Exam 2003-2004 - Les pages perso du Crans

DEA de Génie Electrique
Mercredi 10 décembre 2003
Modélisation : Calcul des Champs
Durée 2 heures – Tous documents autorisés
On considère un barreau métallique de section carrée de côté 4 (figure 1) supposé infini dans
la direction z. A l’instant initial ce barreau est plongé dans un champ électrique
e 0 ( t ) uniforme (en espace) et constant (en temps) dont l’expression est donnée par :
e 0 = E 0 u z où E 0 est une constante réelle positive
Pour t > 0 on suppose que le champ électrique à l’intérieur du barreau ne possède qu’une
seule composante e( x, y, t ) selon u z . Le problème est donc invariant par translation selon Oz.
e0
uz
uy
ux
Figure 1. Barreau métallique plongé dans un champ électrique uniforme
Les équations régissant la distribution des champs (électrique et magnétique) et de la densité
de courant à l’intérieur du barreau sont :
roth = j
et
∂h
rot e = −µ
∂t
où µ est la perméabilité magnétique.
La densité de courant et le champ électrique sont liés par :
j = σe
où σ est la conductivité électrique.
1°) Montrer à partir des équations de Maxwell que l’équation aux dérivées partielles régissant
l’évolution de e est :
σµ
avec ∆e =
∂ 2e ∂ 2e
+
∂x 2 ∂y 2
∂e
− ∆e = 0
∂t
(1)
2°) On cherche à résoudre l’équation (1) dans la section transversale du barreau constituée du
d’un carré de côté 4 et de frontière Γ dans le plan (x,y) (figure 2). On recherche alors e(x,y,t)
solution du problème aux limites suivant :
σµ
∂e
− ∆e = 0
∂t
e( x , y,0) = 0
e( x, y, t ) = E 0
(2)
dans Ω
(3)
(4)
dans Ω
sur Γ
y
x
Figure 2. Section transversale
a) On introduit la fonction u définie par : u ( x, y, t ) = e( x, y, t ) − E 0 . Montrer que u est solution
du problème aux limites :
σµ
∂u
− ∆u = 0 dans Ω pour t > 0
∂t
u ( x , y,0) = − E 0
dans Ω
sur Γ
u (x, y, t ) = 0
b) Justifier par des considérations de symétrie pourquoi il est possible de ramener le problème
au domaine grisé de la figure 3 en introduisant des conditions de Neumann de type
∂u
( x , y, t ) = 0
∂n
sur Γ1 et Γ2.
y
Γ1
Γ2
Figure 3 Domaine de calcul : zone grisée
c) Rappeler la formulation variationnelle du problème précédent et montrer qu’une méthode
d’éléments finis conduit à résoudre un système différentiel du type :
[M ] du (t ) + [A][u (t )] = [0]
 dt

assorti d’une condition initiale.
3°) On envisage une résolution par éléments finis triangulaires de premier ordre. Les
fonctions de base λ i ( x , y) sont alors affines par triangle : λ i ( x , y) = a i + b i x + c i y .
a) Donner les expressions des fonctions λ i (i = 1,2,3) correspondant aux trois sommets si du
triangle rectangle isocèle K la figure 4 (les deux côtés de l’angle droit ont une longueur unité
L = 1). On pourra considérer S3 comme l’origine du repère (x,y)
y
S2
x
S3
S1
Figure 4 Triangle élémentaire
b) Calculer les termes de la matrice élémentaire Ae relative au triangle K et à sa numérotation
locale.
c) Calculer les intégrales :
∫
M 11 = λ 1 dxdy
K
2
;
∫
M 12 = λ 1 λ 2 dxdy
;
K
∫
M 13 = λ 1λ 3 dxdy
K
En déduire la première ligne de la matrice élémentaire Me.
On admettra que par des calculs analogues à ceux venant d’être effectués la forme de Me est :
2 1 1
σµ


Me =
1 2 1

24
1 1 2
4°) On réalise le maillage de la figure 5 où l’on a fait figurer une numérotation globale des
nœuds (1, 2 …6) et une numérotation des triangles (T1, T2, T3, T4). On numérote en premier
les 3 valeurs nodales de u qui sont inconnues u 1 , u 2 , u 3 .
4
5
3
T1
1
Figure 5 Maillage du domaine de calcul
a) Ecrire la table de coordonnées et de connectivité relative au maillage.
b) En tenant compte que les termes d’une matrice élémentaire ne dépendent pas de la position
du triangle mais de sa forme, procéder à l’assemblage des matrices élémentaires Ae et Me dans
des matrices globales.
Indication : les matrices globales comportent a priori 6 lignes et 6 colonnes mais on
pourra n’assembler en fait que les lignes 1, 2, 3 qui correspondent aux 3 valeurs
inconnues de u et qui sont les seules lignes utiles à la résolution
c) Montrer que la méthode conduit à résoudre un système différentiel en temps de
dimension 3 du type :
[M] du (t ) + [A ][u( t )] = [f ]
 dt

où le vecteur [u ( t )] contient les 3 fonctions inconnues ui(t) (i=1,2,3).
Donner les expressions des matrices [M ] , [A ] et du vecteur au second membre [f ]
d) Donner la forme du schéma itératif (pas à pas dans le temps) résultant de la mise en œuvre
d’une θ-méthode lorsque θ = ½.