Angles - La tache

Sommaire
1 Rappels et définitions.
2
2 Angles adjacents.
4
3 Angles supplémentaires et complémentaires.
6
4 Angles opposés par le sommet.
4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propriété des angles opposés par le sommet. . . . . . . . . . . . .
8
8
9
5 Angles alternes-internes.
10
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Propriétés des angles alternes-internes. . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Angles correspondants.
12
6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Propriétés des angles correspondants. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Chapitre 1
Rappels et définitions.
U n
an gle
e
st
form é
p ar
un
sommet
et
deux côtés
.
Figure 1.1 – Angle
Dans cet exemple, le sommet de cet angle est A et ses côtés sont les segments
[AB] et [AC]
Remarques
– Cet angle est marqué (c’est le petit arc de cercle vert)
– Les deux côtés de cet angle sont des segments.
– La mesure de cet angle est plus grande que 90°, c’est un angle obtus.
\ ou CAB
\ (le sommet est toujours au milieu de
– Cet angle s’appelle BAC
la notation).
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Cours sur les angles - classe de cinquième
Voici un autre exemple d’angle.
Figure 1.2 – Angle
Le sommet de cet angle est A et ses côtés sont les demi-droites [Aa) et [Ab)
Remarques
– Cet angle est marqué (c’est le double petit arc de cercle orange)
– Les deux côtés de cet angle sont des demi-droites (a et b ne sont pas des
points mais le nom des 2 demi-droites).
– La mesure de cet angle est plus petite que 90°, c’est un angle aigu.
d ou aAb
d (le sommet est toujours au milieu de la
– Cet angle s’appelle bAa
notation).
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Chapitre 2
Angles adjacents.
Deux angles sont adjacents si ils ont un sommet en commun et si ils sont
de part et d’autre d’un côté en commun.
Figure 2.1 – Angles adjacents
\ ou CAD
\ sont adjacents,
Dans cette figure, les angles BAC
car ils ont le sommet A en commun et ils sont de part et d’autre du côté [AC].
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Cours sur les angles - classe de cinquième
Certaines figures sont trompeuses.
Figure 2.2 – Angles non adjacents
\ ou CAD
\ ne sont pas adjacents,
Dans cette figure, les angles BAD
car ils ne sont pas de part et d’autre du côté commun [AD]
Figure 2.3 – Angles non adjacents
\ ou EAD
\ ne sont pas adjacents,
Dans cette figure, les angles BAC
car il n’ont en commun que le sommet A.
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Chapitre 3
Angles supplémentaires et
complémentaires.
S
i
m e
sur e
d eux
fait
an gle
s
180
s ont
supplémentaires
alors
la
s omm e
d e
leur
d egr é
s.
Figure 3.1 – Angles supplémentaires
Dans cette figure, les points A, D et B sont alignés.
\ ou CDB
\ sont supplémentaires, la somme de leur mesure fait
Les angles ADC
180°.
\ + CDB
\ = 180)
(ADC
Remarque, si on connaît la mesure d’un de ces deux angles, on peut calculer la mesure de l’autre.
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Cours sur les angles - classe de cinquième
S
i
m e
sur e
d eux
fait
90
an gle
s
s ont
complémentaires
alors
la
s omm e
d e
leur
d egr é
s.
Figure 3.2 – Angles complémentaires
\ ou CDB
\ sont complémentaires, la somme
Dans cette figure, les angles ADC
de leur mesure fait 90°.
\ + DBC
\ = 90)
(ABD
Figure 3.3 – Angles complémentaires
b et C
b sont complémentaires, la
Dans ce triangle rectangle en B, les angles A
somme de leur mesure fait 90°.
b
Et oui, la somme des angles d’un triangle fait 180°. Dans ce triangle l’angle B
mesure 90°.
b et C.
b
Il reste donc 90°pour la somme des deux autres angles A
Remarque, le fait de savoir que deux angles sont supplémentaires ou complémentaires permet d’en calculer un si on connaît déjà la mesure de l’autre.
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Chapitre 4
Angles opposés par le
sommet.
4.1
Définition.
S
i
s omm et
d eux
et
il
s
an gle
s
ont
s ont
leurs
opp os é
s
côté
s
p ar
d ans
le
le
s omm et,
m êm e
alors
il
s
ont
le
m êm e
pr olon gem ent.
Figure 4.1 – Angles opposés par le sommet
\ et DAE
\ sont opposés par le sommet A.
Les angles BAC
Ils ont le même sommet A.
Si on prolonge le côté [AB) on trouve le côté [AE).
Si on prolonge le côté [AC) on trouve le côté [AD).
\ et CAE
[ sont aussi opposés par le sommet A
Remarque : Les angles BAD
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Cours sur les angles - classe de cinquième
“Angles opposés“ c’est différent de “Angles opposés par
le sommet”.
Figure 4.2 – Angles opposés
\ et ADC
\ sont aussi opposés. (ils n’ont pas le même sommet, ils
Les angles ABC
ne peuvent pas être opposés par le sommet)
4.2
Propriété des angles opposés par le sommet.
S
i
m êm e
d eux
an gle
s
s ont
opp os é
s
p ar
le
s omm et,
alors
il
s
ont
la
m e
sur e.
Figure 4.3 – Angles opposés par le sommet
\ et DAE
\ sont opposés par le sommet A.
Les angles BAC
\
\
Donc BAC = DAE
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Chapitre 5
Angles alternes-internes.
5.1
Définition.
Les angles alternes-internes sont portés par deux droites et une sécante.
[ et EF
\
Les angles AEF
D sont alternes-internes.
Figure 5.1 – Angles alternes-internes
Ils sont portés par les droites (AB) et (CD) et la sécante (EF )
Ils sont de part et d’autre de la sécante (EF ) et à l’intérieur de la zone limitée
par les droites (AB) et (CD) (zone en orange).
Bien sûr sur cette figure on peut trouver deux autres angles alternes-internes.
\ et CF
\
Les angles BEF
E sont alternes-internes.
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Cours sur les angles - classe de cinquième
5.2
Propriétés des angles alternes-internes.
Voici deux propriétés qui sont réciproques 1 :
S
i
le
s
p orté
s
an gle
s
p ar
d e
s
altern e
s-intern e
s
dr oite
s
ont
la
m êm e
m e
sur e
alors
il
s
s ont
p ar allèle
s.
Le but de cette propriété est de prouver que des droites sont parallèles.
S
i
le
s
intern e
s
dr oite
s
ont
la
qui
le
s
m êm e
p ortent
s ont
p ar allèle
s,
alors
le
s
an gle
s
altern e
s-
m e
sur e.
Le but de cette propriété est de prouver que des angles ont la même
mesure.
Exemple d’utilisation de ces propriétés. Soit la figure suivante, dans laquelle
les deux angles marqués ont la même mesure.
Prouver que (AB)//(CD).
Figure 5.2 – Démonstration
\ et EF
\
On sait que BEF
C sont alternes-internes, et qu’ils ont la même mesure.
Or si les angles alternes-internes ont la même mesure alors ils sont portés par
des droites parallèles.
Donc (AB)//(CD)
1. Réciproque : Si on remplace la cause d’une propriété par sa conséquence, et la conséquence par la cause, on peut obtenir une nouvelle propriété appelée réciproque.
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Chapitre 6
Angles correspondants.
6.1
Définition
Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l’un est à l’intérieur de la zone délimitée par les deux droites, et l’autre est à l’extérieur de
cette zone.
Figure 6.1 – Démonstration
[ et CF
[
Dans cette figure, les angles AEF
L sont correspondants.
Ils sont portés par les droites (AB) et (CD) et la sécante (EF )
[ est à l’intérieur de la zone
Ils sont du même côté de la sécante (EF ), AEF
[
limitée par les droites (AB) et (CD) (zone en coloriée) et CF
L est à l’extérieur
de cette zone.
Bien sûr sur cette figure on peut trouver deux autres angles correspondants.
\ et EF
\
Les angles KEA
C sont correspondants.
\ et EF
\
Les angles KEB
D sont correspondants.
\
[
Les angles BEF et DF L sont correspondants.
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Cours sur les angles - classe de cinquième
6.2
Propriétés des angles correspondants.
Voici deux propriétés qui sont réciproques :
S
i
le
s
p orté
s
an gle
s
p ar
d e
s
corr e
sp on d ants
dr oite
s
ont
la
m êm e
m e
sur e
alors
il
s
s ont
p ar allèle
s.
Le but de cette propriété est de prouver que des droites sont parallèles.
S
i
le
s
dr oite
s
sp on d ant
s
ont
qui
la
le
s
p ortent
m êm e
s ont
p ar allèle
s,
alors
le
s
an gle
s
corr e-
m e
sur e.
Le but de cette propriété est de prouver que des angles ont la même
mesure.
Exemple d’utilisation de ces propriétés. Soit la figure suivante, dans laquelle
(AB)//(CD).
[ = EF
\
Démontrer que les angles ont la même GEA
C.
Figure 6.2 – Démonstration
[ et EF
\
On sait que (AB)//(CD) et que GEA
C sont des angles correspondants.
Or si les droites qui les portent sont parallèles, alors les angles correspondants
ont la même mesure.
[ = EF
\
Donc GEA
C
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