I. 3ème NOMBRES ENTIERS Chapitre A Diviseurs d'un nombre entier: Soient A et B deux nombres entiers (avec B 0). A est un diviseur de B s’il existe un nombre entier n tel que A × n = B. Ex1: 6 est un diviseur de 18 car 18 = 6 × 3. Rq : On dit aussi que 18 est un multiple de 6 ou que 18 est divisible par 6. Pas entier ! 4 n’es pas un diviseur de 10 car 4 × 2,5 = 10 tio n Ex2 : 1536 est-il divisible par 2 ? par 3 ? par 4 ? par 5 ? par 9 ? * 1536 est divisible par 2 car il est pair. * 1536 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est divisible par 3 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 est divisible par 3). * 1536 est divisible par 4 car le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (36 est divisible par 4). * 1536 n’est pas divisible par 5 car il ne se termine pas par 0 ou 5. * 1536 n’est divisible par 9 car la somme de ses chiffres n’est pas divisible par 9 (1 + 5 + 3 + 6 = 15 et 15 n’est pas divisible par 9). Ev a lu a Ex3 : 7 est-il un diviseur de 1 290 ? 1 290 : 7 = 184,2857143 Le quotient n’est pas un nombre entier donc 1290 n’est pas divisible par 7. Méthode : Pour trouver la liste de tous des diviseurs d’un nombre N, il suffit de tester s’il est divisible par tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à N. Nombre premier: PD II. F Pr o Ex : Pour trouver la liste de tous les diviseurs de 52, on calcule 52 ≈ 7,2 Il faut tester la divisibilité de 52 par 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7. 52 = 1 × 52 52 = 2 × 26 52 = 4 × 13 Les diviseurs de 52 sont : 1 ; 52 ; 2 ; 26 ; 4 ; 13. Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs, 1 et lui-même. Ex 1 : 13 est un nombre premier car 13 n’a que deux diviseurs : 1 et 13. 9 n’est pas un nombre premier car 9 a trois diviseurs : 1 ; 3 et 9. Rq : * 1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même ! * Il existe une infinité de nombres premiers. Ex 2 : 157 est-il un nombre premier ? 157 ≈ 12,5 Il faut tester la divisibilité de 157 par tous les nombres entiers compris entre 2 et 12. 157 n’est pas divisible par 2, par 3, par 4, par 5, par 9 et par 10. 157 : 6 ≈ 26,2 donc il n’est pas divisible par 6 157 : 7 ≈ 22,4 donc il n’est pas divisible par 7. 157 : 8 ≈ 19,6 donc il n’est pas divisible par 8. 157 : 11 ≈ 14,3 donc il n’est pas divisible par 11. 157 : 12 ≈ 13,1 donc il n’est pas divisible par 12. → 157 n’est divisible par aucun nombre entiers compris entre 2 et 12 donc 157 est premier. III. Décomposition en produit de facteurs premiers : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers. Rq : Pour chaque entier ( ≥ 2), il n’existe qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers. Ex : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 Méthode : Pour trouver la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre : * on le divise par un nombre premier (on teste dans l’ordre croissant : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ….) * on recommence avec le quotient obtenu jusqu’à obtenir un nombre premier. lu a tio n Ex : Décomposer 2 088 en produit de facteurs premiers : 2 088 = 2 × 1 044 → On recommence avec 1044 1 044 = 2 × 522 → On recommence avec 522 522 = 2 × 261 → On recommence avec 261 261 = 3 × 87 → On recommence avec 87 87 = 3 × 29 → On recommence avec 29 29 ≈ 5,4 et 29 n’est pas divisible par 2 ; 3 ; 4 et 5 donc 29 est un nombre premier. La décomposition en facteurs premiers de 2 088 est 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 ou 23 × 3² × 29. ►simp enter Pr o (TI-Collège Plus) 2 088 2nde Ev a Sur la calculatrice, on tape : Décomp (Casio Spéciale Collège) 2 088 EXE SECONDE PD F Intérêt de la décomposition en produit de facteurs premiers d’un nombre : la simplification de fraction. 60 2×2×3×5 5 5 = = = 2088 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 29 2 × 3 × 29 174