même sens ?
Quels sont tous les vecteurs qui sont respectivement multiples du
vecteur a, du vecteur h, du vecteur i ?
j
e
i
d
fig. 26
2. VRAI OU FAUX
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
a L’égalité AB = CD signifie que le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme.
b
On peut trouver quatre points A, B, C et D tels que la droite AB est
parallèle à la droite CD, AB = CD et AB ≠ CD.
c
On peut trouver cinq points I, J, L, M et N tels que IN = JL et
ML = IJ.
C
d Lorsque le point C est à égale distance des points A et B, on a
AC = CB.
e Une seule des égalités suivantes signifie que le point C est symétrique du point A par rapport au point B :
AB = CB ; AB = BC ; CA = CB ; AC = CB ; AB = AC.
A
D
B
f Si EA + DE = AB + CA, alors le quadrilatère ABCD est un
parallélogramme.
g
fig. 27
Quel que soit le point P de la zone hachurée ( fig. 27), le point Q
défini par PQ = AB + CD ne sort pas de la grille.
Ë Appliquer une procédure
C
3. CONSTRUCTIONS À PARTIR D’UN HEXAGONE
On donne un hexagone régulier ABCDEF de centre M ( fig. 28).
B
Rechercher les vecteurs suivants en les exprimant au moyen de lettres
A, B, C, D, E, F et M.
1) FA + FM
4) CF + AB
2) CD + DE
5) BM + FB
3) EF + AB
6) ME + AF
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D
M
E
A
F
11
fig. 28
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4. SUR UNE FEUILLE QUADRILLÉE
Reproduire la fig. 29.
Dessiner un représentant des vecteurs suivants :
C
1) – 2AB
5) 2BF + CE
2) 3AC
6) – 2DE + 2AB
4
CE
3
7) 2ED – 3FE
4) AB – CB
8) 3FB + 2ED
3)
B
F
A
E
D
fig. 29
5. PARTIR DU CENTRE
Reproduire la fig. 30.
v
Exprimer les vecteurs tracés en rouge en fonction des vecteurs u et v.
u
6. SITUER UN POINT
fig. 30
Reproduire la fig. 31.
Situer les points F, G, H et les vecteurs u et v tels que
1
1) BF = − BE.
2
2) AG = 2AB + BD.
D
3) CH = CE + CB.
C
4) u = DC – BA.
A
5) v = AD – CD.
7.
E
B
COMPOSANTES
En se référant à la fig. 32, calculer les composantes
des vecteurs suivants :
1) OF
9) BA
17) CH + HG
2) OD
10) AC
18) CB + CD
3) OA
11) HG
19) AB – CD
4) OB
12) GE
20) 2BE – 4HF
5) OE
13) 2HE
21) AB + BA
1
6) OC
22) AB + BG + GE
0
7) EF
1
14) FG
2
15) – DB
8) BG
16) – 3AH
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fig. 31
y
G
A
F
C
1
23) FC – GB
2
B
E
O
x
1
D
H
fig. 32
12
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Ë Problèmes
8. PARALLÉLOGRAMME
A. Dans un repère cartésien, on connaît les coordonnées des points
A(1 , 2) et C(– 2 , 4).
a
b
c
Représenter le parallélogramme OABC dont une diagonale est [AC].
Quelles sont les coordonnées du point B ?
Comment sont-elles liées aux coordonnées des points A et C ?
B. On connaît aussi les coordonnées des points M(5 , – 3), N(6 , – 1) et
Q(3 , 1).
d
e
Représenter le parallélogramme MNPQ.
Quelles sont les coordonnées du point P ?
9. CAP ET VITESSE
Un avion vole à la vitesse de 300 km/h avec un cap de 50°.
Un vent venant d’ouest souffle à la vitesse de 60 km/h.
La vitesse réelle de l’avion par rapport au sol est la somme vectorielle
de deux vitesses données ci-dessus (la longueur des vecteurs est proportionnelle à l’intensité de la vitesse qu’ils représentent).
a
b
c
Représenter vectoriellement les données de la situation.
Construire le vecteur représentant la vitesse réelle de l’avion.
On choisit un repère : l’origine des axes est la position actuelle de
l’avion, l’axe des y est dirigé vers le nord et celui des x vers l’est. Calculer
les composantes des trois vecteurs vitesses.
d Des résultats du point c, déduire le cap de l’avion ainsi que (la grandeur de) sa vitesse réelle.
10. TRAJECTOIRE ET VITESSE D’UN AVION
Le pilote d’un avion désire maintenir un cap de 200° et une vitesse de
560 km/h (trajectoire réelle).
Le vent venant du nord souffle à la vitesse de 70 km/h.
Déterminer la vitesse de l’avion et le cap à suivre.
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Ë Pour aller plus loin
11. RÉSULTANTE DE DEUX FORCES
En physique, on symbolise les forces par des vecteurs ayant même direction et même sens que la force et de
longueur proportionnelle à l’intensité de celle-ci.
Des dispositifs expérimentaux établissent que l’action de forces sur un objet peut être expliquée en utilisant
les vecteurs ( fig. 33 et 34).
fig. 33
fig. 34
Pour que deux forces soient équilibrées par une troisième, il faut que le « nœud » se trouve au centre de
la table ( fig. 33). Pour ce faire, on modifie l’orientation de la troisième ficelle et on remplit plus ou moins
le troisième godet ( fig. 34). La force qui établit cet équilibre est alors l’opposée de la résultante des deux
premières.
a
Reproduire la fig. 35.
L’objet M est soumis à deux forces F1 et F2.
F1
Construire une troisième force F3 telle que M reste immobile.
M
F2
fig. 35
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b
Reproduire la fig. 36.
L’objet O est soumis à trois forces F1, F2 et F3 .
Construire une quatrième force F4 telle que O reste immobile.
F1
O
F3
F2
fig. 36
c Une masse M de poids P est suspendue à deux câbles. Ces câbles
sont disposés symétriquement et forment entre eux un angle α. La masse
est en équilibre sous l’action des forces de traction T1 et T2 présentes dans
les câbles (voir fig. 37).
T1
α
T2
Montrer que les câbles doivent être d’autant plus résistants que l’angle α
est grand.
M
P
fig. 37
12. LE LEVIER
Le levier de la fig. 38 est constitué d’une barre rigide horizontale AB qui
s’appuie sur un point O situé entre A et B.
Si on exerce des forces F1 d’intensité F1 et F2 d’intensité F2 (exprimées
en newtons) dirigées vers le bas en A et B, il y aura équilibre si
OA ⋅ F1 = OB ⋅ F2 .
Un homme pèse de tout son poids p sur l’extrémité B d’un levier AB long
d’un mètre.
A
O
B
F2
F1
fig. 38
a
Quelle charge maximale p’ réussira-t-il à soulever en A si le point
d’appui O est situé à
1) 50 cm de A ?
2) 25 cm de A ?
3) 10 cm de A ?
b Exprimer le poids p’ de la charge en fonction du poids p de l’homme
et de la distance l entre le point A et le point d’appui O.
c
Représenter chaque fois la situation ( AB = 10 cm et longueur de la
flèche représentant p’ = 1 cm).
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