Licence de Mathématiques-Informatique Année 2008-2009 L3 Arithmétique et théorie des nombres Semaine 1 Exercice 1 1) Construire les tables d’addition et de multiplication de Z/5Z. En déduire l’ensemble des inversibles, pour la multiplication, de Z/5Z, qu’on notera G. Vérifier que G est un groupe pour la loi x, qu’on identifiera à isomorphisme près, et dont on fournira des familles de générateurs. 2) Idem pour Z/6Z. Exercice 2 1) Soit n un entier naturel ≥2. Montrer que pour un élément a de Z, sont équivalents - a est générateur de (Z/nZ, +), - a est inversible dans (Z/nZ, +, x), - a et n sont premiers entre eux. 2) Soit p un nombre premier, et a un entier relatif non divisible par p. Prouver en utilisant la première question que a(2a) ... ((p-1)a)≡(p-1)! mod p, et en déduire le petit théorème de Fermat : ap-1≡1 mod p. Exercice 3 1) Montrer que 17 divise 3x52n+1 + 23n+1, pour tout n∈N. 2) Montrer que si p est un nombre premier ≥5, alors 24 divise p2-1. 3) Quel est le reste de la division de 247349 par 7 ? 2 4) Quel est le reste de la division de 23n+7 par 9, selon n∈N ? n Exercice 4 1) Trouver des critères de divisibilité par m=3, 5, 7, 9 et 11, en écrivant un entier n en base 10 et en le réduisant modulo m. 2) Rappeler la « preuve par 9 », et imaginer des preuves par 5 et par 11. Exercice 5 Soit m un entier naturel ≥2. 1) Les nombres j et k étant des entiers naturels ≥1, montrer que si nj≡1 mod m, et nk≡1 mod m, alors npgcd(j, k) ≡1 mod m. 2) En considérant le plus petit diviseur premier de m, montrer que 2m≡1 mod m. - Dans cet exercice, on veillera aux signes des exposants. - Exercice 6 1) Soit p un nombre premier. i) Identifier parmi 1, ... , p-1, les éléments qui sont leur propre inverse dans (Z/pZ, +, x). ii) En déduire que (p-1)! ≡ -1 mod p (théorème de Wilson). 2) Inversement, montrer que si p est un entier naturel ≥2 tel que (p-1)! ≡ -1 mod p, alors p est premier. 3) En utilisant le théorème de Wilson, trouver un entier naturel a tel que a2 ≡ -1 mod 17. Exercice 7 On considère la fonction indicatrice d’Euler φ définie sur N* par φ(1)=1 et φ(n) = #{a∈N, 1≤a≤n et pgcd (a, n) = 1} , si n≥2. Pour n≥2, le nombre φ(n) est le nombre de générateurs de (Z/nZ, +) (cf exercice 2). 1) Etant donné un diviseur d de l’entier n (n≥2), quel est le nombre d’éléments d’ordre d de (Z/nZ, +)? 2) Montrer que si p est premier, alors φ(p)=p-1. Plus généralement, pour α≥1, prouver que φ(pα)= pα - pα−1 . 3) Etant donnés deux entiers naturels m et n, premiers entre eux et ≥2, on considère le morphisme de groupes . Ψ :(Z, +) (Z/mZ x Z/nZ, +) , k ( k, k) . En considérant la décomposition canonique de Ψ, montrer que (Z/mZ x Z/nZ, +) ≅ (Z/mnZ, +) (isomorphisme de groupes). En déduire, après avoir précisé les générateurs de (Z/mZ x Z/nZ, +), que φ(mn)= φ(m) φ(n). 4) Soit n un entier naturel≥2, de décomposition en facteurs premiers n = Π1≤i≤r piα , où les pi sont distincts deux à deux et les αι≥1. Montrer que φ(n) = n Π1≤i≤r (1-1/pi). 5) Montrer, en utilisant la question 1, l’égalité n= Σd|n φ(d). ι