MP 2016/2017 Physique statistique 1 9) Le barrage

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Physique statistique
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9) Le barrage représenté ci-contre est assimilé à un
parallélépipède homogène de hauteur h et d'épaisseur
e constitué d'un matériau de masse volumique µd, µe
désignant la masse volumique de l'eau. Le long de la
face horizontale OA par laquelle le barrage repose sur
le sol, on suppose que la densité superficielle de la
distribution des actions de contact exercées par le sol
sur le barrage a une composante verticale de la forme :
dFz
= E. u z
avec E = A + B.x
dxdy
1) En exprimant les conditions d'équilibre du barrage, donner l'expression des constantes A et B en fonction des
données.
2) En quels points de la base du barrage E est-il minimum ? Pour quelles raisons est-il souhaitable que E soit
partout positif ?
3) En déduire de ce qui précède la valeur minimale de l'épaisseur qu'il convient de donner au mur du barrage.
10)
Dans la troposphère, région de l'atmosphère terrestre d'altitude inférieure à 11 km, la température T(z) varie
avec l'altitude z comptée à partir du sol. On admettra que :
To
* 0 < z < z1 = 2 km
T ( z) =
1 + az
T ( z) = T1 (1 − bz)
* z1 < z < z2 = 9 km
* z2 < z < z3 = 11 km
T ( z) = T2 (1 − cz)
où To , T1, T2 , a, b et c sont des constantes positives. L'air est considéré comme un gaz parfait et g = cte.
1) Etablir les lois P(z) de variation de pression de l'atmosphère avec l'altitude en fonction de Po et P2 pressions à
l'altitude z = 0 et z = z2 = 9 km .
2) La température et la pression au sol sont 290 K et 1 bar. La température décroît de 1°C pour 140 m au
voisinage du sol et de 1°C pour 125 m à l'altitude z = 5 km. Les pressions aux altitudes z2 et z3 sont respectivement
de 0.280 bar et 0.200 bar.
a) Déterminer To , T1, a, b et c ( T2 = 305 K ).
b) Calculer les pressions aux altitudes de 1 km, 6 km et 11 km.
11) On considère un gaz ( molécules de masse m et de densité n ) dans un récipient maintenu à la température
T. La répartition des vitesses des molécules de ce gaz suit la loi de Boltzmann : la proportion de molécules ayant
une vitesse vi vérifiant en coordonnées sphériques vi , θi , ϕi les conditions :
v ≤ vi ≤ v + dv ; θ ≤ θi ≤ θ + dθ et ϕ ≤ ϕi ≤ ϕ + dϕ
dn
est donnée par :
/n = ( m/2πkT )1,5 exp( -mv²/2kT ) v² sinθ dv dθ dϕ .
1) Calculer le nombre de molécules s'échappant par seconde, par une petite ouverture de section s percée dans
la paroi du récipient .On exprimera le résultat en fonction de la valeur moyenne < v > .
2) Deux récipients aux températures T1 et T2 communiquent par une petite ouverture de section s . En
supposant que dans chaque récipient le gaz reste en équilibre à la température Ti de ce récipient, trouver la
relation qui lie les pressions p1 et p2 dans chaque récipient, aux températures T1 et T2 .
Remarque : ∫o∞ x3 e-ax² dx = 1/2a² .
12) Pour un gaz monoatomique tel que l'hélium la loi de distribution de Maxwell des normes des vecteurs vitesses
est : dn = (v).dv avec (v) = No.v².exp(- mv²/2kT) où T est la température absolue, k une constante de valeur
numérique k = 1,38.10-23 et m la masse de l'atome d'hélium .
1) Calculer la vitesse la plus probable, c'est à dire la valeur vp de v rendant (v) maximum .
2) Calculer la valeur moyenne vm de la vitesse v et la vitesse quadratique moyenne u .
3) Evaluer ces trois vitesses pour T = 300 K
On admettra les résultats de l'intégrale Ip = ∫o∞ xp.e-ax².dx
p
Ip
0
1/ .(π/ )0,5
2 a
1
1/
2a
2
1/ .(π/ )0,5
4a a
3
1/
2a²
4
3/ .(π/ )0,5
8a² a
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13)
On considère un système formé de N atomes indépendants auquel est associé trois niveau d’énergie E1 = E, E2 = 0 et E3 = E ( E > 0 ) et en équilibre avec un thermostat à la température T .
1) Calculer les nombres moyens
Nj d’atomes dans les trois états. Influence de la température ?
2) calculer l’énergie moyenne ε d’un atome.
3) Tracer son évolution en fonction de la température.
4) Décrire qualitativement l’évolution de la capacité thermique à volume constant en fonction de la température.
14) Un récipient de volume V, initialement, contient un gaz parfait sous la pression Po et la température T . Il
possède une fuite, d'aire S faible et de vecteur normal x . Le récipient se vidant lentement, on pourra considérer le
phénomène isotherme . A l'extérieur la pression est nulle .
1) On considère schématiquement que les molécules ont des vitesses de même norme v . En désignant par N le
nombre de molécules de gaz, calculer le flux ϕ = - dN/dt sortant par la fuite .
2) En fait la norme de la vitesse est comprise entre v et v + dv avec une probabilité
(v).dv, v prenant ses
valeurs sur [ 0 , ∞ ] . Quelle est la vitesse à utiliser dans l'expression de ϕ . Que devient le résultat si la distribution
des vitesses est celle de Maxwell ?
3) Quelle est la loi N(t) ?
15)
On considère un système formé de N atomes indépendants auquel est associé trois niveaux d’énergie
E1 = -E, E2 = 0 et E3 = E ( E > 0 ) et en équilibre avec un thermostat à la température T .
1) Calculer les nombres moyens
Nj d’atomes dans les trois états. Influence de la température ?
2) calculer l’énergie moyenne ε d’un atome.
3) Tracer son évolution en fonction de la température.
4) Décrire qualitativement l’évolution de la capacité thermique à volume constant en fonction de la température.
16)
Dans un laser un gaz A est excité par des électrons circulant entre
deux électrodes. Le niveau E3 atteint est proche du niveau E2 du
gaz B et l’électron passe par résonance sur le niveau E2 et
l’émission laser s’effectue entre les deux nivaux d’énergie E1 et E2
du gaz B. L’électron du gaz B se trouve donc sur les deux niveaux
E1 et E2 .
L’avantage du pompage électronique avec un second gaz est
d’obtenir une majorité des électrons du gaz A au niveau E3 et donc
que l’énergie lumineuse émise par le gaz A ne soit pas réabsorbée.
1) Calculer la fonction de partition définie par
2

Ej
Z = ∑ exp −

j =1
 k B .T

.


On peut choisir l’origine des potentiels de façon
à obtenir E1 = -E2 .
2) Calculer l’énergie moyenne ε .
Commenter la courbe obtenue ci contre.
3) Calculer la fluctuation de l’énergie définie
par
ne
∆ε =
∑ p (E
j
j =1
− ε) =
2
j
ne
∑ (p .E ) − ε
j
j=1
2
j
2