Un autre q- analogue des nombres d Euler

Un
autre
q−
analogue
des
nombres
d Euler
G . - N .Han1 , A .Randrianarivony2 et J .Zeng3
1IRMA, CNRS et Universit é Louis - Pasteur ( Strasbourg 1 ) , France
2 Facult é des Sciences , Universit é d ’ Antananarivo , Madagascar
3Institut Girard Desargues , Universit é Claude Bernard ( Lyon 1 ) , France
Dedicated to
G.
Andrews on the occasion of his 60 th b irthday
Abstract
The ordinary generating functions of the secant and tangent num bers have very simple continued fraction expansions . However , the
classical q− secant and q− tangent numbers do not give a natural
analogue of these continued fractions . In this paper , we introduce a
different q− analogue of Euler numbers using q− difference operator and
show that their generating functions have simple continued fraction ex pansions . Furthermore , by establishing an explicit bijection between
some Motzkin paths and (k, r)− multipermutations we derive combina torial interpretations for these q− numbers . Finally the allied q− Euler
median numbers are also studied .
1
q−
Introduction
Les nombres d ’ Euler En (n ≥ 0) sont classiquement d é finis comme les
coef - ficients apparaissant dans le d é veloppement de Taylor suivant :
X
n
Ent n !
= 1 + t + t2 2! + 2t3 3! + 5t4 4! + ... = 1cos t + tan t.
(1)
n≥0
Ainsi les nombres E2n et E2n+1 sont appel é s aussi nombres s é cants
et nom - bres
tangents respectivement .
En
rempla c − cedilla
ant cos t et tan t par leurs q− analogues dans ( 1 ) on
obtient alors le q− analogue classique des nombres d ’ Euler
comme les coefficients corresp ondants dans le d é veloppement en q− s é
ries de Taylor .
Ces q− nombres d ’ Euler gé n é ralisent effectivement
certains aspects arithm é t iques et combinatoires des nombres d ’ Euler [
2 , 3 , 10 ] , mais
1
ils ne fournissent pas de q− analogues simples pour deux S - fractions
continues remarquables de leurs s é ries gé n é ratrices ordinaires [ 8 ]
:
X
E2n tn
=
1 + t + 5t2 + 61t3 + ... = 1 −
1122 t2 t
,
(2)
n≥0
1−
32 t
1−
.
.
.
X
E2n+1 tn
=
1 + 2t + 16t2 + 272t3 + ... = 1 −
11 · 2t
.(3)
n≥0
2 · 3t
1−
3 · 4t
1−
.
.
.
Une autre suite de nombres li é s intimement
aux nombres s é cants et
tan gents est la suite des nombres
d ’ Euler m é dians Ln , qui sont les
nombres
apparaissant au milieu du triangle de Seidel - Arnold [ 4 , 7 ] :
1
0
1 ←
0 → 1
2 ← 2 ←
0 → 2 → 4
16 ← 16 ← 14 ←
→ 16 → 32 → 46
0
→ 1
1 ← 0
→ 5 → 5
10 ← 5 ←
→ 56 → 61
0
→
61
......
dont la construction est analogue à celle du triangle
de
Pascal pour les coefficients binomiaux .
Par exemple , on trouve les
premi è res valeurs de ces nombres : L0 = 1, L1 = 1, L2 = 4, L3 = 46, ainsi
que celles des nombres d ’ Euler : E0 = E2 = 1, E4 = 5, E6 =
61 et
E1 = 1, E3 = 2, E5 = 16. Dumont [ 7 ] a montr é que la
fonction gé n é ratrice des nombres Ln a aussi un d é veloppement simple
en S - fraction continue :
X
Ln tn = 1 + t + 4t2 + 46t3 + 124t4 + ... = 1 −
11 · 1t
.
n≥0
1 · 3t
1−
2 · 5t
1−
2 · 7t
1−
.
.
.
2
(4)
Il s ’ av è re [ 1 7 , 18 ] qu ’ une t elle formule pour une suite de nombres
est gé n é rale - ment li é e à une formule de type Gandhi de ces nombres
.
Plus pré cis é ment ,
soit α = (a, b, c, d) une suite d ’ entiers rationnels et nP(α) (x)(n ≥ 0) une suite
de polyn ô mes d é finis par
bracelef tmid − bracelef tbt
x)
(α)
,
P (α)n0(α) (( x) == 1(x + a){(x + b)nP
−1 (x
P
(α)
+ c) − (x + d)nP
(5)
Par la m é thode de [ 1 7 , 1 8 ] , on obtient ais é ment le r é sultat suivant
:
X
(α)
nP (x)tn = 1 − 1 − 1 − 1 − b−(( b −−(b +2c)
1
n≥0
2c)t
+c)(x+
)(x+a)t
a + c) t
+
3c(x+
+b
−
d+2c)(x
c a)t
cd
2− c(x+b+
d1 1
(x+b)t
t
.
(6)
.
.
.
D ’ o ù, par comparaison de leurs fractions continues , on d é duit que
(1,2,2,1)
E2n+1 = nP
(1),
(0,1,2,0)
E2n = nP
(1),
(0,2,4,−2)
Ln = 4−n nP
(1).
(7)
Par ailleurs , les polyn ô mes n(α)
P (x) interpolent les trois autres suites
de
nombres (Rn ), (ln ) et (rn )proposé es dans [ 7 , 18 ] par les ressemblances
de leurs fractions continues à celles des nombres d ’ Euler m é dians :
(2,4,4,0)
Rn = 4−n nP
(1),
(0,1,2,−1)
ln = 2−n nP
Les premi è res valeurs
:
R0
=
1, R1
R3 = 402,
=
3, R2
(1),
(1,2,2,0)
rn = 2−n nP
(1).
(8)
de ces nombres sont
=
24,
l0 = 1, l1 = 1, l2 = 3, l3 = 21etr0 = 1, r1 = 2, r2 = 10, r3 = 98.
L ’ un des avantages d ’ une formule de type ( 5 ) est qu ’ elle ouvre une
nou - velle voie pour des q− extensions en rempla cedilla − c ant la diff é
rence ordinaire par la
q− diff é rence .
Ce qui a d ’ ailleurs é t é fructueux dans l 0é tude de
q− nombres de Genocchi [ 1 3 ] .
Le but de cet article est d 0é tudier le
q− analogue des nombres plus haut dans cette optique .
Pour tout entier positif ou n é gatif de n, on d é finit son q−
analogue [n] par
[n] := [n]q = 11 −− qqn
et
3
[x, n]q = xq n + [n].
(9)
−1 (x)}.
Pour n ≥ 0, on d é finit le q− analogue de ( 5 ) les polyn ô mes n(α)
P (x, q)
par
{
)
,
(α)
=
q
P (α)n0(α) ((x,
x, q ) = 1[x, a]q [x, b]q nP
P
q , q)
−1 ([x, c]1+ ( q −
(α)
− [x1,)x d]q nP
Pour des entiers positifs r ≥ l ≥ 0, on note
l ’ ensemble des entiers compris entre l et r par
−1 (x, q).
[12,
[l..r] = {l, l + 1, ..., r − 1, r}.
(10)
p . 73 ]
(11)
D é finition 1
Soient k et r deux entiers naturels .
Une (k, r)−
multipermu tation ou (k, r)− MP de [1..n] est un r é arrangement du mot 0k 1r 2r · · · nr
t el qu ’ entre deux lettres identiques , il n ’ y a aucune lettre plus petite .
On note
(k,r)
Sn
l ’ ensemble des (k, r)− multipermutations de [1..n].
Remarque :
Si k = 0, une (k, r)− MP se r é duit à une r−
multipermutation de [1..n], qui a é t é introduite par Gessel et Stanley
[11]
et poursuivie par Park [ 1 5 ] .
Si r = 1, une (k, r)− MP de
[1..n] s ’ appelle simplement k− permuta tion de [1..n]. On s ’ aper c − cedilla oit assez facilement que le cardinal de
(k,r)
a une
Sn
formule explicite :
| S(k,r)
|= (k + 1) · (k + 1 + r) · · · (k + 1 + r(n − 1)).
n
Il en r é sulte que
X
| S(k,r)
| xnn! = (1 − rx)−(k+1)/r ,
n
n≥0
ainsi ( voir [ 8 ] ) que
X
(k
)t2
| S(k,r)
| tn = 1 − (k + 1)t − 1 − (k + 11 +r 2r)t + 1−
n
2r(k
+ 1 + r)t2
(12)
n≥0
.
.
.
1 − bi t − λi t2
.
.
.
o ùbi = k + 1 + 2ir et λi = r(i + 1)(k + 1 + ir) pour i ≥ 0.
En vertu de la th é orie combinatoire des J− fractions
continues [ 8 ] , on
en d é duit l ’ existence d ’ une bij ection de S(k,r)
sur un certain ensemble
n
de
4
chemins de Motzkin
valu é s ( voir Section 3 ) .
Nous allons
construire une t elle bij ection Θn en gé n é ralisant la bij ection classique
de Fran c − cedilla on - Viennot Flaj olet ( voir [ 8 ] ) , qui correspond au cas o ùr = 1.
Cet article est organisé comme suit .
Dans la section 2 on calcule d ’
abord
la s é rie gé n é ratrice ordinaire de nP(α) (x, q) (n ≥ 0) et puis d é finit
des q− extensions des nombres et des polyn ô mes introduits
plus haut .
La sec - t ion 3 est consacr é e à la construction de la
bij ection Θn . En appliquant la th é orie combinatoire gé n é rale des
fractions continues , on en d é duit des interpr é tations combinatoires
de ces polyn ô mes dans la section 4 .
Enfin on t ermine l ’ article par
des li ens avec les nombres de Genocchi .
2
F−r
actions
continues
et
P
d
é
finitions
n
Posons ∆q x = 1 + (q − 1)x et P (x, t) = n≥0 n(α)
La r é currence
P (x, q)t .
0
( 1 0 ) equivaut alors à l é quation fonctionnelle suivante :
] [
b] t
q x,
q
P (x, t) = ∆q x + [∆qx, xa]q [x, d]q t + q∆ [xx ,+ a [x,
a]q [x, d]q t · P ([x, c]q , t).
Comme 1 + (q − 1)[x, c]q = qc ∆q x et
par it é ration le r é sultat suivant .
Proposition 1
On a
X
n≥0
(α)
nP (x, q)tn =
X
n≥0
q nc tn
[[x, c]q , a]q = [x, a + c]q ,
Y∆q x
Qn
ni=0 {q ic ∆q
x
i
(13)
on en d é duit
−=10 [x, a + ic]q [x,
b + ic]q
]q [x, d + ic ]q t} .
+
[x , a + ic
(14)
Comme dans [ 13 , 1 7 , 18 ] , on obtient le d é veloppement en fraction
continue de P (x, t) en appliquant une formule de Wall [20]à(13).
Th é or è me 1
La fonction gé n é ratrice
ordinaire
des
(α)
polyn ô mes nP (x, q) admet le d é veloppement en S - fraction continue
suivant :
X
(α)
d[b
d[
nP (x, q)tn = 1 − 1 − 1 − 1 − 1qq −
q
+ 2c]q2c]q t
n≥0
.
.
.
5
c][x
,a
[x,b]q
tt
[
qa
c]d x, a]q
−
d[
] +
c]
+
b−q1 d [b
b+ qt qt
a 1− +2c][x3c][x,
,a
c]
q a [ x,
−d
b+
[2c] [
t
.
Remarque :
Le th é or è me ci - dessus a é t é d é couvert à l ’ aide
de Maple .
En
effet , la formule de Wall ( voir [ 1 3 , 1 7 , 1 8 ] ) fournit une relation de r
é currence
pour les coefficients
de la S− fraction continue ,
qui permet
de
calculer les premiers coefficients rapidement à l ’ aide de Maple dans des
cas particuliers .
Pour des entiers positifs k et r, posons
(k,r)
nE
(k−1,k−1+r,2r,k−1)
(x, q) = q −(k−1)n nP
(x, q).
(15)
Il vient du th é or è me 1 que
X
(k,r)
nE
]
r][x,k −
[3r[] [x, k−[x,k 1 11q−
4 r]
−
(x, q)tn = 1 − 1 − 1 − 1[[2 r− ][x, k1
n≥0
1+3r]
+ 2r]q tt+r]q tq t
.
(16)
.
.
.
Rappelons que les nombres d ’ Euler d ’ ordre k sont d é finis par
X
(k)
2E
2n
n (t 2n)!
= (1cos t)k .
n≥0
Comparant avec le d é veloppement en S− fraction continue de la s é rie
(k)
gé n é− ratrice de 2E n ( voir [ 8 ] ) , on voit que
(k,1)
(k)
2E
n
= nE
(1, 1).
Il est
donc naturel de d é finir n(k,r)
(x, q) comme les q− polyn ô mes
E
d ’ Euler d ’ ordre k. En vertu de ( 7 ) , on d é finit les q− polyn ô mes s
é cants Sn (x, q) et les q− polyn ô mes tangents Tn (x, q) par
(1,1)
Sn (x, q) = nE
(x, q),
(2,1)
Tn (x, q) = nE
(x, q).
(17)
On a donc les formules suivantes :
X
Sn (x, q)tn
=
1 + xt + x([2] + [3]x)t2 + ...
n≥0
=
1 − 1 − 1 − 2]q t
.
.
.
6
,3]q
[2 ]]x [t
1[11
x, 1]
, qt
−
[4]
[3][x [x
t
,
(18)
X
Tn (x, q)tn
=
1 + (1 + qx)t + (1 + qx)([2] + [3](1 + qx))t3 + ...
n≥0
=
1 − 1 − 13]q t
,4]q
[1] [x
−1
[2 ], [1]q 2t ]
x,
1
, qt
−
[4]
[3][x [x
t
.
(19)
.
.
.
A leurs tours ,
en
d é finissant les
q− nombres
s é cants
E2n (q) = Sn (1, q) et les q− nombres tangents E2n+1 (q) = Tn (1, q) (n ≥
0), on obtient les q− analogues de ( 2 ) et ( 3 ) comme suit :
X
E2n (q)tn
=
1 + t + (2 + 2q + q 2 )t2 + (5 + 12q + 16q 2 + 14q 3
n≥0
4
5
6
3
+9q + 4q + q )t + ...
=
1 − 1 − 12t
[4]2
1[1]
2[2 t]2 t
3]
[
−
t
,
(20)
−1
.
.
.
X
E2n+1 (q)tn
=
1 + (1 + q)t + 2(2 + q + q 2 )(1 + q)2 t2 + (5 + 6q
n≥0
2
3
+9q + 6q + 5q + 2q + q )(1 + q)3 t3 ...
=
4
5
6
][5]
1 − 1 − 1]t
[1 1] [[2 ]] [t3] t
2
−
[4
[3][4
t
.
(21)
−1
.
.
.
Le r é sultat suivant est comparable avec ceux obtenus par Andrews ,
Foata et Gessel [ 2 , 3 , 1 0 ] pour les nombres q− secants et q− tangents
classiques .
Proposition 2
Pour n ≥ 0, on a E2n (q) ≡ 1 mod (1 + q)2 et
n
E2n+1 (q) = (1 + q) Qn (q), o ùQn (q) est un polyn
ô me
à coefficients
entiers positifs de q
telqueQn (−1) = (−1)n n!.
7
D é monstration :
Comme dans [ 9 , 14 ] , on obtient de ( 20 ) que
X
E2n (q)tn ≡ 11− t (mod(1 + q)2 ).
n≥0
D ’ o ùE2n (q) ≡ 1 mod (1 + q)2 . Posons E2n+1 (q) = (1 + q)n Qn (q).
[2n]q /(1 + q) = [n]q 2, il vient de ( 2 1 ) que
X
Qn (q)tn
=
[11 ] [[ 11 ]]
2[5]
[− 2t q22 t[3 ]
q [2]
1 − 1 − 1 −1
n≥0
3]
[
t
Comme
.
(22)
t
q
2]q
.
.
.
Donc Qn (q)
[2n + 1]− 1 = 1
est un polyn ô me de qà coefficients entiers positifs .
Comme
et [n]1 = n, en posant q = −1 dans ( 22 ) , on obtient
X
+
1t
Qn (−1)tn = 1 + 1 + 1 + 11+
1 2t11t 2t + 3t3t
.
(23)
(x, q).
(24)
n≥0
.
.
.
D0 oùQn (−1) = (−1)n n!.
Posons maintenant
(k,r)
nL
(k,k+r,2r,k−r)
(x, q) = (q k−r [2r]q )−n nP
Comme [2nr]/[2r] = [n]q 2r, on d é duit du th é or è me 1 que
X
(k,r)
nL
(x, q)tn
=
1 + [x, k]t + [x, k]([x, k] + q r [x, k + r])t2 + ...
n≥0
=
1−1−1−1−
[xr
q[2q1r ] [[2]q 2r[x,k+32r 2rx k , k]xq,k t+r]q t1
q
[x,k+2r]
− []q
[ ,
+4r] t
3r]q tqt q
.
(25)
.
.
.
8
En vertu des relations ( 7 ) et ( 8 ) , on appelle nL(k,r) (x, q) les q− polyn
ô mes d ’ Euler
m é dians gé n é raux .
En d é finissant les
deux typ es de q− nombres
d ’ Euler m é dians Ln (q) = nL(0,2) (1, q) et Rn (q) = n(2,2)
(1, q), on obtient
L
X
Ln (q)tn
1 + t + [4]t2 + (1 + 3q 2 + 4q 3 + 6q 4 + 5q 5 + 7q 6
=
n≥0
7
8
9
+6q + 5q + 3q + 3q
=
10
+ 2q
11
12
3
+ q )t + ...
]q 4[7]
1 − 1 − 1 − [5]t
11[
]t
1 2 [3]
q
t
−
q 2 [2
[2]q 4
t
,
(26)
.
.
.
X
Rn (q)tn
=
1 + [3]t + [3](q 2 + [7])t2 + [3](1 + 2q + 6q 2 + 8q 3
n≥0
4
5
6
9
+11q + 12q + 15q [3] + 12q + 11q 10
+9q 11 + 7q 12 + 4q 13 + 3q 14 + 2q 15 + q 16 )t3 + ...
=
] 4[9]
1 − 1 − 1 − [7]t q
11[
]t
3 2 [5]
q
t
−
q 2 [2
[2]q 4
t
.
(27)
.
.
.
De m ê me , en d é finissant les q− analogues des nombres ln et rn
respectivement
(1,1)
par ln (q) = n(0,1)
(1, q) et rn (q) = nL (1, q), on a
L
X
ln (q)tn
=
1 + t + [3]t2 + [3](1 + 2q + 2q 2 + q 3 + q 4 ))t3 + ...
n≥0
=
]q 2
1 − 1 − 1 − [3]
11[1
t[4]t
]t
q [2]
q[2
−
[2]q 2
t
.
.
.
X
rn (q)tn
=
1 + (1 + q)t + [2](1 + 2q + q 2 + q 3 )t2 + ...
n≥0
9
,
(28)
=
] 2
1 − 1 − 1 − [4] q
11[2
]t
q [3]
q[2
−
[2]q 2
t[5]t
.
(29)
t
.
.
.
Remarque :
On p eut exprimer les fonctions gé n é ratrices de t outes
les suites ci - dessus en s é ries de facult é en spé cialisant
( 14 ) .
Par contre le calcul de fonctions gé n é ratrices
exponentielles
des
suites ci - dessus est un probl è me
ouvert .
3
Construction
de
la bijection
Θn
Soit σ = x1 x2 · · · xrn+k une (k, r)− MP de [1..n]. Il est clair que σ peut s
crire de fa c − cedilla on unique comme suit :
σ = 0m1 w1 0m2 w2 · · · 0ml wl 0ml + 1,
0
é
(30)
o ù chaque mi est un entier strict ement positif , sauf p eut −ê tre m1
et ml+1 qui peuvent ê tre nuls , et chaque wj est un sous - mot maximal
non vide de σ form é de lettres non nulles .
Notons que si une lettre
xapparaı̂ t dans le sous - mot wj (1 ≤ j ≤ l), alors t outes les r lettres x ’ s s
’ y trouvent . Il s ’ ensuit que wj est de longueur multiple de r.
Lemme 1
Soit wj = xf xf +1 ···xf +rh−1 avec h > 0 un sous mot maximal
de σ ne contenant pas de lettre 0 et wbj = xf xf +r ...xf +r(h−1) le mot o btenu
en supprimant toutes les lettres xi dans wj telles que i 6≡ f mod r. Alors
les lettres dans wbj sont toutes distinctes .
D é monstration :
En effet , supposons que i et i0 (i < i0 ) sont
deux plus p etit s entiers t els que xf +ri = xf +ri 0. Alors les lettres entre
xf +ri et xf +ri 0 dans wj sont plus grandes que xf +ri et par suite t outes les
lettres qui leur
sont identiques s ’ y trouvent aussi .
Donc le nombre de ces lettres , i .
e ., r(i0 − i) − 1, doit ê tre multiple de r, ce qui est absurde .
Il s ’ ensuit que si l ’ on substitue dans ( 30 ) chaque wj par wbj, on
obtient la k− permutation associ é e àσ :
σ̂ = 0m1 w
b1 0m2 w
b2 · · · 0m lw
bl 0m l + 1.
10
(31)
à
Pour chaque i ∈ [1..n], on num é rote les r lettres i ’ s dans σ de gauche
droite .
Si la s− i è me i est retenue dans wbj, on pose
ε(σ, i) = s − 1,
δ(σ, i) = mj+1 + · · · + ml+1 .
(32)
D é finition 2 La m− i è me lettre xm de σ est un é l é ment saillant
inf é rieur
gauche de σ si xm 6= 0 et si t oute lettre à gauche de xm est plus grande
que xm . On note sig (σ) le nombre d 0é l é ments saillants inf é rieurs
gauches de σ. Supposons de plus que xm est dans le sous - mot wbj ( resp
.
dans wj ), on dit
que xm est un é l é ment localement saillant inf é rieur gauche de σ̂( resp
. σ) si t oute lettre à gauche de xm dans w
bj ( resp .
dans wj ) est plus
grande que
xm .
Lemme 2
Si
gauche de σ̂,
xm
est un
é
l
é
ment localement saillant inf
é
rieur
alorsε(σ, xm ) = 0.
D é monstration :
Supposons
que
xm
est
dans
wj = xf xf +1 · · · xf +rh−1
(h > 0) et m = f + ri. Si ε(σ, xf +ri ) 6= 0, on a i > 0. Soit s le plus petit entier
≥ f tel que xs = xf +ri . Il existe un unique entier h ∈ [0..i − 1] t el que f + rh <
s < f + r(h + 1). Comme les lettres distinctes xf , xf +r , ..., xf +rh sont plus
grandes que xs , toutes les lettres qui leur sont identiques
se trouvent à gauche de xs . Il y a donc au moins r(h + 1) − 1 lettres entre
xf et xs ; ce qui
contredit l ’ in é galit és < f + r(h + 1).
D é finition 3
Soit
σ̂ une
k− p ermutation
de
[1..n] et
ε = (ε1 , ..., εn ) une suite d ’ entiers de [0..r − 1]. On dit que ε est
r− compatible avec σ̂ si εi = 0 pour tout i localement saillant inf é rieur
gauche de σ̂.
Lemme 3
Etant
donn é es
une
k− permutation σ̂ de
[1..n] et
une
suite
r− compatible (ε1 , .., εn ) avec σ̂, il existe une
seule (k, r)− MP σ de [1..n] associ é e àσ̂ telle que ε(σ, i) = εi pour
tout i ∈ [1..n].
D é monstration :
On procè de par r é currence sur n. Pour
m
m
n = 1, soit σ̂ = 0 110 2 o ùm1 +m2 = k et ε1 = 0. Alors σ = 0m 11r 0m 2
est la seule
(k, r)− MP de [1..n] associ é e àσ̂. Supposons le lemme vrai à l ’ ordre
n. Soit σ̂ une k− permutation de [1..n + 1] et (ε1 , ..., εn+1 ) une suite r−
compatible . Il est é vident que (ε1 , ..., εn ) est une suite r− compatible
avec la restriction σ̂0 de σ̂ sur [1..n]. D ’ aprè s l ’ hypoth è se de r é
currence , il existe une seule (k, r)− MP σ0 de [1..n] associ é e àσ̂0 t elle
que ε(σ0 , i) = εi pour t out i ∈ [1..n]. S ’ il y a s lettres non nulles et t lettres
nulles avant la lettre n + 1 dans σ̂, on
11
construit le mot σ en ins é rant le mot (n + 1)r aprè s la (rs + t − εn+1 )− i è
me
lettre de σ0 . On voit que ε(σ, n + 1) = εn+1 et que l ’ unicit é de σ0 implique
celle de σ.
Nous aurons encore b esoin de quelques notions suppl é mentaires .
Toute k− p ermutation σ̂ p eut se d é composer en
b locs t els que
chaque bloc soit un sous - mot maximal de σ̂ constitu é soit de lettres
t outes nulles ( bloc nul ) , soit de lettres non nulles formant une suite
croissante .
La premi è re et la derni è re lettre d ’ un bloc non nul qui
ne se r é duit pas à un singleton sont appel é es resp ectivement creux
et pic de σ̂; les autres lettres d ’ un t el bloc sont appel é es doubles
mont é es de σ̂. Une lettre non nulle formant un bloc singleton est
appel é e double descente .
Comme dans [ 5 ] , on dit qu ’ une lettre i de σ̂ est embrass é e à
gauche ( resp .
à droite ) par un bloc si i est encadr é par la premi è re et la derni è re
lettre de ce bloc qui se trouve à gauche ( resp . à droite ) de i. On
note res (σ̂, i)( resp .
les (σ̂, i)) le nombre de blocs de σ̂ embrassant i et se trouvant à sa droite
( resp . à sa gauche ) .
Exemple :
Soit σ = 3466644330015551777102220. Alors σ est une ( 4 ,
3 ) - MP sur [ 1 . . 7 ] et σ̂ = 36 − 4 − 00 − 157 − 0 − 2 − 0, o ù les blocs sont
s éparé s par un trait
−. Il en r é sulte que σ̂ a deux creux
1,3;
deux pics 6 , 7 ; une double mont é e 5 ; deux doubles descentes 2 , 4 .
Les statistiques d é finies ci - dessus de σ sont consigné es dans le tableau
suivant :
εδ
(σ σ,
,i i
(σ̂
σ̂ ,
resles((
D é finition 4
)i,ii ) )
)
01020
01
43100
012
Soit σ ∈ Sn(k,r) .
44121
225 01
46101
71
020
Pour t out i ∈ [1..n], on d é finit
RES(σ, i) = r · res(σ̂, i) + ε(σ, i) + εi δ(σ, i)
o ùεi = 1 si i est un creux ou une double descente de σ̂ et εi = 0 si i est un
pic ou une double mont é e de σ̂; et
2r · RES(σ, i) + r
RES∗ (σ, i) = braceex − bracelef tmid − braceex − bracelef tbt
2r · RES(σ, i)
RES(σ, i)
12
siiestunpicimpairdeσ̂;
siiestunpicpairdeσ̂;
siin0 estpasunpicdeσ̂.
On pose
RES(σ) =
X
RES(σ, i),
RES∗ (σ) =
X
1≤i≤n
RES∗ (σ, i).
1≤i≤n
On rappelle [ 8 ] qu ’ un chemin de Motzkin est un chemin π = (p0, ..., pn)
dans le plan N × N qui va de l ’ origine p0 = (0, 0) au point
pn
=
(n, 0) sur l ’ axe horizontal en n ’ utilisant que des pas é l é
mentaires Est ( i . e . , des pas horizontaux ou paliers ) , Nord - Est et
Sud - Est .
Si l ’ on code un pas Nord - Est par N E, un pas Sud - Est
par SE et un pas horizontal Est par P, on obtient alors un mot de Motzkin
c = c1 ...cn sur l ’ alphabet {N E, SE, P } qui est le codage au sens pré c é dent
d ’ un chemin de Motzkin .
Soit h1 = 0 et hi =| c1 ...ci−1 | N E− | c1 ...ci−1 | SE pour 2 ≤ i ≤ n, o ù
| w |a repré sente le nombre d ’ occurrences de la lettre a dans le mot w.
On appelle hi le niveau du i− i è me pas ci . Un chemin de Motzkin
sans pas Est est appel é chemin de Dyck et le codage corresp ondant
est appel é mot de Dyck .
Pour la commodit é de la description de la bij ection Θn , on code dans
la suite chaque pas Est d ’ un chemin de Motzkin par EB( pour Est bleu
) ou ER( pour Est rouge ) .
D é finition 5
Une histoire d ’ Euler d ’ ordre (k, r) sur [1..n] est
un couple (c, p) o ùc = c1 c2 · · · cn est un mot de Motzkin et p = p1p2 · · · pn une
suite d ’ entiers positifs telle que
i
0 ≤ pi ≤ { rhrh
+− k1
i
sisi
cci i =NE
=
SE
ouou
EBER;.
(33)
On note n(k,r)
l ’ ensemble des histoires d ’ Euler d ’ ordre (k, r) sur [1..n].
M
Th é or è me 2
Soit σ une (k, r)− MP sur [1..n] et σ̂ sa
k− permutation as soci é e .
Pour i = 1, ..., n, on pose pi = RES (σ, i) et
NE
ci = braceex − braceex − braceex − bracelef tmid − braceex − braceex − braceex − bracelef tbt
SEEB
ER
Alors
est une histoire d ’ Euler d ’ ordre (k, r) sur
(k,r)
(k,r)
[1..n]. De plus , l ’ application Θn : Sn −nM d é finie par Θn (σ) = (c, p)
est une bijection .
13
(c, p) = (c1 ...cn , p1...pn)
si
si
i
e
si
si
i
es
D é monstration :
Montrons d ’ abord que l ’ application Θn est
bien d é finie .
1 ) Si i est un pic ou une double mont é e de σ̂, alors le niveau hi du
ci satisfait l 0é quation :
hi = res(σ̂, i) + les(σ̂, i) + 1.
(35)
Comme res (σ̂, i) ≤ hi − 1 et ε(σ, i) < r, on a donc pi = RES (σ, i) ≤ rhi − 1.
2 ) Si i est un creux ou une double descente de σ̂, alors le niveau hi du
ci satisfait l 0é quation :
hi = res(σ̂, i) + les(σ̂, i).
(36)
Si ε(σ, i) = 0, on a pi = RES (σ, i) ≤ rhi +k. Supposons que ε(σ, i) 6= 0.
Soit w = xm xm+1 · · · xm+rq−1 le sous - mot maximal de σ contenant i et
ne contenant
aucune lettre
nulle .
Il
existe
un
entier
p ∈ [1..q − 1] tel
que i = xm+rp . Le lemme 2 implique que p > 0 et qu
’ il existe un entier u < p t el que xm+ru < xm+rp . D ’ autre part , comme
i est un creux ou une double descente de σ̂, alors xm+r(p−1) > xm+rp . Soit
donc s le plus grand des entiers
u < p tel que xm+ru < xm+rp . Alors s < p − 1( ce qui implique que p > 1) et
, par suite , le bloc de σ̂ contenant xm+rs embrasse i
Alors s < p − 1 ( ce qui implique que p > 1) et ,
par suite ,
le bloc de σ̂ contenant xm+rs embrasse i et se trouve à sa gauche .
Il en
r é sulte que les (σ̂, i) 6= 0 et res (σ̂, i) ≤ res (σ̂, i)+ les (σ̂, i) − 1 = hi − 1. Il s
’ ensuit que
RES(σ, i) ≤ r(hi − 1) + ε(σ, i) + k ≤ rhi + k − 1.
(37)
Montrons ensuite que l ’ application Θn est bij ective .
Pour ce faire ,
par - tant d ’ une histoire (c, p) v é rifiant la relation ( 33 ) , nous
allons trouver de
fa c − cedilla on algorithmique une unique σ dans Sn(k,r) t elle que Θn (σ) =
(c, p).
Nous allons d ’ abord construire la k− permutation σ̂ par né tapes :
partant
du mot σ̂0 = 0k et ins é rant ià la i− i è me é tape pour i = 1, ..., n.
À l 0é tape 1 , comme ε(σ, 1) = res (σ̂, 1) = 0, on a donc δ(σ, 1) = p1 et
σ̂1 = 0k−p1 10p1 .
De plus , si c1 = N E, on ins è re une lettre ∗ juste aprè s 1 .
Supposons que l ’ on est à la i− i è me é tap e avec i ≥ 2. Soit
y1y2...yi − 1 le r é arrangement de 1, 2, ..., i − 1 selon leur disp osition .
Si
s := hi > 0, soit yj1 , yj2 , ..., yjs les lettres suivies d ’ une ∗ dans σ̂i−1. Posons
, pour simplifier ,
(1 ≤ l ≤ s).
•
zl = yjl
Notons t out d ’ abord que :
chaque fois qu ’ on ins è re un creux , on ins è re une ∗aprè s lui ; 14
on n ’ ins è re avant une ∗ qu ’ une lettre qui soit une double mont é e
de σ̂
mais on ne peut pas ins é rer une lettre juste aprè s une lettre non nulle
non suivie d ’ une ∗; • ins é rer un pic , c ’ est remplacer une ∗ par ce pic
.
1.
Si ci = ER ou SE, alors s > 0 et les relations
•
pi = r · res(σ̂, i) + ε(σ, i)
et
ε(σ, i) < r
impliquent que res (σ̂, i) et ε(σ, i) sont respectivement le quotient et le
reste de la division de pi par r. Par cons é quent ,
• si ci = ER, on ins è re la lettre i juste aprè s zs−res(σ̂, i) ;
• si ci = SE, on remplace par la lettre i l ’ ∗ qui suit zs−res(σ̂, i) .
2.
Si ci = N E, on distingue deux cas suivant que s = 0 ou s > 0.
s = 0. On a n é cessairement res (σ̂, i) = 0. De plus , ε(σ, i) = 0 d ’
aprè s
lelemme2.
•
δ(σ, i) = pi:
• Si pi = k, on place le mot i∗ en premi è re position ;
Si pi < k, on ins è re le mot i∗ juste aprè s la (k − pi)− i è me lettre
0.
•
1−
er cas :
s > 0. On distingue 4 cas :
pi < δ(σ, zs ). La lettre i ne
doit pas ê tre plac é e
avant
ni juste aprè s l ’ ∗ qui suit zs . Donc res (σ̂, i) = 0, ε(σ, i) = 0
et , par suite , δ(σ, i) = pi. On ins è re ainsi la lettre i aprè s la
(k − pi)− i è me lettre 0 , puis une ∗aprè s i.
• 2− i è me cas : δ(σ, zs ) ≤ pi < δ(σ, zs ) + r.
Dans ce cas , on doit ins é rer iaprè s l ’ ∗ qui suit zs , suivi d ’ une
∗. N é cessairement ,
res (σ̂, i) = 0, δ(σ, i) = δ(σ, zs ) et
zs ,
ε(σ, i)
=
pi − δ(σ, zs ).
• 3− i è me cas : δ(σ, zl )+r(s−l +1) ≤ pi < δ(σ, zl−1 )+r(s−l +2) (1 ≤ l ≤ s).
Dans ce cas , la lettre i doit ê tre plac é e entre zl−1 et zl . Donc , res
(σ̂, i) = s − l + 1. Posons di = pi − r(s − l + 1).
–
Si di < δ(σ, zl−1 ), alors δ(σ, i) = pi et ε(σ, i) = 0. On ins è re iaprè s
la (k − di )− i è me lettre 0 , puis une ∗aprè s i.
–
Si di ≥ δ(σ, zl−1 ), alors δ(σ, i) = δ(σ, zl−1 ) et ε(σ, i) = di − δ(σ, zl−1 ).
On ins è re iaprè s l ’ ∗ qui suit zl−1 , puis une ∗aprè s
i.
15
4− i è me cas : pi ≥ δ(σ, z1 ) + rs. La lettre i doit ê tre plac é e avant
On a res (σ̂, i) = s, ε(σ, i) = 0 et , par suite , δ(σ, i) = pi − rs. On ins è re
donc i juste aprè s la (k − pi + rs)− i è me lettre 0 , puis une ∗aprè s i(i est
plac é en premi è re position si k − pi + rs = 0).
3.
Si ci = EB, m ê me chose que le cas o ùci = N E, mais on n ’ ins è
re pas
•
z1 .
une ∗ aprè si.
la fin de la n− i è me é tape , il n ’ y a plus d ’ ∗ car le nombre de N E
est é gal au nombre de SE dans c.
Cet algorithme nous p ermet donc de d é terminer de fa c − cedilla
on unique une
k− p ermutation σ̂ et une suite r− compatible (ε1 , ..., εn ). D ’ aprè s le
lemme 3 , σ est enti è rement d é t ermin é e .
Exemple :
Consid é rons l ’ histoire (c, p) de 9(5,3)
o ù
M
À
c = (EB, N E, N E, SE, ER, N E, EB, SE, SE)
etp = (3, 0, 8, 2, 2, 4, 9, 5, 0).
Soit σ son ant é c é dent et σ̂ la k− p ermutation associ é e àσ. 1 )
Construction de σ̂.
étapei
1
´ − two − asteriskmath − asteriskmath
e − endash − endash − endash − endash
doubledescente
σ2
=
02 13 03 23 ;
16
0
3
0
0
0
0 10 2∗
3
creux
1
5
0
3
4
pic
5
doublemonte
0
2
6
creux
0
35 ∗ 6 ∗
7
doubledescente
8
pic
1
2
358706 ∗ 1024
9
pic
0
0
358706901024
σj−1 (2 ≤ j ≤ 9)
02 13 03 ;
3
2
creux
en ins é rant j 3 aprè s la (3s + t − ε(σ, j))− i è me lettre de σj−1 , o ùs(resp.t)
est le nombre de lettres non nulles ( resp .
lettres nulles )à gauche de
j dans σ̂j,
on a successivement :
=
0
2
On a σ̂ = σ̂9 = 35870690103 24.
2 ) Construction de σ.
Notons σj la restriction de σàSj(5,3) (1 ≤ j ≤ 9). Cette restriction a pour
k− p ermutation associ é e σ̂j sans ‘ ∗ ’ .
Comme σj se d é duit de
σ1
naturedei RES(σ, i
0
2
0
02 103 24
3
4
02 10
1
35 ∗
5
1
σ3
σ4
σ5
σ6
σ8
σ9
=
33 02 13 03 23 ;
33 02 13 03 243 22 ;
353 32 02 13 03 243 22 ;
=
353 32 063 013 03 243 22 ;
=
σ7
=
353 373 3063 013 03 243 22 ;
=
353 83 373 3063 013 03 243 22 ;
=
353 83 373 3063 93 013 03 243 22 .
=
C ’ est −à− dire σ = σ9 = 353 83 373 3063 93 013 03 243 22 .
4
Interpr
é
tations
combinatoires
Soit D2n l ’ ensemble des mots de Dyck de longueur 2n. Soient (ak )k ≥ 0 et
(bk )k ≥ 1 deux suites d 0é l é ments d ’ un anneau commutatif K .
A
chaque mot
c = c1 ...c2n de Dyck de longueur 2n on associe le poids :
v(w) =
i=1
Y
(
v(ci )
avec
v(ci ) =
2n
ak
si
bk
si ci = SE
ci = N E
et
hi = k;
et hi = k.
Alors la fonction gé n é ratrice de D2n a le d é veloppement en fraction
continue
suivant(voir[8]) :
1+
X X
n
n v(w)t
1−1−1
1
−1a0 ba ba3 3
n≥1 w∈D2
1t
tb
b 2t 4
a2
−
1
t
.
(38)
.
.
.
D é finition 6
Soit σ une (k, r)− MP sur [1..n] et σ̂ sa k− permutation
associ é e . On dit que σ̂ est alt ernante si elle n ’ a ni double mont é e
ni double descente .
Dans ce cas , on dit que σ est une (k, r)− MP alternante .
On notera
(k,r)
nΓ
l ’ ensemble des (k, r)− MP alt ernantes sur [1..2n].
Th é or è me 3
On a l ’ interpr é tation combinatoire suivante :
(k,r)
nE
(x, q) =
X
xsig(σ) q RES(σ) ,
σ∈
(39)
(k−1,r)
nΓ
o ù sig (σ)
et RES (σ) sont d é finis respectivement dans la d
finition 2 et dans
la d é finition 4 .
17
é
D ’ aprè s ( 38 ) , l
D é monstration :
(k,r)
nE
(x, q) =
X
Y
[rhi ]
Y
0
é
quation (16)é quivaut à
([rhi + k − 1] + xq rhi +k−1 ).
c ∈ D2n ci = SE
ci = N E
D ’ autre part ,
pour tout σ ∈ nΓ(k−1,r) , on a sig (σ) = sig (σ̂).
Soit (c, p) =
Θ2n (σ). Comme
sig (σ̂) est é gal au nombre de creux x
de σ̂ telles que
les (σ̂, x) = 0 et
δ(σ̂, x) = k − 1, la bij ection Θ2n implique que sig
(σ) est
é gal au nombre de ci = N E telles que pi = rhi−1 + k − 1. D ’ o ù(39).
En particulier , pour r = q = 1, on retrouve un r é sultat connu sur les
nombres d ’ Euler d ’ ordre k( voir [ 6 , 8 ] ) .
Corollaire 1
Le nombre de (k − 1, 1)− MP alternantes de [1..2n] est
(k)
2E
n.
Comme RES se r é duit à res sur n(0,1)
, on d é duit de ( 1 7 ) le r é sultat
Γ
suivant .
Corollaire 2
Les q− polyn ô mes s é cants et les q− polyn ô mes
tangents ont pour interpr é tations respectives :
Sn (x, q)
X
=
xsig(σ) q res(σ) ;
(40)
(0,1)
σ ∈ nΓ
Tn (x, q)
X
=
xsig(σ) q RES(σ) . (41)
(1,1)
σ ∈ nΓ
En particulier , on obtient un q− analogue d ’ un r é sultat d ’ Andr é[1] :
E2n (q) =
X
q res(σ) ,
E2n+1 (q) =
X
q RES(σ) . (42)
(0,1)
σ ∈ nΓ
(1,1)
σ ∈ nΓ
Il est à noter que pour q = 1 on retrouve la m ê me interpr é tation d ’
Andr é
pour E2n et mais une nouvelle interpr é tation pour E2n+1 . Par exemple
, on a
(0,1)
Γ1
(1,1)
(0,1)
= {12, 21}, 1Γ = {012, 120}, 2Γ = {1324, 1423, 2314, 2413, 3412}
(1,1)
2Γ = {01324, 01423, 13024, 14023, 2413, 2314, 24013, 23014, 3412, 34012
et
, 13240 ,
14230 , 24 1 30 , 23140 , 34 1 20 , 1 2034 } .
(k,r)
D é finition 7
On
note
nγ
l ’ ensemble
des
(k, r)−
MP
alternantes
σ de [1..2n] t elles que RES (σ, i) ≤ d( res (σ̂, i)+ les
(σ̂, i) + 1)/2e − 1 pour t out pic
ideσ̂.
18
Th é or è me 4
On a
(k,r)
nL
X
(x, q) =
∗
xsig(σ) q RES
(σ)
.
σ ∈ nγ(k,r)
En particulier ,
ln (q)
Ln (q)
X
=
X
=
∗
q RES
∗
q RES
(σ)
(σ)
,
,
rn (q) =
Rn (q) =
X
∗
q RES
σ∈
X
nγ(0,1)
σ∈
nγ(0,2)
(σ)
,
(43)
σ ∈ nγ(1,1)
∗
q RES
(σ)
. (44)
σ ∈ nγ(2,2)
D é monstration :
La d é monstration est analogue à celle du th é
or è me 3 . La bij ection Θ2n implique que
X
∗
xsig(σ) q RES
(σ)
=
X
σ ∈ n(k,r)
γ
Y
[(hi + 1)/2]q 2r
Y
q r [hi /2]q 2r
c ∈ D2n ici = SEpair i ci = SEimpair
Y
([rhi + k] + xq rhi +k ).
ci = N E
Comme [2nr] = [2r][n]q 2r, l 0é quation ( 25 ) montre que cette derni è re
somme
est aussi é gale àn(k,r)
(x, q).
L
En prenant q = 1, on obtient les interpr é tations suivantes pour les nom bres corresp ondants .
• Ln repré sente le nombre de 2 - MP alt ernantes σ de
[1..2n] t elles que
2 RES (σ, i) ≤ res (σ̂, i)+ les (σ̂, i) pour t out pic i de σ̂;
• Rn repré sente le nombre de
( 2 , 2 ) - MP alt ernantes σ de [1..2n] t elles
que 2 RES (σ, i) ≤ res (σ̂, i)+ les (σ̂, i) pour tout pic i de σ̂;
• ln repré sente le nombre de permutations alternantes σ de [1..2n] t elles
que res (σ, i) ≤ les (σ, i) pour t out pic i de σ;
• rn repré sente le nombre de ( 1 , 1 ) - MP alt ernantes σ de [1..2n] t elles que
res (σ, i) ≤ les (σ, i) pour t out pic i de σ.
Par exemple , pour n = 2 on a l2 = #{1423, 2413, 3412} = 3, r2 = #{12034,
01423, 14023, 14230, 2413, 24013, 24130, 3412, 34012, 34120} = 10, L2 =
#{11442233, 12442133, 22441133, 33441122} = 4 et R2 = #{0112203344, 1 1 22003344
, 1 1 22033440 , 33441 1 22 , 334401 1 22 , 33441 1 220 , 3344001 1 22 ,
334401 1 220 , 33441 1 2200 , 0 1 1442233 , 0 1 2442133 , 0 1 14402233 , 0
1 14422330 , 0 1 2442 1330 , 1 144002233 , 1 144022330 , 1 144223300 , 1
244213300 , 22441 1 33 ,
224401133, 224411330, 2244001133, 2244011330, 2244113300} = 24.
19
5
Liens
avec
les
nombres
de
Genocchi
On rappelle que les nombres de Genocchi sont d é finis par
X
G2n (t2n 2n)! = t tan(t/2).
n≥1
Posons
(0,r,r,0)
G(r)
n (x, q) = nP
(x, q).
(45)
Il vient du Th é or è me 1 que
X
n
G(r)
n (x, q)t
=
1 + [r]xt + [r]2 x(x + [x, r])t2 + ...
n≥0
[2
=
r][1[
1 − 1 − 1 − 1 − 1 −1
r][x
q,r t]
r] [x x,r]t
[2[3r−
[3r][x
,3r]q
r][x,2 2r]q tq tr,
]
[x
]q
t
t
.
(46)
.
.
.
On en d é duit alors de la formule de S - fraction continue pour les
nombres de Genocchi [ 19 ] que G(1)
n (1, 1) = G2n+2 .
D ’ autre part , par ( 3 ) on voit que
G(2)
n (1, 1) = E2n+1 .
Rappelons que , si k = 0, une (k, r)− MP se r é duit à
une r− MP . Soit Γrn l ’ ensemble des r− MP alt ernantes σ de [1..2n]
telles que
• res (σ, i) ≤ les (σ, i) pour t out pic i de σ;
• res (σ, i) ≤ les (σ, i) + (−1)χ(ε(σ,i)6=0) pour tout creux i de σ.
D é finition 8
Une histoire de Genocchi d ’ ordre r sur [1..2n] est un
couple (c, p) o ù c est un mot de Dyck de longueur 2n
et p = p1p2···p2n une suite de 2n entiers telle que 0 ≤ pi ≤ rdhi−1 /2e
si ci est un N E de c et
(r)
0 ≤ pi ≤ rdhi−1 /2e − 1 si ci est un SE de c. On note nH l ’ ensemble des
histoires de Genocchi d ’ ordre r sur [1..2n].
20
Remarque :
or è me 5
é
Pour r = 1, on retrouve la m ê me notion de [ 16 ] . Th
On a l ’ interpr é tation combinatoire suivante :
G(r)
n (x, q) =
X
xEQUI(σ̂) q RES(σ) .
σ∈
o
ù
(σ̂, i)
EQUI (σ̂) est le nombre de creux
i
de
σ̂
(47)
Γrn
tels que res (σ̂, i)
les
ou
=
res(σ̂, i) = les(σ̂, i) + 1.
D é monstration : La restriction de Θ2n sur Γrn envoie bij ectivement
Γrn sur
l ’ ensemble n(r)
On note que EQUI (σ̂) correspond au nombre de N E
H .
dans c t elles que pi = rdhi /2e. On a donc l ’ identit é suivante :
X
xEQUI(σ̂) q RES(σ)
=
X
Y
([rdhi−1 /2e] + xq rdhi−1 /2e )
σ ∈ Γrn
×
c ∈ D2n ci = N E
Y
[rdhi−1 /2e],
ci = SE
ce qui est exactement la formule obtenue pour G(r)
n (x, q) en appliquant ( 38
)
à(46).
Il en r é sulte que G2n+2 est é gal au nombre de p ermutations alt
ernantes
σ de [1..2n] t elles que
• res (σ, i) ≤ les (σ, i) pour t out pic i de σ;
• res (σ, i) ≤ les (σ, i) + 1 pour tout creux i de σ. Par exemple , on a
G6 = #{1423, 2413, 3412} = 3.
Remerciements Nous remercions les deux arbitres anonymes pour leurs
lectures attentives , qui ont permis d ’ am é liorer la pré sentation de cet
article .
R
é f é rences
[ 1 ] Andr é( D . ) . Sur le s permutations altern é es , J . de Math . Pures
et Appliqu é es ,
7 ( 1 88 1 ) , S é ries 3 , 1 67 - 1 84 .
[ 2 ] Andrews ( G . ) et Foata ( D . ) . Congruences for the q− s ecant
numbers , Euro pean J . Combin . , 1 ( 1 980 ) , no . 4 , 283 - 287 .
[ 3 ] Andrews ( G . ) et Gessel ( I . ) . Divisibility properties of th e q−
tangent num be rs , Proc . Amer . Math . Soc . , 68 ( 1 978 ) , no . 3 , 380 - 384 .
21
[ 4 ] Arnold ( V . I . ) . Bernoulli - Euler updown numbers associated with
function
s ingularities , their combinatorics and arithmetics , Duke Math . J . , 63 ( 1 974
) , 537 - 555 .
[ 5 ] Clarke
( R . ) , Steingrimsson
( E . ) et Zeng
(J.).
New
Euler - Mahonian
Statistics on Permutations and Words , Adv . Appl . Math . , 18 ( 1 997 ) , 237 270 .
[ 6 ] Carlitz ( L . ) et Scoville ( R . ) . Tangent numbers and operators ,
Duke . Math .
J . , 39 ( 1 972 ) , 4 1 3 - 429 .
[ 7 ] Dumont ( D . ) . Further triangles of Seidel - Arnold type and continues
fractions
related to Euler and Springer numbers , Adv . Appl . Math . , 16 ( 1 995 ) , 275 296 .
[ 8 ] Flajolet ( P . ) . Combinatorial aspects of continued fra ctio ns , Disc .
Math . , 32
( 1 980 ) , 1 25 - 1 6 1 .
[ 9 ] Flajolet ( P . ) . On congruences and continued fractions for s ome
classical
combinatorial quantities , Disc . Math . , 4 1 ( 1 982 ) , 1 45 - 1 53 .
[ 1 0 ] Foata ( D . ) . Further divisibility properties of the q− tangent numbers ,
Proc .
Amer . Math . Soc . , 8 1 ( 1 98 1 ) , no . 1 , 1 43 - 148 .
[ 1 1 ] Gessel ( I . ) et Stanley ( R . ) . Stirling polynomials , J . Combin . Theory
, Ser .
A 24 ( 1 978 ) , 24 - 33 .
[ 1 2 ] Graham ( R . ) , Knuth ( D . ) et Patashnik ( O . ) .
Concrete
mathematics , sec - ond edition , Addison - Wesley , 1 994 .
[ 1 3 ] Han ( G . N . ) et Zeng ( J .). q− Polyn ô mes de Gandhi e t s tatistique
de Denert , to appear in Disc . Math . , 1 999 .
[ 14 ] Han ( G . N . ) et Zeng ( J . ) . On a q− sequence that generalizes the median
Geno - cchi numbers , to appear in Ann . Sci . Math . Qu é bec , 1 999
[ 1 5 ] Park ( S . ) . The r− multipermutations , J . Combin . Theory , Ser . A
67 ( 1 994 ) , 44 - 7 1 .
[ 1 6 ] Randrianarivony ( A . ) . Fractions continues , q− nombres de Catalan
e t q−
polyn ô mes de Genocchi , European J . Combin . , 18 ( 1 997 ) , 75 - 92 .
[ 1 7 ] Randrianarivony ( A . ) et Zeng ( J . ) . Sur une extension des nombres
d ’ Euler e t le s records des permutations
alternantes , J . Combin . Theory
Ser . A , 68 ( 1 994 ) , 86 - 99 .
[ 1 8 ] Randrianarivony ( A . ) et Zeng ( J . ) . Une famille de polyn ô mes qui
interpole
p lusieurs suites classiqu es de nombres , Adv . Appl . Math . , 1 7 ( 1 996 ) , 1 - 26 .
[ 1 9 ] Viennot ( G . ) .
Une th é o rie combinatoire des nombres d ’ Euler e t
Genocchi , S é minaire de Th é orie des nombres de l ’ Universit é Bordeaux , Expos é
no . 1 1 , 1 980 – 1 981 , Publications de l ’ Universit é Bordeaux I .
[ 20 ] Wall ( H . S . ) . Continued fra ctio ns and totally monotone s equences ,
Trans .
Amer . Math . Soc . 48 ( 1 940 ) , 1 65 - 1 84 .
22