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CHAPITRE III : FORCES ET MOMENTS
3.0. INTRODUCTION
Chap II : Comment décrire un mouvement ⇒ cinématique
Chap III : Etude des causes du mouvement ⇒ dynamique
Influence des forces sur les mouvements
Théorie de Newton
20ème siècle :
Objets microscopiques : mécanique quantique
Objets très rapides : théorie relativiste
3.1. NOTION DE FORCE
Pousser un objet pendant un temps t fixé :
r
F
r
F
r
v
m
r r
v' < v
Accélération
m’ > m
Relation étroite entre :
Force, masse et changement d’état de mouvement (accélération)
•
•
•
r
r r
Ici, v // F , F est un vecteur [direction, sens, intensité
(module)]
r
L’objet résiste à l’action de F : il présente une inertie. La masse m
de l’objet mesure son inertie.
2
Remarque : forces de friction (frottement)
r
F
r
Ff
r
N
vitesse
r
mg
r
La force de frottement Ff s’oppose au mouvement et dépend de la
réaction normale exercée par le corps 1 sur le corps 2 .
r
r
Ff = N f
f est le coefficient de frottement
Acier - Acier dur
Fonte - Fonte
Téflon –Téflon
f
0.78
1.10
0.04
Dans l’exemple en début de section, les forces de frottement ont été
négligées.
3.2. LOIS DE NEWTON
1ère loi : loi d’inertie
Si la force s’exerçant sur un objet est nulle (cad si la somme
de toutes les forces agissant sur cet objet est nulle),
l’accélération de cet objet est nulle également. L’objet se
déplace à vitesse constante. Il garde son état de mouvement.
r
r
r
Fres = 0 ⇒ a = 0 et v = const
(en module et direction)
3
ex : un palet sur une patinoire lisse.
2ème loi
Un mouvement accéléré d’un objet ne peut être produit que
par application d’une force résultante non nulle sur cet
r
objet. La direction de l’accélération a obtenue est celle de
r
r
r
la force Fres . De plus a est proportionnel à Fres .
r
r
Fres = m a
m est la masse de l’objet.
Remarques :
•
La force et l’accélération sont des vecteurs !
•
La force est la force totale agissant sur l’objet ( si
l’objet 1 exerce des forces sur d’autres objets 2, cela
est sans conséquence pour cet objet 1).
r
F1
r
r r
Fres = F1 + F2
r
F2
2 forces égales et opposées agissant sur un même objet au
repos laissent l’objet au
r
r repos.
r
F1
F2
Fres = 0
4
3ème loi : loi d’action-réaction
r
Si un objet 1 exerce une force F21 sur un objet 2, l’objet 2
r
exerce une force F12 égale et opposée sur l’objet 1 .
r
r
F12 = − F21
objet exerçant la force
Objet sur lequel s’exerce la force
B
r
Fg
r
- Fg
Terre T
r
Fg : force gravifique exercée par la terre T sur le bloc B.
r
- Fg : réaction , force gravifique exercée par le bloc B sur
la Terre T.
Pourquoi B reste-t-il au repos ?
r
N
Surface S
r
r
Fg = W
r
r r
r
Attention : N n’est pas la réaction à W . N et W s’exercent
sur le MÊME objet.
5
Existence d’une force supplémentaire exercée par la
surface S sur B . B est donc soumis à son propre poids
r
r
( W ≡ Fg ) et à la réaction normale exercée par la surface S
r
r r
r r
r
r
( N = − W ) de sorte que Fres = N + W = − W + W = 0 ! Pas de
force résultante sur B.
r
Exemple du rôle de N : relèvement des virages pour
produire une force centripète.
Une paire action-réaction comprend :
o une force exercée sur un objet : influence le mvt de
l’objet ;
o une force exercée par l’objet : pas d’influence sur son
mvt
Exemple
r
F
m1
m2
r
F2
r
− F2
Pas de
friction
r
Une force F est appliquée à m1. Sera-t-elle transmise à
m2 ?
r
3ème loi : m1 exerce une force F2 sur m2 et m2 exerce une
r
force − F2 sur m1 .
r
F r
2ème loi :
= a : accélération des 2 blocs de masse totale
M
M = m1 + m2
6
r
r r
r
r
F
o ⇒ F2 = m 2a = m 2
: force exercée sur m2. Donc : F2 < F
M
r
r r
r
r
F
o ⇒ F1 = m1a = m1
: force exercée sur m1 . Donc F1 < F
M
r
r r r
r
F
De plus : F1 = F − F2 = F − m 2
M
3.3. DIMENSIONS D’UNE FORCE
r
r
F = m a ⇒ [F] = [m] [a] =M L T-2
r
Unité de F = kg . m s-2 = newton ( N)
Une masse de 1 kg subissant une accélération de 1 m/s2 est
soumise à une force de 1 newton.
3.4. MASSE ET POIDS
Masse d’un objet : PROPRIETE INTRINSEQUE de l’objet.
Dépend de sa nature mais pas de sa localisation
(mLune = mTerre)
Poids d’un objet : intensité de la force de gravitation
agissant sur l’objet à la surface de la Terre
r
r
W = m g = Fg
où g = g
Ce n’est pas une propriété intrinsèque : WLune ≠ WTerre
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Exemple d’un ascenseur
au repos :
r
r
Fg = m g
r
r
T : tension dans la corde « ≡ réaction à Fg »:
0 r
r
T = − Fg
r r 0 r
F = T + Fg = 0
0
m est donc bien au repos
en mouvement (vers le haut)
r
r
Fg = m g ,
r
r
r
T : tension dans la corde : T > Fg
r r
r
r
F = T + Fg = m a
⇒ T - Fg = m a
⇒ T = m (a + g) > m g = T0
Remarque : dire que le poids de m a augmenté est faux !!!!
Par convention : le poids de m est toujours mg ( avec m au
repos à la surface de la Terre). C’est le poids apparent qui
est supérieur à celui du cas au repos.
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Accélération nulle : la balance indique le poids vrai mg
Accélération vers le haut : la balance mesure le poids
apparent, supérieur au poids vrai
3.5. APPLICATIONS DES LOIS DE NEWTON
Plan incliné, Machine d’Atwood et répétitions
3.6. QUANTITE DE MOUVEMENT
•
Force et variation de la quantité de mouvement (qmvt)
Dynamique : force, masse, accélération +
r
r
quantité de mouvement : p = m v
Dimensions : [p] = [m] [v] = M LT-1
Unités : kg.m.s-1
Autre nom : moment linéaire
Ex d’une fusée : sa masse varie (décroît) au cours du
temps .
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La 2ème loi de Newton devient :
r
r ∆pr
r
∆p
F=
et F = lim
∆t
∆t → 0 ∆t
r dpr
r
r
F=
plus général que F = m a
dt
r
r
dv dm r
⇒ F=m
+
v
dt dt
r
r
r
dv
Si m est constant : F = m
= ma
dt
Exemple : un nageur de 100 kg tombe dans une piscine d’une
hauteur de 5 m. Il faut 0.4 seconde pour que l’eau réduise sa
vitesse à zéro. Quelle est la force moyenne exercée par l’eau ?
•
Conservation de la qmvt
r
F
Une particule ou un objet
m
r
v
Nouvel énoncé de la loi d’inertie (1ère loi) : une particule
libre se déplace toujours avec une qmvt constante.
Deux particules ou deux objets
m1
r
v1
r
v2
m2
La quantité de mouvement totale est :
r
r r
r
r
p = m1v1 + m2v2 = p1 + p2
10
r
r
dp
Système non isolé : Fext =
dt
Système isolé (pas de force extérieure, mais 1 peut exercer une force
sur 2 et donc 2 une force sur 1 ) :
r
dp
= 0 ou
dt
r r r
p = p1 + p2 = cons tan te
Principe de conservation de la quantité de mvt :
Si aucune force n’agit sur un système (formé de 1, 2, 3… particules
ou objets), la quantité de mouvement totale est constante dans le
temps :
r r r
r
p = p1 + p2 + p3 + ... = cons tan te
r r
Attention : p1 , p2 … peuvent varier individuellement.
Exemple :
1.
Ressort comprimé, repos
m1
m2
r
Système isolé : Fext = 0
r
r
r
r
r
v1 = 0, v2 = 0 ; p = m1v1 + m2v2 = 0
On néglige le ressort !
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2.
Libération du ressort
r
v1
m1
m2
r
v2
r
r
r
r
Système isolé : Fext = 0 ⇒ p = m1v1 '+ m2v2 ' = 0
r
r
r
r
⇒ m1v1 ' = − m2v2 ' ⇒ v1 ' et v2 ' sont opposées.
r
r
Si m1 = m2 , v1 ' = − v2 '.
Exemples :
Une carabine de 4.5 kg tire une balle de 11g avec une vitesse de 800
m/s. Quelle est la vitesse de recul du fusil ?
Un canon sur rails dont la masse est de 70 000 kg tire un missile de
500 kg à un angle de 45° et avec une vitesse de 200 m/s. Quelle est la
vitesse de recul du canon ?
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3.7. MOMENT de FORCE ET MOMENT CINETIQUE
•
Un moment peut produire une rotation
Soit un corps C pouvant pivoter autour d’un
point fixe O.
r
Soit A ler point d’application d’une force F appliquée
à C. Si
r
la force F n’est pas dans la direction OA, F fera tourner C
autour de O.
r
L’efficacité de F croît avec la distance b = OB ≡ bras de
levier
θ
B
r
r
b
O
C
r
F
A
b= r sin θ
Pour ouvrir et fermer une porte, il faut ouvrir ou tirer le
plus loin possible des gonds. De plus, il est plus efficace de
le faire perpendiculairement à la porte.
Moment de la force par rapport au point O (= force x bras
de levier) a pour module :
T = F b = F r sin θ
Il s’agit du vecteur :
ur r r
T =r x F
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r
ur
r
T est perpendiculaire au plan de r et F .
r
F
r
r
b
ur
T rentre dans le dessin
Remarques :
Le moment reste le même si on déplace la force sur sa
droite d’action, car b ne varie pas.
•
θ1
B
r
r1
b
r
F
θ2
r
r2
O
C
rOn peut définir un moment sans avoir un pivot O. La force
F appliquée à la particule libre de masse m donne un
moment par rapport à un point O arbitraire.
•
m
ur r r
T =r x F
r
r
O
r
F
14
•
Conservation du moment angulaire
r
Rappel : si la force résultante F agissant sur un corps est
r
nulle, la quantité de mouvement p de ce corps reste
constante.
De même : si le moment de force résultant agissant sur un
corps est nul, il y a conservation du MOMENT CINETIQUE.
Qu’est-ce que le moment cinétique ?
r
Le moment cinétique L d’une particule de masse m, de
r
vitesse v , par rapport à un point O est défini par :
r r r
r r
L=r x p = m r x v
r
r
r
L est perpendiculaire au plan de r et p .
r
L
r
r
trajectoire
m
L = mrv sin θ = rp sin θ
Si θ = π/2 , L = mrv
r r
Si θ = 0 ( r // v ), L = 0
r
v
θ
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Loi de conservation :
r
r
r
r r r ur
dL dr r r dp r
=
x p +r x
= v x mv + r x F = T
dt dt
dt
r
d L ur
= T ****
dt
r
ur
Les 2 moments L et T sont calculés par rapport au même
point.
r
L
r
r
trajectoire
m
r
F
r
v
θ
ur
Un moment T appliqué à m modifie son moment cinétique.
r
r
dp r
Analogue à :
= F (seconde loi de Newton) ⇒ une force F
dt
appliquée à m modifie sa quantité de mouvement.
**** est aussi appelée « forme rotationnelle de la seconde
loi de Newton »
r
p mesure la tendance d’une particule à maintenir un
mouvement de translation (celui-ci ne change que si une
force agit).
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r
L mesure la tendance d’une particule à maintenir un
mouvement de rotation autour d’une origine 0 (celui-ci ne
change que si un moment de force agit).
•
•
r
r
Si F = 0 , la quantité de mouvement p reste constante
r
ur
Si T = 0 le moment angulaire L reste constant
Expérience de la chaise tournante
ur
T =0?
a) force nulle
b) force centrale : force dont la direction passe
toujours par un point fixe 0 appelé centre de force
Exemples
1. m décrit un mouvement circulaire de centre O et de
r
rayon r :
L
r
ω
r
r
r
v
π/2
uur
r ur
r ⊥ v , sin θ = 1 ; L = m r v
Or v = ω r où ω est la vitesse angulaire
uur
r
2
2 ur
L = m r ω et L = m r ω
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2. Gravitation
r
F
r
L
r
v
3.Attraction coulombienne
e
r
F
r
L
p
r
v
4. Comparez l’ordre de grandeur du moment angulaire de la
Terre autour du Soleil et celui de l’électron autour du
proton de l’atome H. Comparez également leur vitesse
angulaire moyenne.
LT
10 +40 m2 kg s −1 (Mécanique classique, Newton).
Le = 1.05 10 −34 m2 kg s−1 : une des constantes les plus
importantes de la physique (Mécanique quantique).
Le = h = h / 2π
h est la constante de Planck. Le moment cinétique des
particules atomiques élémentaires s’expriment en unité h .
3.8. CENTRE DE MASSE
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Définition du centre de masse
Tout ce qui précède concerne le mouvement de particules.
Que se passe-t-il pour un objet non ponctuel ?
Le centre de masse est le point de l’objet qui se déplace
toujours en accord avec les lois de conservation
précédente.
Dans le cas d’objets non symétriques, un calcul est
nécessaire pour déterminer le centre de masse. Ce point
peut être considéré comme celui où toute la masse du
système est concentrée pour calculer un mouvement de
translation.
Lois de la dynamique pour le centre de masse
1) En l’absence de force extérieure, le C.M. se déplace à
vitesse constante
2) Si une force est appliquée au système entier, le C.M.
r r
subit une accélération donnée par a = F / M , où M est la
masse totale du système.