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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université Amar Telidji, Laghouat
Faculté des Sciences et Sciences de l’Ingénieur
Département Génie Electrique
Mémoire de Magister en Electrotechnique
Option : Analyse, Conduite et Commande des Réseaux Electriques
THEME
Optimisation Multiobjectif de la Synthèse des FACTS par les
Particules en Essaim pour le Contrôle de la Stabilité de Tension
des Réseaux Electriques
Présenté par :
Rabah BENABID
Ingénieur d’Etat en Electrotechnique de l’Université de Jijel
Soutenu le 04/09/2007 devant le jury composé de :
I.K. LEFKAIER
M. BOUDOUR
A. HELLAL
L. MOKRANI
S. ARIF
Professeur à l’UATL
Maître de Conférences à l’USTHB
Professeur à l’UATL
Maître de Conférences à l’UATL
Chargé de Cours à l’UATL
UAT, Laghouat : 2007
Président
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Invité
:‫ﻣﻠﺨﺺ‬
‫ اﻋﺘﻤﺪﻧﺎ ﻓﻲ ﺗﻘﺪﯾﺮ اﺳﺘﻘﺮار اﻟﺘﻮﺗﺮ ﻋﻠﻰ طﺮﯾﻘﺔ‬.‫ﻧﺪرس ﻓﻲ ھﺬه اﻟﺮﺳﺎﻟﺔ ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻻﺳﺘﻘﺮار اﻟﺴﺎﻛﻦ ﻟﻠﺘﻮﺗﺮ ﻓﻲ اﻷﻧﻈﻤﺔ اﻟﻜﮭﺮﺑﺎﺋﯿﺔ‬
‫ إن اﻻﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷﻣﺜﻞ ﻟﻠﺠﮭﺎز اﻟﻤﻌﻮض اﻟﺜﺎﺑﺖ ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ اﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﺔ و ﻛﺬاﻟﻚ اﻟﻤﻌﻮض اﻟﺘﺴﻠﺴﻠﻲ اﻟﻤﺘﺤﻜﻢ ﻓﯿﮫ‬.‫ﻓﯿﺾ اﻟﻘﺪرة اﻟﻤﺘﻮاﺻﻞ‬
‫ إن ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻧﮭﯿﺎر اﻟﻀﻐﻂ ﺗﻤﺖ‬.‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻟﺘﺮﺳﺘﻮر ﻓﻲ ﺗﺤﺴﯿﻦ اﻻﺳﺘﻘﺮار اﻟﺴﺎﻛﻦ ﻟﻠﺘﻮﺗﺮ ﻗﺪ ﺣﻈﻲ ﺑﺎھﺘﻤﺎﻣﻨﺎ ﻓﻲ رﺳﺎﻟﺘﻨﺎ ھﺬه‬
‫ وﻟﮭﺬا اﻟﻐﺮض اﺳﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﻋﺪة أﻧﻮاع ﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻷﺳﺮاب‬،‫ﺻﯿﺎﻏﺘﮭﺎ ﻛﻤﺸﻜﻠﺔ ﺗﺤﺴﯿﻨﯿﺔ ذات اﻟﮭﺪف اﻟﻮﺣﯿﺪ و ﻛﺬاﻟﻚ ﻣﺘﻌﺪدة اﻷھﺪاف‬
‫ اﻷﺳﺮاب اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ ذات اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﻐﻠﻮب و‬,‫اﻟﻄﺮﯾﻘﺔ اﻷﺻﻠﯿﺔ‬:‫ أﻻ و ھﻲ‬,‫اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ ﻓﻲ ﺗﺤﻠﯿﻞ ﻣﺸﻜﻠﺔ اﻻﺳﺘﻘﺮار اﻟﺴﺎﻛﻦ ﻟﻠﺘﻮﺗﺮ‬
‫ ﺗﻢ ﺻﯿﺎﻏﺘﮭﺎ ﺑﺤﯿﺚ أﻧﮭﺎ ﺗﺄﺧﺬ ﺑﻌﯿﻦ اﻻﻋﺘﺒﺎر اﻟﻤﺘﻐﯿﺮات اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة‬،‫ ھﺬه اﻟﻄﺮق اﻟﺴﺎﻟﻔﺔ اﻟﺬﻛﺮ‬.‫ﻛﺪاﻟﻚ اﻷﺳﺮاب اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ ﻣﺘﻌﺪدة اﻷھﺪاف‬
.‫و اﻟﻐﯿﺮ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة‬
‫ اﻟﻤﻌﻮض اﻟﺜﺎﺑﺖ‬,‫ طﺮﯾﻘﺔ اﻷﺳﺮاب اﻟﺠﺰﺋﯿﺔ‬,‫ ھﺎﻣﺶ اﻻﺳﺘﻘﺮار اﻟﺴﺎﻛﻦ ﻟﻠﺘﻮﺗﺮ‬,‫ اﻻﺳﺘﻘﺮار اﻟﺴﺎﻛﻦ ﻟﻠﺘﻮﺗﺮ‬: ‫اﻟﻜﻠﻤﺎت اﻟﻤﻔﺘﺎﺣﯿﺔ‬
.‫ اﻟﻤﻌﻮض اﻟﺘﺴﻠﺴﻠﻲ اﻟﻤﺘﺤﻜﻢ ﻓﯿﮫ ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻟﺘﺮﺳﺘﻮر‬,‫ﻟﻠﻄﺎﻗﺔ اﻟﻤﺘﻔﺎﻋﻠﺔ‬
Résumé :
Ce mémoire traite du problème de la stabilité statique de tension dans les réseaux électriques.
Des notions de base relatives à l’instabilité et l’effondrement de tension ont étés présentées. La
stabilité de tension d’un réseau électrique a été évaluée par la méthode d’écoulement de puissance
en continu (CPF). L’utilisation optimale du compensateur statique d’énergie réactive (SVC) et du
Compensateur série commandé par thyristor (TCSC) dans l’amélioration de la marge de stabilité
statique de tension, a retenu aussi notre intérêt dans ce mémoire. Le problème d’effondrement de
tension a été formulé comme un problème d’optimisation mono-objectif et également multiobjectif. Plusieurs variantes de la méthode d’optimisation par essaim de particules à savoir : la
méthode de base PSO, NSPSO (Non dominated Sorting Particle Swarm Optimization) et MOPSO
(Multi-objective Particle Swarm Optimization) sont appliquées au problème de la stabilité de
tension. Ces méthodes sont modifiées afin de prendre en considération aussi bien les variables
continues que les variables discrètes.
Mots-clés : Stabilité Statique de Tension, Marge de Stabilité de Tension, Méthode d’optimisation
par Essaim de Particule, SVC, TCSC.
Abstract:
This work deals with the problem of the static voltage stability in the power systems. Basic
concepts relating to the instability and voltage collapse are presented. The voltage stability of
power system is assessed by the method of Continuation Power Flow (CPF). The optimal use of the
SVC and The TCSC in the improvement of the static voltage stability margin also retains our
interest in this memory. The voltage collapse problem is formulated as mono-objective and multiobjective optimization problem. Several alternatives of the Particle Swarm Optimization method,
namely: the basic PSO, NSPSO (Non dominated Sorting Particle Swarm Optimization) and
MOPSO (Multi-objective Particle Swarm Optimization) are applied to the problem of voltage
stability. These methods are modified in order to take into account the continuous as well as the
discrete variables of the multimachine power system.
Keywords: Static Voltage Stability, Voltage Stability Margin, Particle Swarm Optimization
Method, SVC, TCSC.
REMERCIEMENTS
Mes remerciements les plus vifs, vont à mon Directeur de mémoire monsieur
Mohamed BOUDOUR, Maître de conférence à l’USTHB pour son aide, son orientation
judicieuse et sa disponibilité, aussi pour la confiance, la patience et la compréhension
qu’il m’a toujours manifesté …
Je tiens également à remercier Monsieur AbdelHafid HELLAL, Professeur à
l’UATL pour son aide, son orientation judicieuse, ses conseilles, disponibilité et son
encouragement spécialement durant l’année théoriques.
Je tiens également à remercier Monsieur Lakhdar MOKRANI, Maître de
Conférences à l’UATL pour son aide et son orientation durant l’année théorique.
Je tiens également à remercier Monsieur Salem ARIF, Chargé de Cours à l’UATL
pour son aide, son encouragement, sa disponibilité, spécialement durant l’année
théorique.
Je remercie également Monsieur Ibn Khaldoun LEFKAIER, Professeur à l'UATL
d’avoir accepté de Présider le jury de soutenance.
Je veux aussi exprimer ma vive reconnaissance envers tous les enseignants du poste
graduation du réseau électrique.
« Une personne qui n’a jamais commis d’erreur …
…n’a jamais tenté d’innover »
Albert Einstein
DEDICACE
Je dédiée ce travail à :
Ma Mère,
A mon Père Ali,
A Ma Femme,
A ABderaouf,
A mes frères : Hichem, Abdenour, Mohammed et Hamza,
A ma Soeur,
A Bounesseba SADAK,
Et à tous mes Amis
RABAH BENABID
/07/2007
LISTE DES FIGURES
LISTE DES FIGURES
Figure 1.1 Classification des types de la stabilité des réseaux électriques...............................
8
Figure 1.2 Réseau électrique à deux noeuds.............................................................................
10
Figure 1.3 Principe d’écoulement de puissance continu...........................................................
Figure 2.1 Modèle en  d’une ligne électrique........................................................................
19
Figure 2.2 Modèle d’un transformateur....................................................................................
26
Figure 2.3 Structure d’un SVC ................................................................................................
40
Figure 2.4 Modèle d’un SVC....................................................................................................
42
Figure 2.5 Modèle d’un TCSC.................................................................................................
42
Figure 3.1 Réseau électrique à deux nœuds..............................................................................
48
Figure 3.2 Courbe de bifurcation de tension.............................................................................
50
Figure 3.3 Schéma synoptique du réseau d’application...........................................................
52
Figure 3.4 Caractéristique PV pour différente valeurs de B  tan  .......................................
53
Figure 3.5 Influence de TCSC sur la caractéristique PV..........................................................
54
Figure 3.6 Influence du SVC sur la courbe de bifurcation de tension......................................
55
Figure 3.7 Influence de OLTC sur la courbe de bifurcation.....................................................
56
Figure 3.8 Influence des modèles de charge sur la caractéristique PV.....................................
59
Figure 4.1 Illustration des différents minima d’une fonction objective...................................
65
Figure 4.2 Front de Pareto d’un problème d’optimisation bi-objectif. ....................................
68
Figure 4.3 Principe de déplacement d’un point de recherche par PSO....................................
75
Figure 4.4 Organigramme général de PSO...............................................................................
77
Figure 4.5 Méthode de Hu et Eberhart.....................................................................................
78
Figure 4.6 Méthode de Parsopoulos et Varhatis.......................................................................
79
Figure 4.7 Principe de l’arbre de dominance............................................................................
80
Figure 4.8 Principe de sélection du gbest dans l’algorithme de Fielsend et Singh...................
81
Figure 4.9 Méthode de sigma...................................................................................................
82
Figure 4.10 Technique de grille................................................................................................
83
Figure 4.11 Classement de 10 particules dans quatre fronts de Pareto...................................
85
Figure 4.12 Principe de la méthode de niche..........................................................................
86
Figure 4.13 Frontière de Pareto tracée par MOPSO..............................................................
91
Figure 4.14 Frontière de Pareto tracée par NSPSO................................................................
92
Figure 5.1 Réseau test IEEE 14 nœuds...................................................................................
95
UATL 2007
25
VI
LISTE DES FIGURES
Figure 5.2 Caractéristiques PV aux Nœuds 4, 13 et 14..........................................................
97
Figure 5.3 Caractéristiques PV du Nœud 14 avec et sans limites sur l’énergie réactive........
97
Figure 5.4 Evolution des pertes actives et réactives lors d’un effondrement de tension........
98
Figure 5.5 Influence du modèle de charge sur l’effondrement de tension.............................
100
Figure 5.6 Principe de régulation de la tension par le SVC....................................................
101
Figure 5.7 Evolution de la marge de stabilité de tension en fonction de la taille du SVC.....
104
Figure 5.8 Evolution de facteur de performance en fonction de la taille du SVC..................
105
Figure 5.9 Caractéristiques de bifurcation du nœud 14 avec et sans SVC.............................
105
Figure 5.10 Evolution du bSVC en fonction de la charge.........................................................
106
Figure 5.11 Comparaison entre trois sites du SVC.................................................................
107
Figure 5.12 Profile des tensions du système avec et sans SVC..............................................
107
Figure 5.13 Evolution des pertes actives avec et sans SVC...................................................
108
Figure 5.14 Evolution des pertes réactives avec et sans SVC................................................
109
Figure 5.15 Taille Optimale du TCSC....................................................................................
110
Figure 5.16 Caractéristiques de bifurcation au nœud 14 avec et sans TCSC.........................
111
Figure 5.17 Evolution des pertes réactives avec et sans TCSC..............................................
111
Figure 5.18 Evolution des pertes actives avec et sans TCSC ...............................................
112
Figure 5.19 Profile des tensions du système avec et sans TCSC............................................
113
Figure 5.20 Caractéristiques de bifurcation pour les cas de SVC, TCSC, et les deux
ensembles.................................................................................................................................. 113
Figure 5.21 Evolution des pertes réactives pour les cas de SVC, TCSC, et les deux
ensembles.................................................................................................................................. 114
Figure 5.22 Evolution des pertes actives pour les cas de SVC, TCSC, et les deux
ensembles.................................................................................................................................. 115
Figure 5.23 Profile de tension du système pour les cas de SVC, TCSC, et les deux
ensembles.................................................................................................................................. 115
Figure 5.24 Variation des pertes actives en fonction de nombre d’itération. ........................
120
Figure 5.25 Variation de la marge de stabilité en fonction nombre d’itération......................
121
Figure 5.26 Frontières de Pareto pour quatre cas de simulation ............................................
123
Figure 5.27 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO sans FACTS...................................
124
Figure 5.28 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec SVC.......................................
125
Figure 5.29 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec TCSC.....................................
125
Figure 5.30 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec le TCSC et SVC....................
126
UATL 2007
VII
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1.1 Effondrement de tension dans le monde.............................................................
12
Tableau 2.1 Valeurs des exposants np et nq pour différents types de charge .........................
28
Tableau 2.2 Domaines d’applications des dispositifs FACTS...............................................
39
Tableau 4.1 Paramètres de NSPSO et MOPSO .....................................................................
91
Tableau 5.1 Comparaison entre des logiciels d’analyse des réseaux électriques...................
94
Tableau 5.2 Facteur de sensibilité de tension pour quatre noeuds critiques........................... 102
Tableau 5.3 Les cinq meilleurs emplacements du TCSC.......................................................
109
Tableau 5.4 Paramètres de PSO.............................................................................................. 119
Tableau 5.5 Solutions optimales............................................................................................. 120
Tableau 5.6 Solutions optimales............................................................................................. 122
Tableau 5.7 Paramètres de NSPSO et MOPSO...................................................................... 128
UATL 2007
VIII
TABLES DES MATIERES
TABLES DES MATIERES
Résumé
Dédicace
Remerciements
Publications
Table des matières
Liste des figures
Liste des tableaux
I
VI
VIII
Page
1
Introduction générale
CHAPITRE1 : STABILITE DE TENSION
1.1 Introduction………………………………………………………………………………....
1.2 Stabilité des réseaux électriques………………………………………………………….....
1.2.1 Stabilité angulaire…………………………………………………………………......
1.2.1.1 Stabilités angulaire aux petites perturbations………………………………...
1.2.1.2 Stabilité transitoire………………………………………………………….....
1.2.2 Stabilité de fréquence……………………………………………………………….....
1.2.3 Stabilité de tension………………………………………………………………….....
1.2.3.1 Stabilité de tension vis-à-vis de petite perturbation……………………….......
1.2.3.2 Stabilité de tension vis-à-vis des grandes perturbations…................................
1.3 Stabilité de tension………………………………………………………………………......
1.3.1 Causes d’instabilités de tension……………………………………………………......
1.3.1.1 Production trop éloignée de la consommation…………………………...........
1.3.1.2 Manque locale d’énergie réactive…………………………………………......
1.3.1.3 Charge appelée trop importante ……………………………………………....
1.4 Effondrement de tension dans le monde…………………………………………………......
1.5 Analyse de la stabilité de tension…………………………………………………………....
1.5.1 Analyse dynamique…………………………………………………………………....
1.5.2 Analyse statique……………………………………………………………………......
1.5.3 Méthode d’analyse de la stabilité statique de tension……………………………….....
1.5.3.1 Valeur singulière minimale…………………………………………………....
1.5.3.2 Valeurs propres……………………………………………………………......
1.5.3.3 Marge de charge (loading margin)…………………………………………....
1.5.4 Ecoulement de puissance continu………………………………………………….......
1.5.4.1 Prévision de la nouvelle solution………………………………………….......
1.5.4.2 Correction de solution………………………………………………………....
UATL 2007
5
5
6
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7
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13
13
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15
16
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18
20
21
I
TABLES DES MATIERES
1.5.4.3 Choix de paramètre continu……………………………………………….......
1.6 Conclusion……………………………………………………………………………….......
22
23
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN
REGIME PERMANENT
2.1 Introduction………………………………………………………………………………….
2.2 Modélisation mathématique du réseau électrique……………………………………………
2.2.1 Modèle de l’alternateur………………………………………………………………...
2.2.2 Modèle de la ligne de transport………………………………………………………..
2.2.3 Modèles des nœuds du réseau…………………………………………………………
2.2.4 Modèle du Transformateur…………………………………………………………….
2.2.5 Equipements de compensation de l’énergie réactive…………………………………..
2.2.6 Modélisation des charges ……………………………………………………………..
2.3 Systèmes de Transmission Flexibles en Courant Alternatif (FACTS)………………………
2.3.1 Définition et généralités ………………………………………………………………
2.3.2 Rôle des Dispositifs FACTS…………………………………………………………..
2.3.3 Types des Dispositifs FACTS…………………………………………………………
2.3.3.1 Compensateurs Parallèles……………………………………………………..
2.3.3.1.1 Compensateur statique de puissance réactive (SVC)……………………...
2.3.3.1.2 Compensateur statique synchrone (STATCOM)……………………
2.3.3.2 Compensateurs Séries…………………………………………………………
2.3.3.2.1 Compensateur série commuté par thyristor (TSSC)………………...
2.3.3.2.2 Compensateur série commandé par thyristor (TCSC)………………
2.3.3.2.3 Compensateur série synchrone (SSSC)……………………………..
2.3.3.3 Compensateur Série Parallèle (hybride)………………………………………
2.3.3.3.1 Contrôleur de transit de puissance universel (UPFC)….....................
2.3.3.3.2 Transformateur déphaseur commandé par thyristor (TCPST)….......
2.3.3.3.3 Régulateur d’angle de phase commandé par thyristor (TCPAR)…...
2.3.3.3.4 Régulateur de tension commandé par thyristor (TCVR)……………
2.3.4 Dispositifs FACTS en exploitation …………………………………………………...
2.3.4.1 Condensateur série avancé (ASC) de Kayenta………………………………..
2.3.4.2 TCSC d’Imperatriz…………………………………………………………….
2.3.4.3 STATCOM de Sullivan……….........................................................................
2.3.4.4 UPFC d’Inez ………………………………………………………………….
2.3.5 Coût des dispositifs FACTS…………………………………………………….……..
2.3.6 Synthèse…………………………………………………………………………..……
2.3.7 SVC et TCSC………………………………………………………………………….
2.3.7.1 Structure du SVC et TCSC…………………………………………...……….
2.3.7.2 Modélisation mathématique du SVC et du TCSC……………………..……...
2.4 Emplacement optimale de dispositifs FACTS…………………………….…………………
2.4.1 Etat de l’art…………………………………………………………………………….
UATL 2007
24
25
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27
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36
36
37
37
38
38
39
39
40
41
43
43
II
TABLES DES MATIERES
2.5 Conclusion…………………………………………………………………………………...
46
CHAPITRE 3 : ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
3.1 Introduction………………………………………………………………………………….
3.2 Système test………………………………………………………………………………….
3.3 Courbe d’effondrement de tension ………………………………………………………….
3.4 Analyse et interprétation……………………………………………………………………..
3.5 Influence des composants du réseau sur la stabilité de tension……………………………...
3.5.1 Réseau d’application…………………………………………………………………..
3.5.2 Influence de facteur de puissance……………………………………………………...
3.5.3 Influence du TCSC…………………………………………………………………….
3.5.4 Influence du SVC……………………………………………………………………...
3.5.5 Influence du Transformateur régleur en charge (OLTC)……………………………...
3.5.6 Influence de la nature de charge……………………………………………………….
3.5.6.1 Modèle à puissance constante ………………………………………………...
3.5.6.2 Modèle à courant constant…………………………… ………………………
3.5.6.3 Modèle à admittance constante………………………………………………..
3.6 Conclusion…………………………………………………………………………………...
47
47
48
50
51
52
52
53
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55
56
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57
57
59
CHAPITRE 4 : OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR ESSAIM DE
PARTICULES
4.1 Introduction …………………………………………………………………………………
4.2 Définitions de base ………………………………………………………………………….
4.2.1 Définition de l’optimisation…………………………………………………………...
4.2.2 Fonction objective……………………………………………………………………..
4.2.3 Variables de décision………………………………………………………………….
4.2.4 Formulation d’un problème d’optimisation mono-objectif……………………………
4.2.5 Minimum global……………………………………………………………………….
4.2.6 Minimum local………………………………………………………………………...
4.2.7 Formulation d’un problème d’optimisation multi-objectif…………………………….
4.2.8 Concept d’optimalité au sens de Pareto………………………………………………..
4.2.9 Ensemble de Pareto optimal…………………………………………………………...
4.2.10 Frontière de Pareto…………………………………………………………………...
4.3 Méthodes d’optimisation multi-objectif…………………………………………………….
4.3.1 Méthodes pleines agrégations………………………………………………………….
4.3.1.1 Somme pondérée………………………………………………………………
4.3.1.2 Approche min max………………………………………………………….....
4.3.1.3 Approche de vecteur cible…………………………………………………….
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61
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65
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68
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69
69
70
III
TABLES DES MATIERES
4.3.2Méthodes métaheuristiques…………………………………………………………….
4.3.2.1 Recuit simulé………………………………………………………………….
4.3.2.2 Recherche taboue……………………………………………………………...
4.3.2.3 Algorithme génétique………………………………………………………….
4.3.2.4 Stratégie d’évolution…………………………………………………………..
4.3.2.5 Programmation évolutionnaire………………………………………………...
4.3.2.6 Optimisation par Essaim de Particules………………………………………..
4.4 Optimisation multi-objectif par Essaim de Particules……………………………………….
4.4.1 Méthode de base……………………………………………………………………….
4.4.2 Etat de l’art ……………………………………………………………………………
4.4.2.1 PSO avec voisinage dynamique……………………………………………….
4.4.2.2 Algorithme de Parsopoulos et Varhatis……………………………………….
4.4.2.3 Algorithme de Fieldsend et Singh……………………………………………..
4.4.2.4 Algorithme de Mostaghim et Teich…………………………………………...
4.4.2.5 MOPSO de Coello et Lechunga……………………………………………….
4.4.2.6 Non-dominated sorting particle swarm optimization ………………………..
4.4.2.6.1 Méthode de niche……………………………………………………
4.4.2.6.2 Méthode de Crowding………………………………………………
4.5 Méthodes utilisées…………………………………………………………………………...
4.5.1 Algorithme des deux méthodes ………………………………………………………
4.5.1.1 Algorithme de NSPSO………………………………………………………...
4.5.1.2 Algorithme de MOPSO………………………………………………………..
4.5.2 Exemple d’application…………………………………………………………………
4.6 Conclusion…………………………………………………………………………………...
70
71
71
71
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88
88
89
84
85
CHAPITRE 5 : APPLICATION ET RESULTAT DE SIMULATIONS
5.1 Introduction………………………………………………………………………………….
5.2 Logiciel de simulation ……………………………………………………………………...
5.3 Applications ………………………………………………………………………………..
5.3.1 Courbes d’effondrement de tension…………………………………………………...
5.3.2 Influence de la limite d’Energie Réactive sur l’effondrement de tension……………
5.3.3 Evolution des pertes active et Réactive lors d’un effondrement de tension…..............
5.3.4 Influence de type de charge sur L’effondrement de tension………………………….
5.4 Installation des FACTS …………………………………………………………………….
5.4.1 Emplacement optimal du SVC………………………………………………………..
5.4.2 Taille Optimale du SVC………………………………………………………………
5.4.3 Influence du SVC sur la stabilité de tension et les pertes……………………………..
5.4.4 Emplacement Optimal du TCSC……………………………………………………...
5.4.5 Taille Optimale du TCSC……………………………………………………………..
5.4.6 Influence du TCSC sur la stabilité de tension et les pertes du réseau….......................
5.4.7 Comparaison entre le TCSC et SVC………………………………………………….
UATL 2007
93
94
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109
110
112
IV
TABLES DES MATIERES
5.5 Optimisation par PSO……………………………………………………………………….
5.5.1 Formulation du problème……………………………………………………………..
5.5.1.1 Pertes actives………………………………………………………………….
5.5.1.2 Marge de stabilité de tension……………………………………………........
5.5.1.3 Contraintes du réseau…………………………………………………………
5.5.2 Optimisation mono-objectif…………………………………………………………...
5.5.2.1 Réduction des pertes actives………………………………………………….
5.5.2.2 Maximisation de la marge de stabilité de tension…………………………….
5.5.3 Optimisation Multi-objectif par NSPSO et MOPSO………………………………….
5.6 Conclusion…………………………………………………………………………………..
116
116
116
116
117
118
118
121
122
126
 Conclusion générale………………………………………………………………………….
 Bibliographie…………………………………………………………………………………
 Annexe …………………………………………....................................................................
128
131
A1
UATL 2007
V
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
De nos jours, les problèmes liés au fonctionnement des réseaux de transport et de production
d’énergie électrique ont pris une importance considérable. Face à une consommation d’électricité
qui ne cesse d’augmenter et à des conditions d’environnement très contraignantes, les réseaux
d’énergie électrique ont tendance à s’accroître et deviennent de plus en plus maillés et
interconnectés. Le transport se fait, en outre, sur de longues distances en utilisant des lignes de
grande capacité de transport. Cette complexité de structure a de très nombreuses conséquences. La
difficulté de maintenir un profil de tension acceptable a substantiellement augmenté. La stabilité de
tension du réseau est alors caractérisée par sa capacité de maintenir la tension aux bornes de la
charge dans les limites spécifiées dans le fonctionnement normale.
L’étude du comportement de la tension dans les réseaux électriques est devenue une
préoccupation majeure des exploitants et planificateurs de ces systèmes. En fait, plusieurs incidents
généralisés survenus dans le monde ont été associés à des instabilités de tension [1, 2, 3, 4]. Ce
mode d’instabilité n’est pas encore bien maîtrisé, comparé au mode d’instabilité angulaire
(dynamique et transitoire) [5, 6]. En effet, le mécanisme causant l’instabilité de tension semble l’un
des plus importants problèmes à clarifier [7]. Aujourd’hui encore, il n’y a pas une théorie disponible
et largement acceptée pour l’analyse de la stabilité de tension. Les problèmes liés à ce type
d’instabilité constituent alors, dans plusieurs pays, un axe de recherche très important [8].
Des relevés sur les incidents survenus durant les dernières décennies ont montré que
l’effondrement de tension intervient généralement suite à une perturbation majeure ou à une
augmentation importante de la charge sur un réseau électrique soumis à de fortes contraintes. Ce
réseau s’affaiblit et sa consommation réactive s’accroît. Le phénomène est alors caractérisé par une
baisse progressive de la tension dans une ou plusieurs régions consommatrices, et qui va en
s’accélérant au bout de quelques minutes [3, 9]. La dégradation de la tension au niveau des charges
est alors telle qu’elle entraîne des interruptions de service dont les causes directes peuvent être :
manque de tension, augmentation des pertes réactive du réseau. La défaillance du réglage de la
tension, au niveau des bornes des groupes, a pour conséquence une accélération de la dégradation
du plan de la tension qui peut aller jusqu’à des déclenchements, en cascade, de groupes et de lignes
et un effondrement général du réseau.
UATL 2007
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans cette situation, Les moyens classiques de contrôle des réseaux (transformateur à prises
réglables en charge, transformateurs déphaseurs, compensateurs série ou parallèle commutés par
disjoncteurs, modification des consignes de production, changement de topologie du réseau et
action sur l'excitation des générateurs) pourraient dans l'avenir s'avérer trop lents et insuffisants
pour répondre efficacement aux problèmes d’instabilité du réseau, compte tenu notamment des
nouvelles contraintes. Il faudra donc compléter leur action en mettant en oeuvre des dispositifs
électroniques de puissance ayant des temps de réponse courts, connus sous l'appellation FACTS
(Flexible Alternative Current Transmission Systems) pour le contrôle des réseaux [10]. Le
développement des dispositifs FACTS a ouvert de nouvelles perspectives pour une exploitation plus
efficace des réseaux par action continue et rapide sur les différents paramètres (déphasage, tension,
impédance). Ainsi, les transits de puissance seront mieux contrôlés et les tensions mieux régulées,
ce qui permettra d'augmenter les marges de stabilité de tension ou de tendre vers les limites
thermiques des lignes. Le maintien de l’équilibre entre la production et la consommation nécessite
alors une surveillance permanente du système afin d’assurer la qualité du service (problème de
conduite), garantir sa sécurité (problème de protection) et sa stabilité (problème de réglage).
En plus d’assurer la stabilité et la sécurité des réseaux électriques, les exploitants et les
planificateurs des réseaux électriques, cherchent toujours à optimiser la production d’énergie
électrique, traduite par la réduction des pertes actives. La satisfaction simultanée de ces objectifs
contradictoires fait appel à des méthodes d’optimisation multi-objectif basées sur des
métaheuristiques.
Ce travail traite le problème de la stabilité statique de tension des réseaux électriques. Des
notions de base relatives à l’instabilité et l’effondrement de tension ont étés présentés. L’utilisation
du SVC et de TCSC dans l’amélioration de la marge de stabilité statique de tension, a retenu aussi
notre intérêt dans ce mémoire. Le problème d’effondrement de tension a été formulé comme un
problème d’optimisation mono-objectif et également multi-objectif. Plusieurs variantes de la
méthode d’optimisation par essaim de particules à savoir : la méthode de base PSO, NSPSO (Nondominated Sorting Particle Swarm Optimization) et MOPSO (Multi-objective Particle Swarm
Optimization) sont appliquées dans l’analyse de la stabilité de tension. Ces méthodes sont modifiées
afin de prendre en considération aussi bien les variables continues que les variables discrètes.
Dans le premier chapitre, des notions générales sur la stabilité de tension du réseau électrique
sont présentées. Les différentes définitions liées à la stabilité de tension de plusieurs organismes
UATL 2007
2
INTRODUCTION GENERALE
spécialisées ainsi que les causes qui favorisent l’instabilité de tension sont aussi exposées. Les deux
types d’analyse de la stabilité de tension, à savoir l’analyse statique et dynamique, sont décrites et
des indices d’évaluation de la stabilité statique de tension sont également proposés. Une
modélisation appropriée des différents composants du réseau électrique à savoir les turboalternateurs, les lignes de transport, les transformateurs, les charges électriques et les compensateurs
d’énergie réactive, est présentée. Nous nous sommes ensuite focalisés sur les systèmes FACTS qui
sont largement utilisés dans la compensation de l’énergie réactive. Parmi ces dispositifs FACTS,
notre choix s’est porté sur le SVC et le TCSC pour l’amélioration de la stabilité statique de tension
et la réduction des pertes actives.
Une étude paramétrique du problème de la stabilité de tension d’un système à deux nœuds a été
présentée au début du troisième chapitre. Ceci nous a permis de définir le problème de l’instabilité
et l’effondrement de la tension et de tirer les caractéristiques essentielles relatives au comportement
de la tension vis-à-vis de la charge demandée. Dans ce contexte, la notion de la marge de stabilité
de tension est mise en exergue dans l’évaluation de la stabilité de tension. Finalement, ce chapitre
est ponctué l’étude de l’influence des différents composants du réseau à savoir : le modèle de
charge, les transformateurs, le SVC et le TCSC sur la marge de stabilité de tension.
Dans le quatrième chapitre, des connaissances de base sur l’optimisation mono et multi-objectif,
sont présentées ainsi que des concepts de base et l’état de l’art des techniques d’optimisation par
essaim de particules, appliquée aux problèmes multi-objectif.
Le cinquième chapitre, est dédié à l’application et la simulation des modèles développés sur un
réseau test IEEE 14 nœuds. Le problème de l’effondrement de la tension est traité à travers les
courbes de bifurcation de tension tracées par la méthode d’écoulement de puissance en continu
(CPF). Dans la section suivante, nous avons proposé deux indices pour l’optimisation de la taille et
l’emplacement du SVC et du TCSC. L’influence de ces deux FACTS sur la marge de stabilité de
tension ainsi que les pertes du réseau a été étudiée. Par la suite, nous avons effectué une
comparaison succincte entre le SVC et le TCSC en termes d’amélioration de la marge de stabilité de
tension et la réduction des pertes du réseau. La deuxième partie de ce chapitre a été consacrée au
problème d’optimisation. Deux types d’optimisation sont traitées, à savoir : l’optimisation monoobjectif et multi-objectif. La première a été appliquée sur deux objectifs différents : la maximisation
de la marge de stabilité de tension et la minimisation des pertes actives, pour plusieurs
combinaisons des dispositifs FACTS. Le problème multi-objectif a été traité avec l’optimisation
simultanée des pertes actives et de la marge de stabilité de tension en même temps. Pour ce fait,
UATL 2007
3
INTRODUCTION GENERALE
deux variantes de PSO destinées à l’optimisation multi-objectif ont été proposées. Les deux
algorithmes sont alors comparés en terme de distribution, nombre et optimalités des solutions
atteintes.
UATL 2007
4
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.1 INTRODUCTION
Plusieurs événements d’effondrement de tension à travers le monde [14] montrent que les
réseaux électriques fonctionnent prés de leurs limites de stabilité. Ce problème est d’autant plus
aggravé par la libéralisation du marché de l’électricité. En conséquence les marges de stabilité de la
tension sont assignées encore plus loin pour répondre aux besoins du marché.
Ce chapitre donne un aperçu général sur la stabilité de tension et ses outils d’analyse. Des
notions générales sur la stabilité du réseau électrique se trouvent au début de ce chapitre. Dans une
deuxième phase, les différentes définitions liées à la stabilité de tension de plusieurs organismes
spécialisées ainsi que les causes qui favorisent l’instabilité de tension seront présentées. La dernière
section de ce chapitre sera consacrée à une présentation relativement détaillée des différents outils
d’analyse et d’évaluation de la stabilité statique de tension. Parmi ces outils d’analyse, la marge de
stabilité de tension a donné de grandes performances en termes de précision des résultats obtenus
dans l’évaluation de la stabilité de tension. De ce fait, la méthode de calcul de cette marge de
stabilité de tension appelée écoulement de puissance en continu sera présentée d’une façon détaillée
dans ce chapitre.
UATL 2007
5
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.2 STABILITE DES RESEAUX ELECTRIQUES
La stabilité d’un réseau électrique est la propriété qui lui permet de rester dans un état
d’équilibre, pour des conditions de fonctionnement normales, et de retrouver un état d’équilibre
acceptable, suite à une perturbation [11]. Selon la nature physique de l’instabilité, la plage de temps
des phénomènes et l’amplitude de perturbations, on peut classifier les types de la stabilité comme
suit (figure 1.1).
1.2.1 Stabilité angulaire
Etant donné que les systèmes de puissance recourent principalement aux machines synchrones
pour la génération de puissance électrique, un aspect important est le fonctionnement de ces
générateurs au synchronisme.
La stabilité angulaire (ou stabilité d’angle rotorique) implique l’étude des oscillations
électromécaniques inhérentes aux réseaux électriques [12]. Elle est définie comme la capacité d’un
ensemble de machines synchrones interconnectées de conserver le synchronisme dans des
conditions de fonctionnement normales ou après avoir été soumis à une perturbation.
L’instabilité angulaire se manifeste sous forme d’un écart croissant entre les angles rotoriques :
soit d’une machine et de reste du système, soit d’un groupe de machines et du reste du système. Une
machine qui a perdu le synchronisme sera déclenchée par une protection de survitesse ou par une
protection de perte de synchronisme, ce qui met en danger l’équilibre production consommation du
système.
Selon l’amplitude de la perturbation, on parle de la stabilité angulaire aux petites perturbation ou
de la stabilité transitoire.
1.2.1.1
Stabilité angulaire aux petites perturbations
La stabilité angulaire aux petites perturbations concerne la capacité du système à maintenir le
synchronisme en présence de petites perturbations comme : une petite variation de la charge ou de
génération, manœuvre d’équipement, etc.
UATL 2007
6
CHAPITRE 1
1.2.1.2
STABILITE DE TENSION
Stabilité transitoire
La stabilité transitoire concerne la capacité du réseau à maintenir le synchronisme suite à une
perturbation sévère comme un court circuit, arrêt d’un générateur, etc. La réponse du système
comporte de grandes variations des angles rotoriques et est influencée par la relation non linéaire
entre couples et angles.
1.2.2 Stabilité de fréquence
La stabilité de fréquence concerne la capacité du système à maintenir sa fréquence proche de la
valeur nominale, suite à un incident sévère ayant ou non conduit à un morcellement du système. La
stabilité de fréquence est étroitement liée à l’équilibre global entre la puissance active produite et
consommée.
1.2.3 Stabilité de tension
La stabilité de tension concerne la capacité d’un système de puissance à maintenir des tensions
acceptables à tous ses nœuds, dans des conditions du fonctionnement normales ou suite à une
perturbation. L’instabilité de tension résulte de l’incapacité du système production-transport à
fournir la puissance demandée par la charge. Elle se manifeste généralement sous forme d’une
décroissance monotone de la tension.
Selon l’amplitude de la perturbation, on distingue la stabilité de tension de petites perturbations
et celle de grandes perturbations.
1.2.3.1 Stabilité de tension vis-à-vis des petites perturbations
La stabilité de tension de petites perturbations concerne la capacité du réseau électrique a
maintenir la tension dans les limites permises en présence de perturbations telles que : une variation
faible de la charge, de la production,…etc.
UATL 2007
7
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.2.3.2 Stabilité de tension vis-à-vis des grandes perturbations
Elle est définie comme la capacité du réseau électrique à maintenir les tensions des nœuds dans
les limites de fonctionnement permises en présence des grandes perturbations à savoir la perte
d’équipement de transport ou de production, le court circuit,…etc.
Dans ce mémoire, nous nous intéressons seulement à la stabilité de tension. Une étude détaillée
sera présentée dans la section suivante.
Stabilité des Réseaux
Electriques
Stabilité
Angulaire
Petite
Perturbation
Stabilité
de Tension
Stabilité
de Fréquence
Stabilité
Transitoire
Grande
Perturbation
Petite
Perturbation
Figure 1.1 Classification des types de stabilité des réseaux électriques.
1.3 STABILITE DE TENSION
Dans les années précédentes, la stabilité angulaire a été le sujet préférentiel de beaucoup d’études
et de recherches spécialement après la multiplication des réseaux interconnectés [12]. Ces travaux
ont contribués à l’émergence de nouvelles technologies qui ont considérablement contribuées à
l’atténuation des oscillations dues à l’instabilité angulaire [12]. Cependant, sous l’influence des
perturbations, le réseau électrique apparaît un autre type d’instabilité, qui est caractérisé par des
chutes de tension en certaines zones, sans altérer systématiquement le synchronisme entre les
générateurs [12]. Ce phénomène est désigné sous le nom d’effondrement de tension. L’analyse des
événements d’instabilité de tension, montre que les autres types d’instabilité peuvent se produire à
différentes étapes d’un effondrement de tension [12].
UATL 2007
8
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
L’instabilité de tension englobe plusieurs phénomènes qui se produisent simultanément. Pour
cela il existe plusieurs définitions de la stabilité de tension dans la littérature.
Définitions CIGRE [12]
 Un réseau électrique, à un état de fonctionnement donné, est stable du point de vue stabilité
de tension aux petites perturbations, si les tensions près des charges sont identiques ou près
de la valeur initiale (pré-perturbation) suite à une faible perturbation.
 Un réseau électrique à un état de fonctionnement donné et sujet à une perturbation, est de
tension stable, si la tension prés des charges est identique ou prés de la valeur initiale de
fonctionnement (pré-perturbation).
 Un réseau électrique subit un effondrement de tension si les tensions de post-perturbation
sont au-dessus des limites acceptables.
Définition IEEE [12]
 La stabilité de tension est la capacité du réseau à maintenir la tension dans les limites
permises de sorte que, lorsque l'admittance de charge augmente, la puissance demandée par
la charge augmente, dans ce cas la puissance et la tension doivent êtres contrôlables.
 L’effondrement de tension est le processus par le quel l’instabilité de tension conduit à une
tension très faible dans une partie ou dans la totalité du réseau qui cause un effondrement en
cascade du réseau, sans détruire nécessairement le synchronisme entre les générateurs.
 D’autre part, la notion de la sécurité de tension et plus large que la stabilité de tension, elle
est définie comme la capacité du réseau électrique à maintenir son fonctionnement stable
après chaque perturbation ou changement défavorable du système.
1.3.1 Causes d’instabilité de tension
Les problèmes d’apparition du phénomène d’écroulement de tension sont toujours liés à la
difficulté de régler la tension au dessus d’une certaine valeur appelée tension critique [13].
Généralement, l’effondrement de tension se produit dans les réseaux électriques qui sont fortement
chargés, court-circuités et/ou ont un manque de la puissance réactive [14] ; dans cette situation le
réseau électrique ne peut pas assurer la puissance réactive demandée par la charge. Ce ci est du a
UATL 2007
9
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
des limitations sur la production et la transmission de la puissance réactive, de telle sort que, la
puissance réactive des générateurs et des systèmes FACTS est limitée par des contraintes physiques.
En plus la puissance réactive générée par des bancs de condensateur est relativement réduite à des
tensions basses. La limite sur le transport d’énergie réactive est due principalement aux pertes
réactives élevées dans les lignes électriques fortement chargées. Les principales causes de
l’instabilité de tension sont présentées dans la section suivante.
1.3.1.1 Production trop éloignée de la consommation
Dans la plupart du temps les sources d’énergie électrique se trouve loin des zones de
consommation. Cette situation rend le transport de l’énergie réactive très difficile à cause des pertes
réactives très élevées. Cette difficulté de transport d’énergie réactive augmente la probabilité
d’apparition d’une instabilité ou d’un effondrement de tension.
1.3.1.2 Manque local d’énergie réactive
L’effondrement de tension et fortement lié au manque de la puissance réactive requise pour
maintenir le profil de tension dans une marge de fonctionnement permise [12]. A un certain niveau
de charge, le réseau électrique ne satisfait pas la puissance réactive demandée par la charge à cause
des limitations sur la production et la transmission de la celle ci. La limitation de production de la
puissance réactive inclut les générateurs et les équipements FACTS ainsi que la puissance réactive
limitée des condensateurs [14]. La limite de production de la puissance réactive des générateurs et
due principalement aux contraintes thermiques exercées sur le bobinage rotorique et statorique.
Sans la limitation thermique, l’instabilité et l’effondrement de tension sont souvent impossibles.
Dans le même contexte, les équipements FACTS sont de très grande dimension.
Pour bien comprendre l’influence de la puissance réactive sur l’effondrement de tension, on
considère un réseau simple à deux noeuds de la figure 1.2.
V1
jX
I
V2
G
1
P12
2
P2, Q2
Figure 1.2 Réseau électrique à deux noeuds.
UATL 2007
10
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
S 2  P2  jQ2
V cos   jV1 sin   V2 
 V2  1

jX



P2 
(1.1)
*
V V cos   V22 
VV
1 2
sin   j  1 2

X
X


VV
1 2
sin   Pmax sin 
X
2
VV
1 2 cos   V2
Q2 
X
(1.2)
(1.3)
De même pour le noeud 1 :
P1 
V1V2
sin   Pmax sin 
X
(1.4)
Q1 
V12  V1V2 cos 
X
(1.5)
Pour la puissance active au bus 2, l’équation (1.2) montre clairement que lorsque la puissance P2
augmente, la turbine doit fournir plus d’énergie pour augmenter l’angle de puissance δ afin de
satisfaire la demande de la charge. Par conséquence, la puissance réactive Q2 diminuera ou même
reviendra négative à cause de la diminution du cosδ. Autrement, l’équation (1.5) montre que la
puissance réactive Q1 augmentera brusquement. Donc la différence entre la puissance réactive aux
noeuds 1 et 2 (pertes réactives) augmentera rapidement. On peut conclure que le transport de la
puissance réactive n’est pas économique à cause de l’augmentation des pertes réactives à des
niveaux de charge relativement élevés.
La meilleure solution de ce problème est de produire cette énergie localement, proche de la
consommation, par l’installation de batteries de condensateurs, de compensateurs synchrones
(génératrices synchrones avec P=0) ou des compensateurs statiques (FACTS).
UATL 2007
11
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.3.1.3 Charge appelée trop importante
L’une des causes de l’instabilité de tension correspond à une charge élevée. Ceci est du à
l’augmentation croissante de la demande et à un large transfert d’énergie entre compagnies [8, 9,
17, 18]. Une instabilité de tension peut se produire en particulier lorsque la charge élevée est plus
importante que celle prévue et le risque est d’autant plus grand que la consommation réactive est
également plus grande que prévue.
1.4 EFFONDREMENT DE TENSION DANS LE MONDE
A travers le monde entier, il y a plusieurs incidents qui causent l’effondrement de tension au
cours de vingt dernières années, la majorité de ces incidents depuis 1982 [19]. Le tableau 1 résume
quelques effondrements de tension dans le monde [12].
Tableau 1 Effondrement de tension dans le monde.
Date
Location
Durée
1 Décembre 1987
France
4-6 minutes
22 Août 1987
Tennessee, USA
10 seconds
23 juillet 1987
Tokyo, Japon
20 minutes
30 Novembre 1986
Brésil, Paraguay
2 seconds
27 Décembre 1982
Suède
55 seconds
30 décembre 1982
Florida
1-3 minutes
4 Août 1982
Belgique
4.5 minutes
19 Décembre 1978
France
26 minutes
22 Août 1970
Japon
30 minutes
Pour mieux comprendre le mécanisme d’effondrement de tension, l’historique de deux exemples
typiques sont ceux de la France et du Japon :
En France le 12 Janvier 1987 à 10h30 de matin, une heure avant l’effondrement du réseau, la
tension était normale. Pour différentes raisons, trois unités thermiques dans une station de
production sont arrêtées successivement entre 10h55 et 11h41. Treize secondes après, une
quatrième unité de production est arrêtée à cause de l’intervention du système de protection
thermique de rotor. Cette perte soudaine dans la génération, cause un décroissement de tension dans
UATL 2007
12
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
le réseau. Cette baisse de tension, augmente trente secondes après et se généralise dans les zones
adjacentes. Ce qui engendre des arrêts dans des autres unités de production. En conséquence, le
réseau français subit une perte de 9000 MW entre 11h45 et 11h50. Après cette grande perturbation,
le niveau de la tension a été restauré après un délestage approprié [19].
Dans la même année, le 23 février, à Tokyo (Japon), la température augmente à 39°C, ce qui a
engendré une augmentation de la demande au delà la valeur présumée, a cause de l’utilisation
massive des climatiseurs. Une instabilité de tension survient, entraînant le déclenchement des trois
postes électriques alimentant la région de Tokyo [19].
1.5 ANALYSE DE LA STABILITE DE TENSION
Généralement, il y a deux types d’analyse de la stabilité de tension : dynamique et statique.
L'analyse dynamique se base sur des simulations dans le temps afin de résoudre des équations non
linéaires différentielles/algébriques du système. Par contre, l'analyse statique est basée sur la
solution des équations conventionnelles ou modifiées du problème d’écoulement de puissance [12].
1.5.1 Analyse dynamique
L'analyse dynamique fournie des réponses temporelles précises dans le domaine de simulation
des réseaux électriques. La détermination précise des temps critiques des différents événements
menant à l'instabilité de tension est essentielle pour l'analyse post-perturbation et la coordination de
la protection et de la commande. Cependant, l’analyse dynamique consomme beaucoup de temps en
terme de calculs et de traitement des résultats. En outre, l'analyse dynamique ne fournit pas
aisément l'information concernant la sensibilité ou le degré d'instabilité de tension, ce qui la rend
impraticable pour l'analyse de certains conditions du fonctionnement du système ou pour
déterminer les limites de stabilité de la tension [12].
1.5.2 Analyse statique
A l’inverse de l’analyse dynamique, l’analyse statique de la stabilité de tension implique
seulement la solution des équations algébriques du problème d’écoulement de puissance. De ce fait,
du point et de vue calcul, elle est beaucoup plus efficace que l'analyse dynamique. L'analyse
statique est idéale pour la majeure partie des études dans lesquelles des limites de stabilité de
tension pour des pré-contingences et des post-contingences doivent être déterminées [12].
UATL 2007
13
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
Généralement, l’analyse de la stabilité statique de tension est utilisée afin de vérifier si un point de
fonctionnement est stable ou instable, évaluer la marge de stabilité d'un point de fonctionnement et
identifier le point d’effondrement de tension [21].
Dans notre travail, on s’intéressera seulement aux méthodes d’analyse statique. La section
suivante comporte quelques méthodes populaires dédiées à ce type de problème.
1.5.3 Méthodes d’Analyse de la stabilité statique de tension
Dans cette partie, des indices de la stabilité de tension sont proposés avec un modèle standard
d’écoulement de puissance où on assumera que la variation des puissances active et réactive est le
paramètre essentiel qui conduit le réseau à un effondrement de tension (ou à la singularité de la
matrice Jacobienne). Les écarts des puissances active et réactive du problème d’écoulement de
puissance sont définis par les équations suivantes.
 P( x,  ) 
 Q( x,  )   f ( x,  )  0


(1.6)
Où X représente le vecteur d’état du problème d’écoulement de puissance qui englobe les vecteurs
tensions V et déphasages  ; la variable  représente un paramètre scalaire ou le facteur de charge
utilisé pour simuler l’augmentation de la charge qui conduit à l’effondrement du système. La
variation de la charge et de la génération, est exprimée par les équations (1.7).
PDi   PDi 0
QDi  QDi 0
(1.7)
PGi   kGi PGi 0
Tel que :
 Pi 0 et Q i 0 les puissances active et réactive au nœud i.
 PGi 0 la puissance générée par la machine i dans le cas initial.
 k Gi le facteur de contribution de chaque générateur i pour satisfaire la demande de la charge.
UATL 2007
14
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.5.3.1 Valeur singulière minimale
Les valeurs singulières ont été utilisées dans les réseaux électriques en raison de leur
décomposition ortho-normale utilisée dans la matrice Jacobienne. Pour une matrice carrée A de
dimension n  n , nous avons :
n
A  X Y   xi i yit
t
(1.8)
i 1
Où, les valeurs singulières xi et yi sont les i th colonnes des matrices unitaires X et V.  est une
matrice diagonale des valeurs singulières réelles positives  i , telle que :
 2   2  ...   n  0
(1.9)
L’application de la méthode de décomposition en valeurs singulières dans l’étude de stabilité
statique de tension est utilisée pour suivre la valeur singulière minimale qui se rapproche du zéro
lors d’effondrement de tension.
Pour l’analyse des réseaux électriques, la matrice A correspond à la matrice Jacobienne
d’écoulement de puissance.
 P
 
J 
 Q
 
P 
V 

Q 
V 
(1.10)
Comme il est discuté dans [21], [22], la valeur singulière minimale de la matrice Jacobienne de
problème d’écoulement de puissance peut être utilisée comme un indice qui caractérise la proximité
du système au point d’effondrement de tension. Pour une matrice Jacobienne J de dimension n  n :
n
J  X Y t   xi i yit
(1.11)
i 1
En utilisant le modèle d’écoulement de puissance de l’équation (1.12). Les équations linéarisées
peuvent être exprimé comme suit :
UATL 2007
15
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
 P 
 V 
 Q   J   
 
 
(1.12)
L’équation (1.6) peut être écrite comme suit :
n
 V 
1 t  P 
1
t  P 

V

U

  
 Q    i vi ui  Q 
 
  i 1
 
(1.13)
La valeur singulière minimale est une mesure relative de la proximité de la matrice Jacobienne à
la singularité et en conséquence à la proximité du système au point d’effondrement de tension.
L’équation (1.6) peut êtres re-écrite comme suit :
  
1
t  P 
 V    n vn un  Q 
 
 
(1.14)
Nous pouvons obtenir les informations suivantes à partir des vecteurs singuliers droite et gauche :
 Les entrées maximales dans vn indiquent les tensions et les angles les plus sensibles aux
variations de la puissance réactive.
 Les entrées maximales dans un indiquent les noeuds les plus sensibles aux variations de la
puissance active.
1.5.3.2 Valeurs propres
Les valeurs propres sont très semblables à la méthode de la décomposition en valeurs singulières.
Cependant elles sont utilisées pour déterminer la proximité du point d’effondrement de tension. La
décomposition des valeurs propres de la matrice Jacobienne standard J peut êtres écrite comme
suit :
n
J  W U t   wi i uit
(1.15)
i 1
Où la matrice W représente la matrice des vecteurs propres droits wi , la matrice U représente la
matrice des vecteurs propres gauches ui , et 
représente la matrice diagonale des valeurs
propres i .
UATL 2007
16
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
Dans cette méthode, l’amplitude des valeurs propres donne une information sur la proximité du
système du point d’effondrement, lequel est caractérisé par une valeur propre presque nulle. D’autre
part l’amplitude des vecteurs propres fournit des informations sur le mécanisme d’effondrement de
tension, qui se résument dans les points suivants:
 L’entrée maximale du vecteur propre droite correspond au nœud le plus critique en terme de
la stabilité de tension.
 L’entrée maximale du vecteur propre gauche indique le nœud le plus critique en terme de la
variation de la puissance active.
L’inconvénient majeur de la méthode des valeurs singulières ainsi que la méthode des valeurs
propres est leur comportement fortement non linéaire prés du point d’effondrement de tension
lorsque les limites de production d’énergie réactive des générateurs sont considérées [21]. Les deux
indices montrent aussi une
chute importante brusque prés du point d’effondrement. Ces
inconvénients rendent les deux indices insuffisants pour une évaluation efficace de la stabilité de
tension.
1.5.3.3 Marge de charge (loading margin)
La marge de charge est l’indice le plus utilisé dans l’évaluation de la stabilité statique de
tension : c’est la quantité de la charge additionnelle qui causerait un effondrement de tension. En
termes plus simples, c’est la distance entre le point de fonctionnement actuel et le point qui
causerait l’effondrement de tension. Dans la plupart des études de stabilité statique de tension, la
charge est choisie comme paramètre essentiel qui conduit le système à l’effondrement.
Les avantages de la marge de charge, pris comme indice de stabilité de tension, peut se résumer
dans les points suivants :
 Simple à calculer, bien admis, et facile à comprendre.
 Exige seulement un modèle statique du réseau électrique.
 La marge de charge est un indice précis qui tient en compte la non linéarité du réseau
électrique ainsi que certaines limites telles que les limites sur la production d’énergie réactive.
UATL 2007
17
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
 Une fois la marge de charge calculée, il est facile de déterminer sa sensibilité vis-à-vis de
n’importe quel paramètre du réseau.
Malgré ces avantages, la marge de charge dispose de quelques inconvénients, qui peuvent être
résumés dans les poins suivants :
 Le calcul de la marge de charge est plus coûteux, comparée à d’autres indices.
 La marge de charge est basée sur la prévision de la direction d’augmentation de la charge,
mais cette information n’est pas toujours aisément disponible.
Dans la pratique, la méthode directe et la méthode continue sont utilisées pour l’évaluation de la
marge de charge [23]. Dans ce mémoire, on s’intéressera seulement à la méthode continue à cause
de ses avantages cités précédemment.
1.5.4 Ecoulement de puissance en continu (Continuation Power Flow)
L’une des méthodes simples de calcul de la marge de charge est le calcul d’écoulement de
puissance à chaque incrémentation de la charge, jusqu'à la divergence du programme.
Malheureusement cette méthode fournit des résultats non précis à cause de singularité ou de
mauvais conditionnement de la matrice Jacobienne autour du point d’effondrement [14]. En plus,
cette méthode classique ne trace pas la partie inférieure de la courbe de tension qui est utilisée par
d’autres méthodes d’analyse [14]. Ajjarapu et al. [23] proposent une méthode efficace nommée
Ecoulement de Puissance en Continu (CPF : Continuation Power Flow) afin d’éviter la singularité
de la matrice Jacobienne prés du point d’effondrement. L’algorithme est basé sur une reformulation légère des équations d’écoulement de puissance et l’application d’une méthode de
paramètrisation locale [23]. Durant l’application de cette méthode, la matrice Jacobienne reste bien
conditionnée même autour du point d’effondrement [23].
L’avantage de l’écoulement de puissance en continu réside, non seulement dans sa capacité de
trouver le point critique d’effondrement de tension mais aussi la détermination du tracer de la
courbe PV complète (partie supérieure et inférieure) d’une façon exacte. Ses caractéristiques
intéressantes amènent plusieurs compagnies de production d’énergie électrique à utiliser cette
méthode comme pourvoyeur d’un indice efficace d’évaluation de la proximité du système du point
d’effondrement [21].
UATL 2007
18
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
L’écoulement de puissance en continu se base sur la méthode Prévision-correction afin de
résoudre le problème d’écoulement de puissance avec un bon conditionnement de la matrice
jacobienne. Dans cette méthode, l’incrémentation de la charge est considérée comme une nouvelle
variable du problème d’écoulement de puissance [23]. La figure 1.3, illustre le principe de base de
l’écoulement de puissance en continu. D’après la figure on peut remarquer que la méthode démarre
par une solution de base (solution initiale du programme d’écoulement de puissance classique), puis
elle estime la prochaine solution correspondant à une valeur différente de la charge [23]. La
solution estimée est alors corrigée en utilisant la méthode classique de Newton-Raphson en la
considérant comme solution initiale du programme d’écoulement de puissance conventionnel [23].
Figure 1.3 Principe d’écoulement de puissance en continu.
Comme nous avons mentionné précédemment, l’écoulement de puissance en continu se base sur
une nouvelle formulation du problème d’écoulement de puissance classique. En plus des variables
d’état standard (amplitudes et angles de la tension), la charge est considérée comme une nouvelle
entrée dans le calcul. L’équation (1.16) représente la nouvelle formulation du problème
d’écoulement de puissance.
F ( , V ,  )  0,
UATL 2007
0    critique
(1.16)
19
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
Où,  représente le vecteur des angles des tensions nodales, V est le vecteur des amplitudes des
tensions nodales et  représente le facteur de la charge.
Ainsi, la dimension de F devient 2n1  n2  1 , tel que n1 représente de nombre de nœuds PQ et n2
représente le nombre de nœuds PV. La solution de base ( 0 , V0 , 0 ) est connue en utilisant
l’écoulement de puissance conventionnel, dans ce cas 0  0 (cas de base).
1.5.4.1 Prévision de la nouvelle solution
Une fois la solution de base trouvée  0  0  , une prévision de la prochaine solution peut être
faite par la tangente à la solution de base. Ainsi, la première tache dans le processus de prévision
consiste à calculer le vecteur tangent. La dérivée des deux parties de l’équation (1.16) donne :
d  F ( ,V ,  )  F d   FV dV  F d   0
(1.17)
La factorisation de (1.17) donne :
 F
 d 
F   dV   0
 d  
FV
(1.18)
Le côté gauche de l’équation (1.18) est une matrice des dérivées partielles multipliée par un
vecteur tangent qui représente l’estimation de la nouvelle solution. Il est clair que la dimension de la
matrice Jacobienne est augmentée par une colonne. Quand  F  a été inséré dans les équations
d’écoulement de puissance, le nombre d'équations est demeuré sans changement. L’ajout d’une
nouvelle équation s’avère donc nécessaire.
Ce problème peut être résolu en choisissant une grandeur différente de zéro pour un des
composants du vecteur tangent. En d'autres termes, si t est employé pour designer le vecteur
tangent :
 d 
t   dV  ,
 d  
UATL 2007
tk  1
(1.19)
20
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
Donc l’équation (1.12) devient :
 F


FV
ek
 
F     0 
  t    1
   
 
(1.20)
Où, ek est un vecteur ligne de telle façon que tous ses éléments soient égaux à zéro sauf le k th
élément égal 1. Une fois le vecteur tangent trouvé par la résolution de (1.20), la prévision peut être
faite comme suit :
 *   
 d 
 *  
 
V   V     dV 
  *    
 d  
 
(1.21)
Où « * » désigne la solution prédite pour une valeur de  ;  représente le pas de calcul choisi
de sorte que la solution prédite reste dans le rayon de convergence du correcteur. Une amplitude
constante de  peut être utilisée dans tout le processus de calcul [23].
1.5.4.2 Correction de la solution
Après la prévision de la nouvelle solution, une méthode de correction de cette dernière est
nécessaire. En plus, chaque technique fait appel à une méthode de paramétrisation afin de désigner
l’incrémentation dans la charge  . Dans notre cas, on utilise une paramétrisation locale [23] :
 
x  V  ,
  
x  R 2 n1  n2 1
(1.22)
Et aussi,
xk  
(1.23)
Où  est la valeur appropriée de xk nommée le paramètre continu. Le nouveau système d'équations
serait :
UATL 2007
21
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
 F  x 

   0
 xk   
(1.24)
Une fois la valeur appropriée  choisie, on applique la méthode de Newton-Raphson de telle
sorte que la solution présumée soit considérée comme une valeur initiale du problème d’écoulement
de puissance. Mais la question qui se pose est comment choisir xk (le paramètre continu) ?
1.5.4.3 Choix du paramètre continu
Il y a plusieurs techniques utilisées pour optimiser le choix du paramètre continu xk .
Mathématiquement, il correspond à la variable d'état qui a la plus grande valeur dans le vecteur
tangent. Plus simplement, ceci correspondrait à la variable d'état qui a le plus grand taux de
variation près de la solution donnée [23]. Dans le cas des réseaux électriques, le paramètre de
charge  est probablement le meilleur choix lorsque on commence par la solution de base. C'est
particulièrement vrai dans le cas des niveaux de charge relativement faibles. Dans ce cas, les
grandeurs tensions et déphasages demeurent assez constantes lors des variations de charge. Par
contre, une fois que la charge augmente autour du point critique, les grandeurs et les angles de
tension changent d’une façon remarquable et  serait alors un mauvais choix pour le paramètre
continu puisqu'il a connu une petite variation par rapport aux autres variables d'état. Pour cette
raison, le choix du paramètre continu xk devrait être réévalué à chaque étape. Une fois le choix
effectué pour la première étape, une bonne manière de choisir xk est d’utiliser l’équation suivante :
xk : tk  max  t1 , t2 , t3 ,... tm 
(1.25)
Où, t est le vecteur tangent de dimension m  2n1  n2  1 . Noter que xk porte le même signe que
l’élément tk du vecteur tangent.
UATL 2007
22
CHAPITRE 1
STABILITE DE TENSION
1.6 CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons présenté des notions de base sur la stabilité de tension d’un réseau
électrique. Le problème d’instabilité de tension peut être favorisé par plusieurs paramètres à savoir :
manque local de la puissance réactive, production trop éloignée de la consommation, ou le cas
d’une charge demandée très élevée.
Une analyse efficace de la stabilité de tension reste la solution appropriée pour s’éloigner du
point d’effondrement. Dans ce mémoire, nous avons présenté les deux types d’analyse qui existent,
à savoir, l’analyse statique et l’analyse dynamique. Puis nous avons focalisé notre étude sur
l’analyse statique de la stabilité de tension. Trois indices d’évaluation de la stabilité de tension sont
présentés : les valeurs propres, la valeur minimale singulière, et la marge de stabilité de tension.
Le calcul de la marge de stabilité de tension n’est pas aisé, car l’utilisation du programme
d’écoulement de puissance classique ne fournit pas des résultas précis, spécialement autour du point
d’effondrement de tension. Cette imprécision dans les résultats est due au problème de singularité
de la matrice Jacobienne qui provoque la convergence du programme de calcul. Pour résoudre ce
problème, la méthode d’écoulement de puissance en continu (CPF) est proposée pour vaincre la
singularité et le non conditionnement de la matrice Jacobienne.
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23
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX
ELECTRIQUES EN REGIME
PERMANENT
2.1 INTRODUCTION
Ce chapitre présente la modélisation des différents composants du réseau électrique à savoir : les
générateurs d’énergie électriques, les lignes de transport, les équipements de compensation
d’énergie réactive, les transformateurs et les charges électriques.
Plusieurs études ont montré l’importance de la représentation des charges dans l’analyse de la
stabilité de tension. La modélisation usuelle (puissance active et réactive constante) ne reflète pas
les caractéristiques réelles du réseau. En effet, deux autres types de modélisation statique sont
utilisés dans ce mémoire, à savoir : modèle à courant constant et celui à admittance constante. Ce
sont deux modèles qui expriment la puissance consommée par la charge en fonction de la tension.
Parmi les compensateurs d’énergie réactive qui sont largement utilisés ces dernières années, on
trouve les FACTS. Dans ce travail, on s’intéressera à deux types à savoir : le SVC et le TCSC. Une
représentation détaillée de ces équipements a été présentée dans ce chapitre.
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24
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.2 MODELISATION MATHEMATIQUE DU RESEAU ELECTRIQUE
2.2.1 Modèle de l’alternateur
Le groupe turbo-alternateur est considéré comme le cœur du réseau électrique, il assure la
production de l’énergie électrique demandée par le consommateur. Dans notre cas, le groupe turboalternateur est modélisé par une source de tension constante qui injecte, au niveau du nœud auquel
il est connecté, une puissance active Pg et réactive Q g .
L’alternateur possède deux boucles de régulation automatique, une pour le réglage automatique
de la puissance AGC (Automatic Generation Control) et l’autre pour le réglage automatique de la
tension AVR (Automatic Voltage Regulator).
La production de l’énergie réactive dans un générateur est limitée suivant l’équation (2.1)
Qgmin  Q  Qgmax
(2.1)
Cette limitation est due principalement à la limite thermique du bobinage statorique et rotorique
ainsi que la limitation de l’angle rotorique permise (  30 ).
2.2.2 Modèle de la ligne de transport
La ligne de transport à été modélisée par un schéma équivalent en
 qui se compose d’une
impédance série (résistance R en série avec une réactance inductive X), et une admittance shunt qui
consiste en une susceptance capacitive B (due a l’effet capacitif de la ligne avec la terre) en
parallèle avec une conductance d’isolation G. Voir figure 2.1.
R+jX
i
(G+jB)/2
j
(G+jB)/2
Figure 2.1 Modèle en  d’une ligne électrique.
UATL 2007
25
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.2.3 Modèles des nœuds du réseau
Les nœuds dans un réseau électrique sont divisés en trois types :
 Nœud de charge (PQ) : c’est un nœud connecté directement avec la charge, il ne possède
aucune source d’énergie. Les puissances active et réactive sont considérées connues.
 Nœud générateur (PV) : c’est un nœud connecté directement avec un générateur ou une
source d’énergie réactive. la puissance active et la tension sont considérées connues. La
production de l’énergie réactive est limitée par des valeurs inférieures et supérieures, Qgmin et
Qgmax respectivement. Si l’une des deux limites est atteinte, la valeur se fixe à cette limite et
la tension se libère, le nœud devient alors un nœud (PQ).
 Nœud bilan (slack bus) : c’est un nœud connecté avec un générateur relativement puissant ;
il est considéré dans le calcul d’écoulement de puissance afin de compenser les pertes
actives et assurer l’égalité entre la demande et la génération de la puissance active. Dans un
noeud bilan, l’amplitude et l’angle de la tension sont supposés connus.
2.2.4 Modèle du transformateur
Un transformateur de l’énergie électrique est représenté par un quadripôle en  non symétrique.
Les grandeurs associées sont le rapport de transformation a et l’impédance de fuite. Les rapports
aij sont inclus dans les éléments de la matrice admittance, c’est-à-dire que les susceptances de la
matrice admittance Bij sont vues comme des fonctions de rapports de transformation a (figure 2.2).
Yt/aij
i
(aij -1)Yt/ aij
j
(1- aij)Yt/ aij 2
Figure 2.2 Modèle d’un transformateur.
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26
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
Dans un réseau électrique, les transformateurs qui sont connectés directement à la charge sont
des transformateurs régleur de charge (LTC). Ils disposent des régulateurs automatiques de la
tension dans des limites permises de fonctionnement, indépendamment des fluctuations de tension
primaire [13].
2.2.5 Equipements de compensation de l’énergie réactive
Le transport de l’énergie réactive pour une longe distance n’est pas économique (augmentation
des pertes actives). De ce fait, la production de cette énergie doit être le plus prés possible des
points de consommation. Dans un réseau électrique, on peut citer deux types d’équipements de
compensations :
 Compensateur synchrone : c’est un alternateur qui produit seulement une puissance réactive.
Il est modélisé par un nœud PV de puissance active nulle ( P  0 ) avec une tension
constante. L’angle de la tension et la puissance réactive est calculé par le programme
d’écoulement de puissance. La génération de la puissance réactive est limitée selon
l’équation (2.1).
 Compensateurs statiques : il existe deux types du compensateurs statiques :
- Banks de condensateurs : ils sont installés au niveau des noeuds ainsi que des lignes de
transport. La manipulation de ces condensateurs est effectuée manuellement. Dans notre
travail, ils sont modélisés par une admittance shunt avec une susceptance fixe Bc introduite
dans la matrice admittance.
- Dispositifs FACTS : ils sont modélisés généralement par une inductance variable
connectée en parallèle avec une capacité fixe. A cause de leurs importances dans la
conduite et le fonctionnement des réseaux électriques, une description relativement
détaillée de ces équipements sera présentée dans une section indépendante.
2.2.6 Modélisation des charges
La modélisation de la charge joue un rôle très important dans l’étude et l’analyse de la sécurité
de tension [9]. Dans la littérature, il existe deux types de modélisation des charges électriques à
savoir, la modélisation statique et celle dynamique. La modélisation dynamique est relativement
compliquée ; la puissance consommée par la charge est une fonction de la tension et du temps ; Elle
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27
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
est utilisée généralement pour l’étude et l’analyse de la stabilité transitoire. La modélisation statique
est mieux adaptée aux programmes d’écoulement de puissance [24].
Dans cette section, en présentes différents modèles statiques qui expriment la puissance active et
réactive de la charge en fonction de la tension de noeud [13, 25]. Le modèle exponentiel de la
charge est défini par les équations (2.2) et (2.3).
V 
P  P0   
V 0 
np
V 
Q  Q0   
V 0 
(2.2)
nq
(2.3)
Avec :

P0 et Q0 : puissance active et réactive consommées à une tension de référence V0  1 pu .

n p et nq : constantes dépendant du type de la charge.
En pratique, les valeurs de n p et nq de différents types de charges sont trouvées empiriquement
[13]. Le tableau 2.1, représente les différents types de charges avec leurs exposants spécifiques [26].
Tableau 2.1 Valeurs des exposants np et nq pour différents types de charge.
Types de charge
np
nq
Climatisation
0.50
2.50
Chauffage électrique
2.00
0.00
Eclairage fluorescent
1.00
3.00
Pompes, climatiseurs,
moteurs
0.08
1.60
Grands moteurs
industriels
0.05
0.50
Petit moteur industriel
0.10
0.60
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28
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
Selon les valeurs de n p et nq , on peut présenter les différents modèles statiques à savoir :
 Modèle à puissance constante (modèle standard PQ) : les puissances active et réactive ne
dépendent pas de la tension ( n p  nq  0 ).
 Modèle à courant constant : la puissance varie directement avec le module de la tension
n
p
 nq  1
 Modèle à impédance constante : la puissance varie avec le carré du module de la tension
n
p
 nq  2 
2.3 SYSTEMES DE TRANSMISSION FLEXIBLES EN COURANT
ALTERNATIF (FACTS)
Les dispositifs FACTS (Flexible Alternative Current Transmission Systems) peuvent contribuer
à faire face aux problèmes rencontrés dans l’exploitation des réseaux électriques. Le concept
FACTS, introduit en 1986 par Electric Power Research Institute (EPRI), regroupe l’ensemble des
dispositifs, basés sur l’électronique de puissance, qui permettent d’améliorer l’exploitation d’un
réseau électrique [27]. Son développement est étroitement lié aux progrès réalisés dans le domaine
des semi-conducteurs de puissance et plus particulièrement des éléments commandables tels que le
thyristor et le thyristor GTO. Ces éléments jouent le rôle d’interrupteurs très rapides ; ce qui confère
aux dispositifs FACTS une vitesse et une fiabilité bien supérieures à celles des systèmes
électromécaniques classiques.
Des études et des réalisations pratiques ont mis en évidence l’énorme potentiel des dispositifs
FACTS [28, 29]. Avec leur capacité à modifier l’impédance apparente d’une ligne de transport, ils
peuvent être utilisés aussi bien pour le contrôle de la puissance active que celui de la puissance
réactive et de la tension. En régime permanent, les FACTS permettent d’utiliser les lignes plus prés
de leur limite thermique en repoussant les limitations liées à la stabilité. Leur vitesse de commande
élevée leur confère également un grand nombre d’avantages en régime transitoire ainsi qu’en cas de
court-circuit. De manière générale, les dispositifs FACTS agissent en fournissant ou en absorbant
de la puissance réactive, en augmentant ou en réduisant la tension aux nœuds, en contrôlant
l’impédance des lignes ou en modifiant les phases des tensions.
UATL 2007
29
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
Un autre avantage des équipements FACTS réside dans le fait que cette technologie autorise une
extension des limites du réseau d’une manière échelonnée en installant les FACTS pas à pas
lorsqu’ils deviennent nécessaires. Il est ainsi possible de répartir les investissements dans le temps.
De plus, avec les FACTS de la dernière génération, il est possible de déplacer une installation en
l’espace de quelques mois, si les conditions d’exploitation venaient à changer en rendant le
dispositif inutile dans son emplacement initial [30].
Plusieurs types de FACTS avec des architectures et des technologies différents, ont été
développés. Parmi eux, les plus connus sont le SVC (Static Var Compensator), le TCSC (Thyristor
Controlled Series Capacitor), le STATCOM (Static Synchronous Compensator), et l’UPFC
(Unified Power Flow Controller). Chacun de ces dispositifs possède ses propres caractéristiques et
peut être utilisé pour répondre à des besoins bien précis. Le choix du dispositif approprié est donc
essentiel et dépend des objectifs à atteindre. La position de l’installation dans le réseau est
également un paramètre important pour son efficacité. Lorsque plusieurs dispositifs sont insérés
dans un réseau, il convient que leurs effets soient coordonnés afin qu’ils n’agissent pas de façon
opposée. Dans ce cas, la stratégie de contrôle revêt une importance toute particulière.
2.3.1 Définitions et généralités
Selon l’IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), la définition du terme FACTS
est la suivante : Système de Transmission en Courant Alternatif comprenant des dispositifs basées
sur l’électronique
de puissance et d’autres dispositifs statiques utilisés pour accroître la
contrôlabilité et augmenter la capacité de transfert de puissance du réseau [30].
Avec leurs aptitudes de modifier les caractéristiques apparentes des lignes, les FACTS sont
capables d’accroître la capacité du réseau dans son ensemble en contrôlant les transits de
puissances. Il est donc important de souligner que les dispositifs FACTS ne peuvent pas augmenter
la capacité thermique des lignes de transport. En revanche, ils permettent d’utiliser les lignes plus
proches de leurs limites en repoussant d’autres limitations, en particulier celles liées à la stabilité.
Finalement, il faut noter que les FACTS ne remplacent pas la construction de nouvelles lignes, Ils
sont un moyen de différer les investissements en permettant une utilisation plus efficace du réseau
existant.
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30
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.2 Rôle des dispositifs FACTS
Le développement des dispositifs FACTS est essentiellement dû aux progrès réalisés dans le
domaine des semi-conducteurs de puissance et plus particulièrement des éléments commandables
tels le thyristor et le thyristor GTO. Les FACTS représentent une alternative aux dispositifs de
réglage de puissance utilisant des techniques passives : bobine d’induction et condensateur
déclenchés par disjoncteur, transformateur déphaseur à régleur en charge mécanique, etc. dans les
dispositifs FACTS, les interrupteurs électromécaniques sont remplacés par des interrupteurs
électroniques. Ils disposent ainsi de vitesses de commande très élevées et ne rencontrent pas les
problèmes d’usure de leurs prédécesseurs. De ce fait, les FACTS possèdent une très grande fiabilité
et une flexibilité pratiquement sans limite.
Dans un réseau électrique, les FACTS permettent de remplir des fonctions tant en régime
stationnaire qu’en régime transitoire. Ils agissent généralement en absorbant ou en fournissant de la
puissance réactive, en contrôlant l’impédance des lignes ou en modifiant les angles des tensions. En
régime permanent, les FACTS sont utilisés principalement dans les deux contextes suivants :
 Le maintien de la tension à un niveau acceptable en fournissant de la puissance réactive
lorsque la charge est élevée et que la tension est trop basse, alors qu’à l’inverse ils en
absorbent si la tension est trop élevée;
 Le contrôle des transits de puissances de manière à réduire, voire supprimer, les surcharges
dans les lignes ou les transformateurs ainsi que pour éviter les flux de bouclage dans le
réseau. Ils agissent alors en contrôlant la réactance des lignes et en ajustant les déphasages.
De par leur vitesse de commande élevée, les FACTS possèdent de nombreuses qualités en
régime dynamique [30]. Ils permettent en particulier :
 D’accroître le réserve de stabilité transitoire ;
 D’amortir les oscillations de puissance ;
 De supporter de manière dynamique la tension.
Les dispositifs FACTS ont également une action bénéfique sur les niveaux des courants de courtcircuit ainsi qu’en cas de résonance hyposynchrone.
UATL 2007
31
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.3 Types des dispositifs FACTS
Les systèmes FACTS peuvent être classés en trois catégories [31] :
 Les compensateurs parallèles ;
 Les compensateurs séries ;
 Les compensateurs hybrides (série - parallèle).
Dans cette section, nous essayons de présenter les FACTS les plus populaires appartenant à
chaque catégorie :
2.3.3.1 Compensateurs Parallèles
Les compensateurs parallèles sont utilisés depuis longtemps dans les réseaux électriques
principalement pour contrôler les tensions aux niveaux désirés lorsque les conditions du système
changent. Des réactances fixes ou mécaniquement commutés sont appliqués pour réduire au
minimum les surtensions du système dans des conditions de faible charge et des condensateurs
shunt fixés ou mécaniquement commutés sont appliqués afin de maintenir des niveaux de tension
dans des conditions de forte charge. Dans les deux cas, les compensateurs shunts produisent une
impédance réactive shunt, variable qui est ajustée en fonction des conditions du réseau de transport.
Les commutateurs mécaniques avaient commencé à être remplacés par les commutateurs
statiques à base de thyristors vers la fin des années 70 [30]. Actuellement, les compensateurs shunts
et notamment le SVC sont largement répandus dans les réseaux électriques.
2.3.3.1.1 Compensateur statique de puissance réactive (SVC)
IEEE définit le SVC (Static Var Compensator) comme un générateur (ou absorbeur) statique
d’énergie réactive, shunt, dont la sortie est ajustée en courant capacitif ou inductif afin de contrôler
des paramètres spécifiques du réseau électrique, typiquement la tension des nœuds [32].
Le compensateur statique de puissance réactive SVC est le premier dispositif FACTS qui
apparaît dans les années 1970 pour répondre à des besoins de stabilisation de tension rendue
fortement variable du fait de charges industrielles très fluctuantes telles les laminoirs et les fours à
arc. Les SVC sont des FACTS de première génération. Ils utilisent des thyristors classiques,
commandables uniquement à l’amorçage.
UATL 2007
32
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.3.1.2 Compensateur statique synchrone (STATCOM)
IEEE définit le STATCOM (Static Synchronous Compensator) comme un générateur synchrone
fonctionnant comme un compensateur parallèle de l’énergie réactive dont le courant capacitif ou
inductif généré peut être contrôlé séparément de la tension du réseau [32].
Le compensateur statique synchrone STATCOM, autrefois appelé compensateur statique de
puissance réactive avancé fait partie de la deuxième génération des FACTS. Il correspond à
l’équivalent statique exact de la machine synchrone classique fonctionnant en compensateur, mais
sans inertie. Il est principalement utilisé pour la compensation dynamique des réseaux, afin de
faciliter la tenue de tension, d’accroître la stabilité en régime transitoire et d’amortir les oscillations
de puissance.
2.3.3.2 Compensateurs Séries
La réactance des lignes est une des limitations principales de la transmission de courant alternatif
dans les longues lignes. Pour remédier à ce problème, la compensation série capacitive a été
introduite afin de réduire la partie réactive de l’impédance de la ligne. Les dispositifs FACTS de
compensation série sont des évolutions des condensateurs série fixes. Ils agissent généralement en
insérant une tension capacitive sur la ligne de transport qui permet de compenser la chute de tension
inductive.
2.3.3.2.1 Compensateur série commuté par thyristor (TSSC)
IEEE définit le TSSC (Thyristor Switched Series Capacitor) comme un compensateur capacitif
qui se compose de plusieurs condensateurs en série. Chaque condensateur commandée par un
commutateur de thyristor qui assure une compensation par palier [32].
Le Compensateur série commuté par thyristor TSSC (Thyristor Switched Series Capacitor), est
le premier qui apparaît dans la famille des compensateurs série. Il est constitué de plusieurs
capacités montées en série, chacun étant shunté par une valve à thyristors montée en dérivation.
2.3.3.2.2 Compensateur série commandé par thyristor (TCSC)
IEEE définit le TCSC comme étant un compensateur à réactance capacitif qui consiste en une
série de condensateurs en parallèle avec des inductances commandées par thyristor afin de pouvoir
UATL 2007
33
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
assurer une variation homogène de la réactance capacitive [32]. Le TCSC permet une compensation
qui varie entre 20% inductive et 80% capacitive [20].
2.3.3.2.3 Compensateur série synchrone (SSSC)
IEEE définit le SSSC (Static Synchronous Series Compensator) comme étant un générateur
synchrone statique fonctionnant sans source d’énergie électrique extérieure comme les
compensateurs série, dont la tension de sortie est contrôlable indépendamment du courant de ligne
afin d’augmenter ou de diminuer la chute de tension globale, et ainsi de contrôler la puissance
électrique transmise [32].
Le compensateur série synchrone SSSC est un dispositif FACTS de deuxième génération. Il est
formé d’un convertisseur de tension inséré en série dans la ligne par l’intermédiaire d’un
transformateur. Le SSSC agit sur le courant de la ligne en insérant une tension en quadrature avec
ce dernier, la tension pouvant être capacitive ou inductive. Un SSSC est capable d’augmenter ou de
diminuer le flux de puissance dans une ligne. Le comportement d’un SSSC peut être assimilé à
celui d’un condensateur ou d’une inductance série réglable. La différence principale réside dans le
fait que la tension injectée n’est pas en relation avec le courant de ligne. De ce fait, le SSSC
présente l’avantage de pouvoir maintenir la valeur de tension insérée constante, indépendamment
du courant. Il est donc efficace tant pour des petites charges (faibles courants) que pour des grandes
charges. Un autre avantage du SSSC réside dans le fait que ce type de compensateur n’insère pas de
condensateur en série avec la ligne de transport. De ce fait, il ne peut pas provoquer de résonance
hyposynchrone. De plus sa taille est réduite en comparaison au celle du TCSC.
Les applications pour les quelles sont utilisées les SSSC sont identiques à celles où l’on a recours
à des condensateurs séries réglables. Ce sont plus particulièrement :
 La commande statique et dynamique des flux de puissances ;
 Amélioration de la stabilité angulaire ;
 Atténuation des oscillations électromécaniques.
UATL 2007
34
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.3.3 Compensateur série parallèle (hybride)
Les compensateurs FACTS cités précédemment (série ou parallèle), permettent d’agir
uniquement sur un des trois paramètres déterminant la puissance transmise dans une ligne (tension,
impédance et angle). Par une combinaison des deux types de dispositifs, il est possible d’obtenir des
dispositifs hybrides capables de contrôler simultanément les différentes variables précitées.
2.3.3.3.1 Contrôleur de transit de puissance universel (UPFC)
IEEE définit l’UPFC comme étant une combinaison entre un STATCOM et un SSSC couplés via
une liaison à courant continu, pour permettre un écoulement bidirectionnel de la puissance active
entre la sortie du SSSC et celle du STATCOM. L’UPFC permet le contrôle de la tension, de
l’impédance, et de l’angle ou d’écoulement de la puissance active et réactive de la ligne [32].
L’UPFC est capable de remplir toutes les fonctions des autres dispositifs FACTS. Il peut être
utilisé particulièrement pour :
 Réglage de la tension ;
 Contrôle de flux de puissance active et réactive ;
 Amélioration de la stabilité ;
 Limitation des courants de court-circuit ;
 Amortissement des oscillations de puissance.
2.3.3.3.2 Transformateur déphaseur commandé par thyristor (TCPST)
IEEE définit le TCPST (Thyristor Controlled Phase Shifting Transformer) comme étant un
transformateur déphaseur ajusté par thyristor afin de fournir un angle de phase rapidement variable
[32].
Transformateur déphaseur commandé par thyristor TCPST, est le premier équipement FACTS
combiné.
UATL 2007
35
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.3.3.3 Régulateur d’angle de phase commandé par thyristor (TCPAR)
IEEE définit le TCPAR (Thyristor Controlled Phase Angle Regulator), comme étant un
transformateur déphaseur qui permet le contrôle du déphasage entre ses tensions terminales tout en
gardant leurs amplitudes invariables [32].
Le régulateur d’angle de phase commandé par thyristor TCPAR, contrairement au TCPST, est
capable de fournir (ou d’absorber) l’énergie réactive au réseau.
2.3.3.3.4 Régulateur de tension commandé par thyristor (TCVR)
IEEE définit le TCVR (Thyristor Controlled Voltage Regulator) comme étant un transformateur
contrôlé par thyristor qui permet la commande de la phase de tension d’une manière continue [32].
Le régulateur de tension commandé par thyristor TCVR, est un autre membre de la famille des
FACTS combinés. Leur prix relativement réduit, leur confère un avantage certain dans le contrôle
de l’écoulement d’énergie réactive.
2.3.4 Dispositifs FACTS en Exploitation
A ce jour, plusieurs centaines d’installations FACTS sont exploitées ou en cours de réalisation
dans le monde. Un petit nombre de fabricants se partagent le marché. La majorité des dispositifs
sont des compensateurs de puissance réactive de type SVC utilisés pour le maintien de la tension
dans le réseau.
La grande majorité de ces dispositifs est placée dans le réseau pour accomplir une tache bien
précise et très locale. Rares sont les cas où plusieurs dispositifs peuvent interagir entre eux et
nécessitent un contrôle coordonné. Dans cette section, quatre installations en exploitation sont
présentées.
2.3.4.1 Condensateur Série Avancé (ASC) de Kayenta [30]
Le condensateur série avancé ASC (Advanced Series Capacitor) est le nom commercial donné
par le fabricant Siemens au dispositif série mixte comprennent un TCSC et un condensateur
conventionnel. Un FACTS de ce type a été mis en service en 1992 à Kayenta (Arizona, USA), sur
le réseau Western Area Power Administration (WAPA). Il a pour but d’utiliser une ligne 230 kV,
longue de 230 km, à sa capacité de transport maximale. Celle-ci avait été dimensionnée pour
UATL 2007
36
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
transporter une puissance de 300 MW. De nouvelles lignes 345 kV et 500kV situées sur des
chemins parallèles en empêchaient la pleine utilisation. Avec l’augmentation des échanges,
certaines lignes étaient proches de leurs limites alors que la ligne 230 kV était sous-exploitée.
L’installation d’un ASC au milieu de la ligne permet d’accroître de 100 MW le transit de puissance
dans la ligne et de l’exploiter proche de sa limite thermique. L’ASC permet une compensation
réactive maximale de 330 MVar.
2.3.4.2 TCSC d’Imperatriz [30]
Un TCSC est utilisé de puis 1999 pour réaliser l’interconnexion nord-sud de Brésil. Ce pays
possède deux systèmes électriques principaux qui n’étaient pas interconnectés. La puissance
transportée est à 95% d’origine hydraulique. Pour bénéficier de la diversité hydrologique, une
liaison consistant en un corridor de transmission de 500 kV, d’une longueur dépassant 1000 km a
été construite. La ligne à été compensée par des compensateurs série en plusieurs endroits.
Un TCSC a été implanté au poste d’Imperatriz. Il permet une compensation comprise entre 5%
et 15% de la ligne. Son rôle est principalement d’amortir les oscillations de puissance interzones à
basse fréquence (0.2 Hz) qui peuvent présenter un risque pour la stabilité du système. De plus, la
réactance apparente inductive du TCSC aux fréquences hyposynchrones est bénéfique en cas de
résonance introduite par la compensation.
2.3.4.3 STATCOM de Sullivan [30]
C’est en 1995 que fut installé un STATCOM à la sous-station de Sullivan, dans le réseau de la
Tennessee Valley Authority (TVA). Ce poste est alimenté par le réseau 500 kV, via un
transformateur de 1200 MVA avec un régleur en charge, ainsi que par quatre lignes 161 kV. Situé
en bordure du réseau 500 kV de la TVA, la poste 500 kV de Sullivan était exposé à des surtensions
en période creuse alors que la tension était trop faible sur le noeud 161 kV pendant les périodes de
forte charge. De plus, la TVA possède une interconnexion avec la compagnie American Power
Electric (AEP) par laquelle des oscillations de puissance pourraient arriver. Un STATCOM d’une
puissance initiale 100 MVar permet de contrôler la tension du poste 161 kV lorsque la charge
augmente afin d’éviter les changement de prises du transformateur 500/161 kV. L’utilisation du
STATCOM pour le réglage de la tension en ce nœud a permis de réduire le nombre d’interventions
du transformateur d’environ 250 à (2-5) fois par mois.
UATL 2007
37
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.4.4 UPFC d’Inez [30]
Le premier UPFC au monde a été installé en, 1998 à Inez (Kentucky, USA), sur le réseau de
l’American Power Electric (AEP). Cette région est alimentée par des unités de production situées à
sa périphérie par le biais de longues lignes de transport 138 kV. Dans des conditions normales
d’exploitation, un grand nombre de ces lignes transportaient des puissances de l’ordre de 300 MVA.
Cette valeur est supérieure à la puissance naturelle des lignes à ce niveau de tension. Les lignes
fonctionnaient proches de leur limite thermique, ce qui laissait peu de marge de sécurité en cas de
défaut. De plus, les niveaux de tension dans la région d’Inez étaient généralement bas, soit aux
environs 95% de la valeur nominale.
Pour renforcer le système, une ligne à haute capacité 138 kV, 950 MVA et un transformateur
345/128 kV ont été construits. Un UPFC d’une puissance de 320 MVA a été installé. Il a pour but
l’utilisation de la pleine capacité de la nouvelle ligne de manière à soulager le reste du réseau d’une
part, et le maintien de la tension de la région d’autre part. Des réactance séries ont également étaient
insérées dans les lignes de plus faible capacité afin d’en limiter la charge.
Dans les conditions normales d’exploitation. L’UPFC est géré de sorte que le transit de
puissance conduise à un minimum de pertes dans le réseau. Une diminution moyenne des pertes de
24 MW a pu être observée. Lorsque la puissance circulant dans une des lignes critiques du réseau
dépasse 90% de sa capacité, l’installation est contrôlée de manière à accroître le transit dans la
nouvelle ligne pour réduire le courant dans les lignes surchargées. En cas de défaillance dans le
réseau, l’UPFC permet d’éviter l’écroulement de tension en maintenant la tension à la sous station
d’Inez.
2.3.5 Coût des dispositifs FACTS
Mis à part les avantages techniques apportés par les FACTS, d’autres critères liés au coût doivent
êtres pris en considération dans la décision d’installer un dispositif. Sur le plan économique, le
critère généralement adopté dans l’évaluation des bénéfices obtenus par un FACTS est que
l’accroissement des revenues doit excéder les coûts d’exploitations, de maintenance et
d’amortissement de l’installation.
Le coût d’une installation FACTS dépend principalement des facteurs tels que les performances
requises, la puissance de l’installation, le niveau de tension du système ou encore la technologie du
semi-conducteur utilisé.
UATL 2007
38
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.6 Synthèse
Les différents dispositifs FACTS présentés dans cette section possèdent tous leurs propres
caractéristiques tant en régime permanent qu’en régime transitoire. Chaque type de dispositif sera
donc utilisé pour répondre à des objectifs bien définis. Des considérations économiques entrant
également dans le choix du type d’installation sont a discuter. Le tableau 2.2 synthétise les
domaines d’applications des différentes technologies de FACTS. Le nombre « + » est proportionnel
à l’efficacité du dispositif [30].
Tableau 2.2 Domaines d’applications des dispositifs FACTS
Dispositif
Contrôle du
transit de
puissance
Contrôle de la
tension
Stabilité
transitoire
Stabilité statique
SVC
+
+++
+
++
STATCOM
+
+++
++
++
TCSC
++
+
+++
++
SSSC
++
+
+++
++
TCPST
+++
+
++
++
UPFC
+++
+++
+++
+++
2.3.7 SVC et TCSC
Comme déjà mentionné précédemment, notre travail consiste à optimiser la marge de la stabilité
statique de tension ainsi que la réduction des pertes actives (problème d’optimisation multiobjectif).
De ce fait, il faut choisir, parmi les équipements FACTS, ceux qui ont des applications spécifiques
tels le maintien de la tension et le contrôle de l’écoulement de puissance : le SVC étant le plus
efficace dans la compensation de l’énergie réactive ainsi que le maintien de la tension et le TCSC
est le meilleur choix pour un contrôle approprié du transit de puissance et par suite la réduction des
pertes actives dans le réseau.
De ce fait, nous avons opté, dans la suite de notre travail, pour L’utilisation combinée du SVC et
du TCSC en vue d’assurer de meilleures performances dynamiques du système avec plus de
rentabilité et d’efficacité.
UATL 2007
39
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.3.7.1 Structure du SVC et TCSC
a. SVC
La figure 2.3 présente l’une des structures possibles d’un SVC. Comme mentionné
précédemment, le SVC est un équipement de compensation parallèle, composé d’une capacité fixe
connectée en parallèle avec une réactance variable par le biais d’un gradateur. La valeur de la
susceptance équivalente est une fonction de l’angle d’amorçage des thyristors [87].
B SVC  B c  B L  
(2.4)
B c  Cw

Tel que 
1
 B L ( )   wL

 2 sin(2 ) 

1 

 

(2.5)
Avec :
  : L’angle d’amorçage des thyristors tel que 0    90 ,
 w : la pulsation.
Figure 2.3 Structure d’un SVC
Etant donné que l’angle d’amorçage des thyristors est limitée entre 0° et 90°, cela implique que
la susceptance variable B SVC est aussi limitée entre B SVC min et B SVC max .
b. TCSC
Le TCSC est un compensateur série, utilisé principalement pour varier la réactance de la ligne du
réseau, afin de contrôler le transit de la puissance entre deux nœuds. Voire équation (2.6)
P12 
UATL 2007
V 1V 2
sin 12
X TCSC
(2.6)
40
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
Semblable au SVC, le TCSC est constitué d’une inductance variable et d’une capacité fixe (voir
figure 2.3). La réactance équivalente d’un TCSC et une fonction de l’angle d’amorçage de thyristor.
X TCSC  
1
B L    B c
(2.7)
A cause des limites techniques, la réactance X TCSC du TCSC varie entre une valeur minimale
X TCSC min et maximale X TCSC max .
2.3.7.2 Modélisation mathématique du SVC et TCSC
Pour pouvoir observer l’impact de ces deux types de FACTS (SVC et TCSC) dans un réseau
électrique, il est nécessaire de les représentés par des modèles mathématiques appropriés. Ceux-ci
sont ensuite intégrés dans des programmes de calcul permettant de simuler leurs effets sur la
stabilité de tension ainsi que les pertes actives.
Plusieurs modèles de FACTS ont été développés, tant pour des régimes de fonctionnement
statique (qui est notre cas) que dynamique [30]. Certains modèles sont spécifiques à un type de
dispositif alors que d’autres, plus généraux, sont utilisés pour présenter plusieurs FACTS [30].
Dans le cadre de ce travail, c’est le rôle des dispositifs FACTS dans la conduite des réseaux qui
est étudié. Dans ce contexte, nous nous restreignons à l’étude des régimes permanents et plus
particulièrement aux effets du TCSC et SVC sur la stabilité statique de tension ainsi que sur les
pertes actives. Les deux types de FACTS sont modélisés pour des régimes statiques. Les régimes
transitoires n’étant pas abordés dans ce mémoire.
Plusieurs modèles mathématiques du SVC et du TCSC en régime permanent sont proposés dans
la littérature. Dans [30], la méthode de la puissance injectée est proposée. Les caractéristiques
électriques des équipements sont traduites et remplacées par des puissances injectées. Une autre
méthode consiste à modéliser les SVCs et TCSCs comme des réactances variables dont valeurs
dépendent de l’angle d’amorçage des thyristors [33]. Cette deuxième modélisation est appliquée
dans notre étude afin de faciliter l’implantation des modèles mathématiques des FACTS dans
l’algorithme d’écoulement de puissance.
UATL 2007
41
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
a. Modèle du SVC
La figure 2.4 représente la modélisation d’un SVC par une admittance variable dont la valeur est
limitée selon l’équation (2.8). L’énergie réactive fournie (ou absorbée) par le SVC au noeud i est
donnée par l’équation (2.9).
i
Vi
jB SVC
Figure 2.4 Modèle d’un SVC
B SVC min  B SV C  B SV C max
(2.8)
QSVC  Vi 2  BSVC
(2.9)
b. Modèle du TCSC
La figure 2.5 présente l’implantation d’un TCSC dans une ligne électrique. La réactance totale
est la somme algébrique de la réactance du TCSC et la réactance réelle de la ligne. Voir l’équation
2.10.
j
i
X TCSC
R+jX
jB/2
jB/2
Figure 2.5 Modèle d’un TCSC
X ij  X line  X TCSC
UATL 2007
(2.10)
42
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
Afin d’éviter la surcompensation dans la ligne, la valeur de la réactance X TCSC dépend de la
valeur de la réactance de la ligne X line [3,6]; telle que :
0.8 X line  X TCSC  0.2 X line
(2.11)
2.4 PLACEMENT OPTIMAL DES DISPOSITIFS FACTS
2.4.1 Etat de l’art [30]
Un grand nombre de travaux de recherche a été réalisé sur la détermination de l’emplacement
optimal de dispositifs FACTS dans un réseau électrique. Ils se différencient principalement les uns
des autres par :
 Les régimes de fonctionnement pour lesquels les dispositifs sont installés ;
 Les modèles adoptés pour les dispositifs FACTS ;
 Les méthodes et les critères d’optimisation ;
 La taille et la topologie des réseaux utilisés dans les simulations.
En régime dynamique, les FACTS sont généralement utilisés pour amortir les oscillations de
puissance dans le système. Dans [59], une méthode basée sue la sensibilité des valeurs propres en
petites perturbations est présentée. Elle est appliquée au placement de dispositifs shunts pour
amortir les oscillations électromécaniques. Des méthodes similaires ont été développées pour des
FACTS de type série [60] et pour des dispositifs déphaseurs [61].
En régime stationnaire, les dispositifs FACTS sont utilisés pour contrôler les transits de
puissances dans les lignes ainsi que les tension aux nœuds. Les objectifs recherchés peuvent être
d’ordre technique ou de nature économique [62], [63]. Différentes méthodes et critères sont utilisés
pour placer les dispositifs dans le système.
La position optimale d’un dispositif shunt placé dans une longue ligne de transport est discutée
dans [64]. Elle est déterminée de manière à augmenter la puissance transmise, en améliorant la
stabilité du système. Plusieurs références présentent des méthodes de placement de FACTS pour
accroître la stabilité de tension. La méthodologie utilisée dans [65] sur une analyse modale des
équations d’écoulement de puissance modifiées par les FACTS. Dans [66], la position optimale du
UATL 2007
43
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
SVC est déterminé on utilisons une méthode combinant un recuit simulé avec les multiplicateurs de
lagrange. Les emplacements optimaux, permettant d’accroître la stabilité statique, sont étudiés dans
[67] pour des réseaux de grandes tailles.
L’article [68] présente une méthode de placement optimal hybride basé sur les algorithmes
génétiques et la programmation linéaire. Des SVC sont placés pour prévenir l’écroulement de
tension tout en minimisant le coût des installations. La méthode présentée dans [69] détermine les
emplacements de dispositifs FACTS shunt sur la base d’une analyse singulière de la matrice
Jacobienne. Les nœuds présentant la plus grande sensibilité de tension aux variations de charges
sont ceux devant être munis de FACTS. La méthode est testée sur réseau 14 nœuds.
La référence [70] présente une méthode dans laquelle les modèles des FACTS sont intégrés dans
un calcul de répartition optimale des puissances réactives. Ils sont utilisés pour réduire les pertes
actives dans le réseau. L’emplacement des dispositifs est déterminé sur la base des résultats d’une
analyse de sensibilité de l’expression des pertes vis-à-vis des grandeurs contrôlables par les FACTS.
Dans un environnement dérégulé, les FACTS sont positionnés dans le réseau de manière à
accroître la capacité disponible pour les échanges ATC (Available Transfer Capability) en
contrôlant les transits dans les lignes. Dans ce contexte, [71] présente une méthode de placement
des FACTS basée sur analyse de sensibilité entre les injections aux nœuds et les transits dans les
lignes. Les dispositifs sont placés dans les lignes ayant les plus grands coefficients d’influence. La
méthode est mise en œuvre sue une partie du réseau de l’UCTE. Elle montre la possibilité
d’augmenter certains échanges. Le même critère est utilisé dans [72].
L’optimisation réalisée au moyen de la programmation stochastique, qui consiste en la
maximisation de l’ATC en terme d’écroulement de tension, est l’objectif visé dans [73]. Dans cette
optique, un placement optimal de SVC et de TCSC est réalisé sur la base d’une analyse de
sensibilité de second ordre. Une méthode analytique de placement optimal des dispositifs de
compensation série est présentée dans [74]. Les FACTS sont utilisés pour augmenter la capacité de
transfert de puissance dans le réseau. Leur position et leur taille sont déterminées à l’aide de
coefficients calculés lors d’accroissement de la charge.
Dans la référence [75], des dispositifs série sont placés de manière à différer les problèmes de
congestion dans le réseau. L’optimisation est réalisée sur les résultats d’une analyse de sensibilité.
Les coefficients sont calculés à partir des dérivées partielles d’un indice de performance. La
UATL 2007
44
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
méthode est validée sur un réseau à 5 nœuds et appliquée au réseau indien [76]. Le même indice est
utilisé dans [77] pour le contrôle de transits de puissances avec des UPFC.
Des FACTS série (compensateur série et dispositifs déphaseurs) peuvent êtres utilisés pour
diminuer les coûts de transport dans le réseau en contrôlant les transits de puissance dus aux
transactions [78]. Les effets des dispositifs sont évalués au moyen d’un écoulement de puissance à
courant continu. Le placement des dispositifs dans le réseau est réalisé par programmation linéaire.
Des simulations effectuées sur le réseau IEEE 14 nœuds et sur le réseau du sud du Brésil montrent
que les FACTS permettent de réduire substantiellement le prix du transport. Le gain enregistré est
dépendant de la méthode de tarification utilisée. Dans le même sens, dans le même sens l’article
[79] présent une méthode dans laquelle des FACTS de type série sont placés de manière optimale
pour minimiser les coûts de production et d’investissement de l’installation des dispositifs. Les
modèles des FACTS sont intégrés dans un calcul de répartition des puissances optimal.
L’algorithme développé est appliqué sur des réseaux tests de tailles allant de 3 à 30 nœuds.
La référence [80] présente un placement optimal de TCSC et de TCPST dans un système
comportant une production hydraulique. Les dispositifs sont positionnés de manière à minimiser les
coûts de production dus aux unités thermiques et les investissements pour les FACTS. Les
algorithmes génétiques, combinés à une méthode de descente sont utilisés pour placer des bancs de
condensateurs dans un réseau à 25 nœuds [81]. L’optimisation est réalisée sur les coûts
d’investissements des dispositifs, le cou des pertes et des pénalités dues aux écarts de tension.
Toujours avec les algorithmes génétiques, ce sont des FACTS déphaseurs qui sont placés de
manière optimale dans [82]. L’optimisation est réalisée sur la base des résultats d’un calcul de
répartition des puissances optimal. Des simulations sont effectuées sur un réseau test de 36 nœuds et
sur le réseau Français. Elles mettent en évidence la possibilité de réduire les coûts de production
ainsi que l’influence mutuelle entre les dispositifs. Des dispositifs déphaseurs sont également placés
de manière optimale par programmation linéaire entière mixte (mixed integer linear programming)
[83]. Les objectifs recherchés sont une réduction du coût total de production et un accroissement de
la puissance transmissible dans le réseau. Les résultats obtenus sur un réseau 24 noeuds corroborent
ceux présentés dans [84] et [85] et mettent en évidence une efficacité limite du réseau.
Cette présentation, non exhaustive, des différents travaux publiés dans la littérature, met en
évidence la diversité des méthodes et des critères d’optimisation utilisés.
UATL 2007
45
CHAPITRE 2
MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME PERMANENT
2.5 CONCLUSION
Dans ce chapitre, Nous avons modélisés les différents composants du réseau électrique à savoir :
le groupe turbo-alternateur, les lignes de transport, les transformateurs et les charges dynamiques.
Nous avons aussi présentés de manière détaillée les équipements FACTS, leurs types, leurs rôles
ainsi que leurs domaines d’application. L’état de l’art de l’emplacement optimal des dispositifs
FACTS, ainsi que, La modélisation du TCSC et SVC, ont étaient traitées à la fin de ce chapitre.
UATL 2007
46
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA
STABILITE DE TENSION
3.1 INTRODUCTION
Avant d’entamer une étude sur un système réel, il est préférable de commencer par un système
simple. Cela nous permettra d’avoir des équations faciles à traiter et des schémas représentatifs
simples et également de retrouver des résultas classiques.
Ce chapitre présente une analyse fondamentale de la stabilité de tension sur un système simple à
deux nœuds. Le but derrière cette analyse est l’étude de l’influence des différents composants du
réseau sur la stabilité de tension.
3.2 SYSTEME TEST
Afin d’illustrer quelques aspects de l’analyse, le phénomène d’instabilité de tension peut être
analyser à l’aide d’un système simple constitué d’un générateur alimentant une charge électrique à
travers une ligne électrique.
UATL 2007
47
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
V1
jX
1
P12
V2
I
G
2
P2, Q2
Figure 3.1 Réseau électrique à deux nœuds.
3.3 COURBE D’EFFONDREMENT DE TENSION
Comme déjà mentionné dans le premier chapitre, la courbe d’effondrement de tension (Courbe
PV) est considérée parmi les techniques les plus utilisées dans l’étude et l’analyse de la stabilité
statique de tension. Elle trace l’évolution de la tension en fonction de l’augmentation de la charge
dans le nœud. Dans ce qui suit, nous essayons d’élaborer et développer le modèle mathématique qui
décrit la variation de la tension en fonction de la charge.
D’après la figure 3.1, on peut exprimer la puissance apparente au nœud 2 suivant l’équation :
S  P  jQ
(3.1)
En considérant la figure 3.1, on peut écrire :
I 
V 1 V 2
jX
(3.2)
On aura alors :
S *  V 2 I *  V 2*I V 2*
*
V 1 V 2
jX
(3.3)
Avec :
V *  V   V   
*
On aura :
S *  P  jQ  
V 1V 2
sin  
X
V 2 V V

j  2  1 2 cos  
X
X

(3.4)
Les puissances active et réactive qui transitent dans la ligne s’écrivent alors :
UATL 2007
48
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
P12   P21 
V 1V 2
sin( )
X
Q12  Q21  
(3.5)
V2 2 V1V2

cos( )
X
X
(3.6)
On élimine l’angle θ par l’utilisation de l’équation : cos    sin    1 , donc on trouve:
2
2
2

V 2  V 2V 2
P   Q  2   1 22
X 
X

2
(3.7)
L’équation précédente peut s’écrire sous la forme d’une équation quadratique en fonction de V2 :
V 2 4   2QX V 12 V 2 2   P 2  Q 2  X
2
0
(3.8)
 2 4P2 X 2

1 2
V2  V1  2QX  V1  V1 
 4QX 
2
2
V1



1/ 2
2



(3.9)
On remplace Q dans (3.9) par Q  tg  P  B  P
Donc la solution est :
1
V 2
2
 V14
2 
1
V2    BP X  
 P X ( P X  B V1 )  
 2
 4
 

2
(3.10)
D’après l’équation (3.10), on peut conclure que, la tension au noeud 2 est une fonction de la
puissance active, de la réactance de la ligne, et du facteur de puissance. La figure 3.2 présente la
courbe de bifurcation du système test. La courbe montre l’évolution de la tension en fonction de la
puissance active. La charge est considérée purement active (Q = 0 donc B = 0), la réactance de la
ligne X = 0.5pu.
UATL 2007
49
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
1
VH
A(VH,P)
0.9
0.8
Point d'effendrement de
tension ( Vcrit,Pmax)
Tension (pu)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
VL
0.2
A'(VL,P)
B=0,
X=0.5 pu.
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4 P
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Puissance (pu)
1
Figure 3.2 Courbe de bifurcation de tension.
3.4 ANALYSES ET INTERPRETATIONS
D’après la figure 3.2, on peut remarquer que lorsque la puissance demandée augmente, la tension
diminue progressivement jusqu'à atteindre une valeur critique V crit qui correspond à la puissance
maximale transmissible par la ligne Pmax . Ce point est appelé point de bifurcation de tension (ou
point d’effondrement de tension). Au delà de ce point, la tension chute d’une façon brusque et
incontrôlable ; c’est le phénomène d’effondrement de tension. Ce phénomène peut s’expliquer
comme suit : lorsque la charge croît, le courant circulant dans la ligne croît ; entraînant une chute de
tension d’autant plus importante que le courant est plus grand, donc la tension aux bornes de la
charge décroît.
De la figure 3.2, une notion très importante et très utilisée dans l’étude et l’évaluation de la
stabilité de tension est la marge de stabilité de tension, laquelle est considérée comme un indice
efficace de l’évaluation de la stabilité de tension. Elle est définie comme étant la quantité de charge
additionnelle de la charge nominale qui conduit le réseau électrique à un effondrement de tension.
Autrement dit, c’est la distance entre le point de fonctionnement nominal du réseau et le point
d’effondrement de tension. Dans la conduite et l’exploitation des réseaux électrique, on essaye
toujours de garder une marge de stabilité de tension la plus grande possible.
UATL 2007
50
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
On peut remarquer aussi que, pour une valeur donnée P de la puissance demandée par la charge,
il existe deux solutions de tension. La solution supérieure V H correspondant à la valeur qui peut être
atteinte en pratique et l’autre solution V L est juste mathématiquement ; mais qui ne représente pas
une valeur pratique. La justification de cette analyse est présentée comme suit :
On suppose une augmentation incrémentale de la charge qui déplace le point de fonctionnement
à droite de la courbe. On peut voir que : la solution supérieure V H devient plus faible, ce qui semble
naturel ; Donc cette solution correspond à un point de fonctionnement normal ou stable. Par contre
la solution inférieure V L augmente simultanément avec la charge, ce qui n’est pas naturel. Donc
cette solution correspond à un point de fonctionnement dégrade ou instable.
En outre, le courant correspondant à la solution V L est beaucoup plus grand que celui
correspondant à la solution V H . De ce fait les pertes actives sont plus élevées. Par ailleurs, la
tension V L et beaucoup plus petite que V H .
Finalement, on peut conclure que la partie supérieure de la courbe donne la région de
fonctionnement stable. En conséquence, dans toute analyse consacrée aux problèmes de la stabilité
statique de tension, l’intérêt est porté sur cette partie de la courbe.
3.5 INFLUENCE DES COMPOSANTS DU RESEAU SUR LA STABILITE DE
TENSION
Cette section est consacrée à l’étude de l’influence des composant du réseau sur la stabilité
statique de tension. De ce fait, on a évalué la stabilité de tension en utilisant la courbe de bifurcation
de tension, sous l’influence de plusieurs composants du réseau, récapitulés dans ce qui suit :
 Influence du facteur de puissance ;
 Influence du TCSC ;
 Influence du SVC ;
 Influence du OLTC (On-load Tap Changer) ;
 Influence de la nature de la charge.
UATL 2007
51
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
3.5.1 Réseau d’application
La figure 3.3, illustre le schéma synoptique du système d’application utilisée dans cette section.
Le réseau est composé d’un générateur qui alimente une charge via une ligne électrique d’une
réactance de 0.15 pu. Le réseau comprend aussi des équipements de contrôle à savoir les dispositifs
FACTS (SVC et TCSC) et d’un transformateur régleur en charge. La tension à la sortie du
générateur est considérée fixe égale à 1pu.
AVR
Equipements de
contrôle
Charge
Figure 3.3 Schéma synoptique du réseau d’application.
3.5.2 Influence du facteur de puissance
Cette section est consacrée à l’étude de l’influence du facteur de puissance de la charge sur la
stabilité de tension. La figure 3.4, représente la courbe de bifurcation de la tension pour différentes
valeurs de B  tan  . Il est clair que lorsque le facteur B diminue (c'est-à-dire  diminue) la
puissance maximale transmise par la ligne augmente. Cette situation semble très logique, car
lorsque la compensation de l’énergie réactive de la charge augmente (c'est-à-dire  diminue) ; la
puissance maximale transmissible (marge de stabilité) augmente. La courbe en pointillé de la figure
3.4 représente l’évolution du point critique (point d’effondrement de tension) en fonction du
facteur B . Il est clair que la tension critique augmente quand le facteur B diminue ; de ce fait, une
surcompensation de l’énergie réactive risque d’amener la valeur de la tension critique dans la région
de fonctionnement normale.
Ainsi on peut conclure que le facteur de puissance à un impact très significatif sur la
caractéristique PV et donc sur la stabilité de tension. La puissance maximale transmissible par la
ligne augmente avec le facteur de puissance. Donc la charge, qui possède un facteur de puissance
relativement élevé, offre une marge de stabilité de tension satisfaisante.
UATL 2007
52
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
1
B=0
0.9
B=0.2
0.8
B=0.4
0.7
Tension (pu)
B=0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Puissance (pu)
0.7
0.8
0.9
1
Figure 3.4 Caractéristique PV pour différente valeurs de B  tan 
3.5.3 Influence du TCSC
La figure 3.5 montre l’influence du TCSC sur la caractéristique PV (la courbe d’effondrement).
Comme déjà mentionné précédemment ; le TCSC est un équipement FACTS série qui contrôle la
puissance transmise dans une ligne par la variation de la réactance de cette dernière. Dans notre
application, la variation de la réactance est effectuée avec un pourcentage de 50% . Les
caractéristiques PV obtenues, pour différentes valeurs de X , montrent que la marge de stabilité de
la tension augmente quand la réactance de la ligne diminue. Ce résultat apparaît très logique, car
l’augmentation de la réactance de la ligne (cas des lignes longues) augmente les pertes réactives, ce
qui provoque un déséquilibre entre la demande et la production de l’énergie réactive. Ainsi, le
réseau ne peut pas satisfaire la demande de charge. Cette situation favorise un effondrement de
tension pour des niveaux de charge relativement faibles. D’autre part, la compensation de la ligne
par le TCSC diminue la réactance apparente de la ligne, ce qui fait réduire les pertes réactives et
augmenter ainsi la marge de stabilité de tension.
UATL 2007
53
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
Remarquons que dans la courbe en pointillée, la tension critique reste constante pour les trois cas
de test, malgré l’intervention du TCSC. Ce résultat confirme l’utilisation spécifique du TCSC
comme un contrôleur efficace d’écoulement de puissance et non de contrôle de la tension.
Dans la pratique, l’augmentation de la réactance de la ligne peut se traduire par un incident
d’ouverture d’une ligne ou lorsque la production est très éloignée de la consommation. Dans ces
Tension (pu)
deux cas, on a vu qu’une compensation série est pratiquement bénéfique.
1
X'=0.075
0.9
0.8
X=0.15
0.7
X'=0.225
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
La réactance totale de la ligne:
X'=X+XTCSC
B=0.577
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Puissance (pu)
Figure 3.5 Influence de TCSC sur la caractéristique PV.
3.5.4 Influence du SVC
Pour tester l’influence du SVC sur la stabilité statique de tension, on modélise le SVC par une
source variable de l’énergie réactive. De ce fait, on fait varier simplement la puissance réactive qui
correspond à la variation de B dans l’équation (3.10). Les courbes de bifurcation pour plusieurs
valeurs de B sont présentées dans la figure 3.6.
UATL 2007
54
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
1
B=0
0.9
B=0.2
0.8
B=0.4
0.7
Tension (pu)
B=0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Puissance (pu)
0.7
0.8
0.9
1
Figure 3.6 Influence du SVC sur la courbe de bifurcation de tension.
Après l’observation et l’analyse de la figure (3.6), on peut conclure que le SVC est un dispositif
FACTS capable d’améliorer la marge de la stabilité de tension d’environ 0.55 pu jusqu'à 1 pu. Les
courbes de bifurcation sont plates à cause de support suffisant d’énergie réactive. On voit aussi que
la tension critique augmente proportionnellement avec le degré de compensation.
3.5.5 Influence du transformateur régleur en charge (OLTC)
L’introduction d’un OLTC avec un rapport de transformation a dans l’équation (3.10) donne
l’expression suivante :
1
V 2
2
 V14
2 
1

V2  a
 BP2 X  
 P2 X ( P2 X  B V1 )  
4
 2

 

2
2
(3.11)
D’après la figure 3.7, il est clair que l’OLTC tente toujours d’augmenter la tension aux bornes de
la charge par une régulation automatique du rapport de transformation. La courbe en pointillé
montre que la tension critique augmente avec l’augmentation du rapport a . D’autre part, la
puissance maximale transmise reste fixe pour les trois cas de simulation.
UATL 2007
55
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
D’après ces observations, on peut conclure que l’OLTC assure un maintien de la tension par une
régulation appropriée du rapport de transformation. Par contre, il n’influe pas sur la marge de
stabilité de tension, car elle reste constante pour les trois cas de simulations.
En cas d’un effondrement de tension, l’OLTC doit être bloqué, à cause de son effet négatif sur la
stabilité de la tension (il accélère le phénomène d’effondrement) [13].
Figure 3.7 Influence du OLTC sur la courbe de bifurcation.
3.5.6 Influence de la nature de charge
Comme déjà mentionné précédemment, la stabilité de tension est très sensible à la nature de la
charge. La modélisation standard des charges par le modèle PQ (puissance active et réactive
constante) ne représente pas les caractéristiques réelles de celle-ci. Il existe d’autres modèles
statiques (modèle du courant constant et d’impédance constante) qui représentent les puissances
active et réactive consommées par la charge en fonction de la tension aux bornes de celle-ci.
Les trois modèles statiques sont réunis dans les deux équations (3.12) et (3.13) [13] :
V 
P  P0   
V 0 
UATL 2007
np
(3.12)
56
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
V 
Q  Q0   
V 0 
nq
(3.13)
Suivant les valeurs de n p et nq , on peut citer les trois modèles statiques suivants :
3.5.6.1 Modèle à puissance constante
C’est le modèle classique utilisé dans le calcul d’écoulement de puissance. Dans ce modèle, les
puissances active et réactive sont considérées constante, elle ne dépend pas de la tension
( n p  nq  0 ). La charge électrique est modélisée par les deux équations suivantes :
P  P0  cte
(3.14)
Q  Q 0  cte
(3.15)
3.5.6.2 Modèle à courant constant
Dans ce modèle de charge, les puissances active et réactive dépendent directement de la tension.
De ce fait, les exposants n p et nq sont égaux à 1. Les équations (3.12) et (3.13) deviennent :
P  P0 V
(3.16)
Q  Q 0 V
(3.17)
3.5.6.3 Modèle à admittance constante
Les puissances consommées par la charge sont fonction du carré de la tension, en remplaçant
n p et nq dans (3.12) et (3.13) par 2, on trouve :
P  P0 V
2
(3.18)
Q  Q 0 V
2
(3.19)
L’étude de l’influence de type de charge sur la stabilité de tension nécessite un développement
mathématique approprié. Pour cela, on remplace les puissances active et réactive dans (3.7) par
celles de la modélisation statique des équations (3.12) et (3.13) respectivement.
UATL 2007
57
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
L’équation (3.7) devienne:
P0 2  V2
2np
 P0 2  tg 2  V2
2 nq
 2
V22
V2
n
 P0  tg  V2 q  2 2 V1  V2 2 
X
X
(3.20)
Dans le cas général où n p  nq , la résolution de l’équation (3.20) est très difficile. Pour simplifier le
calcul, on considère, le cas où n p  nq  n [13].
On a alors :
P0 2  2
V2 2
V2
P0 cos   sin   V2  n  V2 2 n 22 cos2   V12  V2 2 
X
X
(3.21)
Après la résolution de (3.21), on trouve :
P0  V2  n
1
V2
2
cos  V12  V2 2 cos 2    V2 sin  



X
(3.22)
La figure (3.8) montre la sensibilité de la courbe de bifurcation de la tension vis-à-vis de la
nature de la charge. La variation de n dans (3.22) donne des courbes de bifurcation complètement
différentes. La limite de la stabilité de tension (point d’effondrement de tension) tend à s’éloigner
avec l’augmentation de l’exposant n.
Le modèle à puissance constante  n  0  est le cas le plus néfaste sur la stabilité statique de
tension. Il possède le point d’effondrement le plus critique parmi les quatre cas de simulation. Les
charges à courant constant  n  1 ont un point critique plus éloigné que les charges à puissance
constante. Avec ces charges, la probabilité d’occurrence d’un effondrement de tension est faible.
Pour les charges à admittance constante, il n’existe pas un point d’effondrement de tension. Donc il
y a toujours un point de fonctionnement théoriquement stable.
UATL 2007
58
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
1
0.9
0.8
n=2
0.7
Tension (pu)
n=1
0.6
n=0.5
0.5
0.4
n=0
0.3
0.2
x=0.4 pu;
tetha=0.
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
Puissance (pu)
2.5
3
3.5
Figure 3.8 Influence des modèles de charge sur la caractéristique PV
3.6 CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons mené une étude paramétrique de la stabilité de tension. Pour ce
faire, nous avons utilisé comme système d’application, un réseau simple à deux nœuds. Afin de
simplifier notre simulation, un modèle mathématique est élaboré pour décrire la variation de la
tension du nœud en fonction des autres paramètres du réseau. Nous avons montré que la nature de
la charge est un paramètre essentiel dans l’étude de la stabilité de tension. Une charge de puissance
constante (P=Q=cte) est la plus pessimiste sur la stabilité de tension.
Après avoir étudier le TCSC, nous avons montré que ce dernier fait augmenter la marge de
stabilité de tension, ce qui ce traduit par une augmentation de la puissance maximale transmise par
le réseau. Néanmoins, il n’influe pas sur la tension critique de la tension. Ces résultats confirment
bien l’utilisation du TCSC comme contrôleur de transit de puissance et non comme contrôleur de la
tension.
Puisque ils sont un peu liés du point de vue compensation d’énergie réactive, l’influence du
facteur de puissance et celle du SVC sur la stabilité tension est presque la même. Dans les deux cas,
UATL 2007
59
CHAPITRE 3
ETUDE PARAMETRIQUE DE LA STABILITE DE TENSION
on a clairement constaté l’amélioration de la marge de stabilité de la tension. Malheureusement, une
surcompensation de l’énergie réactive, risque de faire augmenter la valeur de la tension critique à
des niveaux dangereux.
Finalement, l’étude de l’influence du OLTC sur la stabilité de tension montre que ce dernier
influe directement sur la valeur critique de la tension. Cette dernière tend à augmenter avec
l’augmentation du rapport de transformation. D’autre part, l’OLTC n’induit aucune influence sur la
puissance maximale transmise (marge de stabilité de tension). Ces résultats confirment l’utilisation
spécifique de l’OLTC dans la régulation et le contrôle de la tension et non dans le contrôle de
l’écoulement de puissance.
UATL 2007
60
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF
PAR ESSAIM DE PARTICULES
4.1 INTRODUCTION
Les ingénieurs se heurtent quotidiennement à des problèmes technologiques de complexité
grandissante, qui surgissent dans des secteurs très divers, comme dans le traitement des images, la
conception de systèmes mécaniques, la planification et l’exploitation des réseaux électriques,… etc.
Le problème à résoudre peut fréquemment être exprimé sous la forme générale d’un problème
d’optimisation, dans lequel on définit une fonction objective, ou fonction Coût, que l’on cherche à
minimiser (ou maximiser) par rapport a tous les paramètres concernés. La définition du problème
d’optimisation est souvent complétée par la donnée de contraintes : tous les paramètres (ou
variables de décisions) de la solution proposée doivent respecter ces contraintes, faute de quoi la
solution n’est pas réalisable.
Il existe de nombreuses méthodes ‘classiques’ d’optimisation pour résoudre de tels problèmes,
applicables lorsque certaines conditions mathématiques sont satisfaites : à savoir, la programmation
linéaire traite efficacement le cas où la fonction objective, ainsi que les contraintes s’expriment
linéairement en fonction des variables de décision. Dans le cas où la fonction objective et leurs
contraintes sont non linéaires ; la programmation non linéaire est applicable. Malheureusement, les
UATL 2007
61
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
situations rencontrées en pratique comportent souvent une ou plusieurs complications, qui mettent
en défaut ces méthodes : par exemple, la fonction objective peut être non homogène, ou même ne
pas s’exprimer analytiquement en fonction des paramètres ; ou encore, le problème peut exiger la
considération simultanée de plusieurs objectifs contradictoires (Optimisation Multi-objectif).
L’arrivée d’une nouvelle classe de méthodes d’optimisation, nommées méthaheuristiques,
marque une grande révolution dans le domaine de l’optimisation. En effet, celles-ci s’appliquent à
toutes sortes de problèmes combinatoires, et elles peuvent également s’adapter aux problèmes
continus.
Ces méthodes permettent de trouver une solution de bonne qualité en un temps de calcul en
général raisonnable, sans garantir l’optimalité de la solution obtenue. Ces méthodes sont
avantageusement utilisées pour la résolution des problèmes de grande taille. Les méthodes
heuristiques peuvent êtres divisées en deux classes. Il y a, d’une part, les algorithmes spécifiques à
un problème donné qui utilisent des connaissances du domaine, et d’autre part les algorithmes
généraux qui peuvent être utilisés pour une grande variété de problèmes.
Les méthodes métaheuristiques, sont apparues, à partir des années 1980 [34], avec une ambition
commune : résoudre au mieux les problèmes d’optimisation difficiles. Elles ont en commun, les
caractéristiques suivantes :
 Elles sont, au moins pour une partie, stochastiques : cette approche permet de faire face à
l’explosion combinatoire des possibilités ;
 Elles sont d’origine combinatoire : elles ont l’avantage, décisif dans le cas continu, d’être
directes, c'est-à-dire qu’elles ne recourent pas au calcul, souvent problématique, des
gradients de la fonction objective ;
 Elles sont inspirées par des analogies : avec la physique (recuit simulé, diffusion simulée,
etc.), avec la biologie (algorithme génétiques, recherche tabou, etc.) ou avec l’éthologie
(colonies de fourmis, essaims de particules, etc.).
 Elles sont capables de guider, dans une tache particulière, une autre méthode de recherche
spécialisée (par exemple, une autre heuristique, ou une méthode d’exploration locale) ;
UATL 2007
62
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
 Elles partagent aussi les mêmes inconvénients : les difficultés de réglage des paramètres
mêmes de la méthode, et le temps de calcul élevé.
L’optimisation mono-objectif se base sur la minimisation (ou la maximisation) d’une seule
fonction objective, laquelle ne reflète pas la physique réelle du système à optimiser. D’autre part,
l’optimisation multi-objectif optimise simultanément plusieurs fonctions objectives qui sont souvent
contradictoires.
La solution classique d’un problème d’optimisation multi-objectif consiste à la conversion de
touts les objectifs en une seule fonction objective pondérée. La solution optimale de cette fonction
reflète un compromis entre tous les objectifs. La conversion de plusieurs objectifs en un seul
objectif, est habituellement faite en agrégeant tous les objectifs dans une fonction pondérée, ou en
optimisent une fonction objective et considérant les autres comme contraintes. Cette approche
possède plusieurs limitations résumées dans les points suivants :
 Elle exige la connaissance, a priori, au sujet de l'importance relative des objectifs, et les
limites sur les objectives qui sont convertis en contraintes.
 La fonction singulière pondérée mène à une seule solution.
 Le compromis entre les objectifs ne peut pas être évalué facilement.
 L'espace de recherche doit être convexe.
Comparés aux problèmes d’optimisation mono-objectif, les problèmes d’optimisation multiobjectif sont plus difficiles à résoudre, car ils ne possèdent pas une seule solution, mais un ensemble
de solutions situé sur la frontière du Pareto. La génération de cette dernière donne plusieurs
avantages :
 Elle contient plusieurs solutions optimales à la différence de l’optimisation mono- objectif
qui ignore cette solution de compromis.
 L’ensemble de la frontière du Pareto permet aux décideurs de choisir la solution optimale
suivant la situation rencontrée.
UATL 2007
63
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Le but de ce chapitre est de fournir des connaissances de base sur l’optimisation mono et multiobjectif et de présenter les concepts de base et l’état de l’art de la technique d’optimisation par
essaim de particules appliquée aux problèmes d’optimisation Multi-objectif.
4.2 DEFINITIONS DE BASE
Avant d’entamer les concepts de base de l’optimisation multi-objectif, il est préférable de donner
un bref aperçu sur l’optimisation mono-objectif. Noter bien que les définitions présentées sont liées
à un problème d’optimisation de minimisation.
4.2.1 Définition de l’optimisation
Un problème d’optimisation se définit comme la recherche du minimum ou du maximum (de
l’optimum) d’une fonction donnée [34]. On peut aussi trouver des problèmes d’optimisation pour
lesquelles les variables de la fonction à optimiser sont contraintes d’évoluer dans une certaine partie
de l’espace de recherche. Dans ce cas, on a une forme particulière de ce que l’on appelle un
problème d’optimisation sous contraintes.
4.2.2 Fonction Objective
C’est le nom donné à la fonction f (on l’appelle aussi fonction de coût ou critère d’optimisation).
C’est cette fonction que l’algorithme d’optimisation va devoir optimiser (trouver un optimum) [13].
4.2.3 Variables de décision

Elles sont regroupées dans le vecteur x . C’est en faisant varier ce vecteur que l’on recherche un
optimum de la fonction f [34].
4.2.4 Formulation d’un problème d’optimisation mono-objectif
Un problème d’optimisation mono-objectif est présenté sous la forme suivante :

Minimiser f ( x )
(fonction à optimiser)
(4.1)
Sujet de :
 
g(x)  0
UATL 2007
(m contraintes d’inégalité)
64
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
 
h ( x)  0
(p contraintes d’égalité)
 

 
Avec x  R n , g ( x )  R m , h ( x )  R p .
 
 
Les vecteurs g ( x ) et h ( x ) représentent respectivement m contraintes d’inégalité et p contraintes
d’égalité.
4.2.5 Minimum global
On a la fonction f :   R n  R , tel que    . Pour x *   , on dit que x * et un optimum
global si et seulement si :
x   : f (x * )  f (x )
(4.2)
Tel que :
 x* : l’optimum global ;
 F : la fonction objective ;
  : La région faisable (   s ) ;
 s : l’espace de recherche global.
Le minimum global est illustré par le point M3 dans la Figure 4.1.
4.2.6 Minimum local
*
Un point x est un minimum local de la fonction f si et seulement si :
f  x*   f  x  , x  V ( x* ) et x*  x
(4.3)
D’où V  x *  définit un voisinage de x * .
Deux minimums locaux sont illustrés dans la figure 4.1 sont les points M1 et M2.
UATL 2007
65
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Figure 4.1 Illustration des différents minima d’une fonction objective.
4.2.7 Formulation d’un problème d’optimisation multi-objectif
Les problèmes réels invoquent souvent de multiples mesures de performance ou objectifs, qui
doivent être optimisés simultanément. En pratique, ceci n’est pas toujours possible car les objectifs
peuvent être conflictuels, du fait qu’ils mesurent différents aspects de la qualité de la solution. Dans
ce cas, la qualité d’un individu est décrite non pas par un scalaire mais par un vecteur. La
performance, la fiabilité et le coût sont des exemples d’objectifs conflictuels [86].
Un problème d’optimisation multi-objectif peut se définir comme suit :
Minimiser y  F (x )   f 1 (x ), f 2 (x ),...f N (x ) 
T
(4.4)
T
Chercher le vecteur x *   x 1* , x 2* , x 3* ,...x n*  qui satisfait les conditions suivantes :
S.t. g j (x )  0
i  1, 2,.........M .
T
Tel que x   x 1 , x 2 , x 3 ,...x P   
D’où,
 y représente le vecteur des fonctions objectives ;
 g j représente les contraintes;
 x représente le vecteur des variables de décision dans l’espace de recherche Ω.
UATL 2007
66
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
L’espace de recherche occupé par les fonctions objectives appelé l’espace des objectifs. Le sousespace des fonctions objectives qui satisfait les contraintes s’appel l’espace de recherche réalisable.
Les problèmes d’optimisations multi-objectifs n’ont pas une seule solution mais un ensemble de
solutions dites solutions de compromis. Généralement, il n’existe aucune solution pour laquelle tous
les objectifs sont optimisés, dû au fait que les objectifs sont, souvent, conflictuels. Un produit, par
exemple, ne peut pas être très performant au plus bas prix. Dans ce cas, plusieurs compromis sont
possibles et souvent c’est le facteur humain qui décide de l’optimalité d’une solution [86].
La solution utopique de y c’est la solution optimale pour tous les objectifs.
x0*   : x  , f i  x0*   f i  x  , pour i  1, 2,3,..., N 
(4.5)
Dans le cas où N=1, le problème d’optimisation multi-objectif est réduit à un problème
d’optimisation mono-objectif. Dans ce cas, la solution utopique est simplement l’optimum global.
Dans le cas général où N >1, la solution utopique n’existe pas puisque les fonctions objectives sont
généralement contradictoires. Dans ce cas, il existe un ensemble de solutions nommées les solutions
non dominées (pour lesquels une fonction ne peut pas être améliorée sans dégrader au moins une
autre équation) qui représentent le compromis entre les fonctions objectives.
4.2.8 Concept d’optimalité au sens de Pareto
Afin de comparer les solutions dans un problème d’optimisation multi-objectif, le concept de
dominance du Pareto est utilisé. Ce concept est initialement proposé par Francis Ysidro, puis
généralisé par l’économiste Italien Vilfredo Pareto [34]. Une solution appartient à l’ensemble de
Pareto, si et seulement si, il n’existe pas une autre solution qui améliore au moins une fonction et
ne dégrade pas les autres fonctions objectives.
On dit que le vecteur de décision u  u 1 ,u 1 ,...u k  domine le vecteur v  v 1 ,v 1 ,...v k  , (dénoté :
T
T
u  v ), Si et seulement si :
i  1, 2,...k  , f i (u )  f i (v )  i  1, 2,...N  : f i (u )  f i (v )
(4.6)
Dans le processus d’optimisation multi-objectif, le concept de dominance du Pareto est utilisé


afin de comparer et ranger le vecteur de variables des décisions : u domine v dans le sens du
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67
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Pareto, signifie que F u  est mieux que F v  pour tous les objectifs, et il y a au moins une
fonction objective pour laquelle F (u ) est strictement meilleure que F (v ) .
Une solution a est considérée comme optimale dans le sens du Pareto, si et seulement si, il
n’existe pas une autre solution qui la domine. Le vecteur objectif F (a ) s’appelle vecteur de Pareto
dominant ou le vecteur non dominé. L'ensemble de toutes les solutions optimales de Pareto s'appelle
l'ensemble optimal de Pareto. Les vecteurs objectifs correspondants seraient sur le Front du Pareto.
Il est impossible généralement de proposer une expression analytique qui définit le Front de Pareto.
La figure 4.2, représente le Front du Pareto pour un problème de minimisation et maximisation
de deux fonctions objectives.
Frontière du Pareto
f2
F
Meilleure
f2
Minimise
f1 , f 2
f1 , f 2
F
Meilleure
Maximise
Meilleure
Meilleure
f1
f1
Figure 4.2 Frontière de Pareto d’un problème d’optimisation bi-objectif.
4.2.9 Ensemble de Pareto optimal P*
Pour un problème d’optimisation multiobjectif : F (x )   f 1 (x ), f 2 (x ),...f k (x )  . L’ensemble du
T
Pareto optimal (P*) est défini par l’équation (4.7) :
p *  x   | x '   : F (x ' )  F (x )
(4.7)
4.2.10 Frontière du Pareto FP*
Pour un problème d’optimisation multi-objectif de l’ensemble des fonctions F  x  avec
p* l’ensemble du Pareto optimal, la frontière du Pareto PF* est défini comme suit :
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68
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
PF *  u  F  (f 1 (x ),..., f k (x )) | x  P * 
(4.8)
4.3 METHODES D’OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF
Il y a plusieurs méthodes proposées pour résoudre un problème d’optimisation multi-objectif.
Les approches classiques consistent à convertir un problème d’optimisation multi-objectif en un
problème mono-objectif, qui peut-être résolu en utilisant les techniques traditionnelles
d’optimisation. En plus, les méthodes métaheuristiques qui sont considérées comme des alternatives
pour les méthode classiques.
4.3.1
Méthodes pleines agrégations
Il existe une multitude de méthodes pour combiner les différents objectifs en une seule fonction à
optimiser comme une fonction mono-objectif [86].
4.3.1.1 Somme pondérée
Les n objectifs f1,…,fn sont pondérés par des coefficients w1,…,wn définis par l’utilisateur et
sommés pour obtenir une mesure scalaire de l’adaptation de chaque individu.
Cette approche est intuitive et facile à implémenter : [86]
  Rn  R
f  ai    wk f k  ai 
(4.9)
Les coefficients wk dépendent du problème. La combinaison des poids doit être finement posée pour
avoir une solution finale satisfaisante.
4.3.1.2 Approche min-max
Cette approche est implémentée comme la minimisation du maximum de la différence entre les
objectifs f1,…, fn et les cibles g1,…, gn spécifiées par l’utilisateur :
Cette approche peut être formulée comme suit : [86]
  Rn  R
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CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
 f  a   gk 
f  ai   k  k i

k 1,..., n
wk


(4.10)
Les paramètres gk sont les cibles que les objectifs veulent approcher. Les cibles sont soit les
valeurs des performances désirées ou les valeurs connues à priori comme inatteignables. Les poids
wk indiquent la direction de recherche dans l’espace des objectifs, souvent posés comme les valeurs
absolues des cibles.
4.3.1.3 Approche du Vecteur Cible
Cette approche consiste à la minimisation de la distance entre le vecteur objectif f= (f1,…, fn) et
un vecteur cible prédéfini g = (g1,…, gn) suivant une mesure adéquate de distance : [86]
  Rn  R
f  ai    f  ai   g  w1
4.3.2
a
(4.11)
Méthodes Métaheuristiques
Les métaheuristiques sont un ensemble d’algorithmes d’optimisation visant à résoudre les
problèmes d’optimisation difficiles. Elles sont souvent inspirées par des systèmes naturels, qu’ils
soient pris en physique (cas du recuit simulé), en biologie de l’évolution (cas des algorithmes
génétiques) ou encore en éthologie (cas des algorithmes de colonies de fourmis ou de l’optimisation
par essaims particulaires).
Ces techniques métaheuristiques peuvent êtres classées en deux groupes : les méthodes à
population de solutions connues sous le nom d’algorithme évolutionnaires comme les algorithmes
génétiques…etc., ainsi que les méthodes à solution unique comme le recuit simulé.
Les méthodes métaheuristiques ont prouvé leurs efficacités dans le domaine de l’optimisation
mono-objectif. Actuellement les recherches qui utilisent ces algorithmes sont développées pour la
résolution des problèmes d’optimisation multi-objectif.
Dans la section qui suit, on essayera de donner un bref aperçu sur les méthodes métaheuristiques
de base les plus populaires.
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70
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
4.3.2.1 Recuit Simulé
La méthode de recuit simulé (Simulated Annealing) a été proposée en 1983 par Kirkpatrick [37].
Elle est inspirée du processus de recuit utilisé en métallurgie pour améliorer la qualité d’un solide
en cherchant un état d’énergie minimum. Le métal est tout d’abord chauffé à une température
élevée à laquelle il devient liquide, puis refroidi de manière progressive pour retrouver sa forme
solide. Chaque température est maintenue jusqu'à ce que la matière atteigne un équilibre
thermohydraulique. La méthode du recuit simulé, appliquée aux problèmes d’optimisation,
considère une solution initiale et recherche dans sont voisinage une autre solution de façon
aléatoire. Au début de l’algorithme un paramètre T apparenté à la température, est déterminé et
décroît tout au long de l’algorithme pour tendre vers 0. De la valeur de ce paramètre va pondre la
probabilité d’acceptation des solutions détériorantes.
Il existe deux principales variantes de la méthode du recuit simulé qui traitent les problèmes
multi-objectifs à savoir : P.A.S.A (Pareto Archived Simulated Annealing) et la méthode M.O.S.A
(Multiple Objective Simulated Annealing) [34].
4.3.2.2 Recherche Taboue
La méthode taboue (Tabu Search) est une méthode générale d’optimisation combinatoire qui a
été développée par F.Glover durant les année 1980 [38]. Elle n’a aucun caractère stochastique et
utilise la notion de mémoire pour éviter de tomber dans un optimum local, le principe de
l’algorithme est le suivant ; à chaque itération, le voisinage de la solution est sélectionnée, en
appliquant le principe, la méthode autorise de remonter vers des solutions qui semblent moins
intéressants mais qui ont peut êtres un meilleure voisinage. Pour éviter les phénomènes de cyclage
entre deux solutions, la méthode à l’interdiction de visiter une solution récemment visitée, pou cela
une liste tabou contenant les attributs des dernières solutions considérées est tenue à jour. Chaque
nouvelle solution considérée enlève de cette liste la solution la plus anciennement visitée. Ainsi, la
recherche de la solution suivante se fait dans le voisinage de la solution actuelle sans considérer les
solutions appartenant à la liste taboue.
4.3.2.3 Algorithmes Génétiques
Les algorithmes génétiques (Genetic Algorithm) sont une méthode d’optimisation basée sur les
mécanismes de la selection naturelle [39], [40]. La solution optimale est cherchée à partir d’une
population de solutions en utilisant des processus aléatoires. La recherche de la meilleure solution
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71
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
est effectuée en créant une nouvelle génération de solutions par application successive, à la
population courante, de trois opérateurs : la sélection, le croisement, et la mutation. Ces opérations
sont répétées jusqu’à ce qu’un critère d’arrêt soit atteint. Les algorithmes génétiques contiennent
plusieurs approches pour le traitement des problèmes multi-objectifs à savoir :
 MOGA (Multiple Objective Genetic Algorithm) [34];
 NSGA (Non Sorting Genetic Algorithm) [34];
 NSGA-II (Non Sorting Genetic Algorithm II) [34];
 NPGA (Niched Pareto Genetic Algorithm) [34];
 WARGA (Weighted Average Ranking Genetic Algorithm) [34].
4.3.2.4 Stratégies d’Evolution
Développées par Rechenberg et Schwefel en 1965, elles utilisent une mutation avec une
distribution normale pour modifier les individus présentés comme des vecteurs de valeurs réelles.
La mutation et le croisement sont les deux opérateurs de recherche dans l’espace des solutions
potentielles et l’espace des paramètres de stratégies. La sélection peut être déterministe ou
stochastique.
4.3.2.5 Programmation Evolutionnaire
Développée par J. Fogel en 1962 qui a utilisé la mutation comme seul opérateur de recherche.
Appliquée aux problèmes d’optimisation continue, la programmation évolutionnaire (Evolutionary
Programming) est similaire aux Stratégies d’Evolution, tous deux représentant les individus avec
des vecteurs de valeurs réelles incluant les paramètres de stratégie. Elle utilise une mutation de
distribution normale et une sélection déterministe ou stochastique.
4.3.2.6 Optimisation par Essaims de Particules
L’optimisation par essaim de particules PSO (Particle Swarm Optimization) est une technique
d’optimisation parallèle développée par Kennedy et Eberhart [41]. elle est inspirée du
comportement social des individus qui ont tendance à imiter les comportements réussis qu’ils
observent dans leur entourage, tout en y apportant leurs variations personnelles. A la différence des
algorithmes génétiques, qui miment les mécanismes génétiques de l’évolution, PSO s’inspire plutôt
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72
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
de la formation d’une culture. Dans l’ouvrage [42], se trouve les racines sociales de PSO ainsi que
les techniques mathématiques mises en oeuvre pour la modélisation.
Puisque notre travail est basé sur l’optimisation par essaim de particules, cette dernière sera
traitée d’une façon détaillée dans la section qui suit.
4.4 OPTIMISATION MULTI-OBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Après sa réussite dans le domaine de l’optimisation mono-objectif [48]. La méthode
d’optimisation par essaim de particules a suscité l’intérêt des spécialistes pour l‘application à des
problèmes multi-objectif. Dans cette section, la méthode de base de l’optimisation par essaim de
particules, est détaillée en premier lieu. Par la suite, un état de l’art de son application dans les
problèmes d’optimisation multi-objectif est présenté.
4.4.1 Méthode de base
Kennedy et Eberhart [42], proposent en 1995 une nouvelle méthode d’optimisation nommé
Optimisation par Essaim de Particule PSO, (en anglais : Particles Swarm Optimization). PSO est
une méthode d’optimisation stochastique basée sur une population de particules [41], [42] un
Essaim regroupe plusieurs particules (individus). Chaque particule prend sa décision en utilisant sa
propre expérience et les expériences de leur voisinage [43], [44]. A la différence des algorithmes
génétiques, qui miment
les mécanismes génétiques de l’évolution [45], PSO est
inspiré du
comportement social des nuées d’oiseaux et des bancs de poissons qui ont tendance à imiter les
comportements réussis qu’ils observent dans leurs entourage, tout en y apportant leurs variations
personnelles [45] ,[46].
Comme les algorithmes génétiques, PSO Démarre le processus d’optimisation par une
population des solutions aléatoires qui se déplacent dans l’espace de recherche. La position de
chaque particule est représentée par ses coordonnées suivant les deux axes XY et également par sa
vitesse qui est exprimée par Vx (la vitesse suivant l’axe x) et Vy (la vitesse suivant l’axe x).
Le déplacement de chaque particule dans l’espace de recherche, est basé sur sa position actuelle
et la mise à jour de sa vitesse.
sik 1  sik  vik 1
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(4.12)
73
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Tel que :
 sik 1 , sik : Position de la particule i à l’itération k+1 et k respectivement.
 vik 1 : Vitesse de la particule i à l’itération k+1.
Chaque particule dans l’essaim, change sa vitesse suivant deux informations essentielles. Une,
est liée à son expérience personnelle, qui est la meilleure position trouvée par la particule durant le
processus de recherche pbest. La deuxième information, concernant la meilleure position trouvée
par les voisins (lbest) (ou par tout l’essaim, dans la version globale de l’algorithme gbest). Cette
information est obtenue à partir de la connaissance de la façon dont les autres agents ont exécuté
leurs recherches.
Le principe de changement de la vitesse est défini par l’équation (4.13).
vi k 1  wvi k  c1rand1  ( pbesti  si k )  c2 rand 2  ( gbest  si k )
(4.13)
D’où :
 v i : Vitesse de l’agent i a l’itération k,
k
 w : Fonction de pondération,

cj
: Facteurs de pondération,
 rand : Nombre aléatoire entre 0 et1,
 sik : Position actuelle d’agent i à l’itération k,
 pbesti : Meilleure position trouvée par la particule i jusque ici,
 gbest : Meilleure position trouvée par l’essaim jusque ici.
La fonction de pondération w est donnée par l’équation suivante [47] :
w
w
min  iter
ww
 max
max
iter
max
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(4.14)
74
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Tel que :
 wmax : Poids initial,
 wmin : Poids final,
 itermax : Nombre d’itérations maximum.
 iter : Itération courante.
La fonction de pondération w joue un rôle important dans la procédure de recherche. Elle
garantit un équilibre entre la recherche locale et la recherche globale, un bon choix de cette fonction
augmente l’efficacité de la méthode pour avoir une solution globale. L’expérience a montré que la
diminution linéaire de la valeur de w de 0.9 a 0.4 au cours de la procédure de recherche donne des
meilleurs résultats.
La Figure 4.3 présente le principe de déplacement des particules dans l’espace de recherche à
chaque itération. Chaque particule change sa position actuelle via l’intégration de trois vecteurs
vbest, vgbest et v.
Y
Sk+1
Vk
Vk+1
Vgbest
Vpbest
S
k
X
Figure 4.3 Principe de déplacement d’un point de recherche par PSO.
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75
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
L’organigramme général du PSO, est présenté selon la procédure illustrée par la figure 4.4 [47].
Etape 1 : Génération d’un état initial de chaque particule.
Les points du recherche initiaux, position (si0) et vitesse (vi0) du chaque particule son
habituellement générés aléatoirement dans l’espace de recherche. Le point de recherche
courant est placé à pbest pour chaque agent. La meilleure valeur évaluée de pbest est placée
à gbest.
Etape2 : Recherche d’une nouvelle position pour chaque agent
La valeur de la fonction objective est calculée pour chacun des agents. Si la valeur d’un
agent est meilleure que son pbest courant, pbest prend cette nouvelle valeur. Si la meilleure
valeur de pbest est meilleure que gbest courant, gbest est remplacé par celle-ci et l’agent qui
correspond à cette valeur est ainsi stocké.
Etape3 : Modification de chaque point de recherche
Le point de recherche courant du chaque agent est changé en utilisant les équations (4.12),
(4.13) et (4.14).
Etape4 : Vérification de l’état de sortie
Le nombre courant d’itération atteint le nombre maximum d’itération itermax, alors fin du
programme, autrement, retourner à l’étape 2.
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76
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Début
Génération d’état initial du chaque
agent
La recherche d’une nouvelle
position pour chaque agent
Modification des positions pour
chaque agent
Non
Critère
d’arrêt
Oui
Fin
Figure 4.4 Organigramme général de PSO.
4.4.2 Etat de l’Art
Dans cette section, nous présentons l’état de l’art des différentes variantes de la méthode
d’optimisation en essaim appliquées à l’optimisation multi-objectif.
4.4.2.1 PSO avec voisinage dynamique
Hu et Eberhart [49], proposent un nouvel algorithme basé sur la notion de voisinage dynamique
(Dynamic Neighborhood Particle Swarm Optimization). Cet algorithme exige une connaissance a
priori du problème d’optimisation. Selon le degré de complexité de la fonction objective, Ebenhart
considère la fonction la plus compliquée comme la fonction à optimiser et l’autre fonction
considérée comme une fitness utilisée pour l’évaluation de lbest pour chaque particule dans
l’essaim. Lbest de Xi est considéré comme la particule la plus proche de Xi en terme de la fonction
fitness. Considérons l’exemple illustré dans la figure 4.5, la fonction 1 est la fonction à optimiser et
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77
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
la fonction 2 est la fonction fitness. Selon la figure, la particule la plus proche de la particule b (en
terme de la fonction 2) est la particule c, donc celle-ci est considérée comme le lbest de la particule
b.
Figure 4.5 Méthode de Hu et Eberhart
La mise à jour du pbest est basée sur le concept de dominance au sens de Pareto, pbest prend la
valeur de Xi si et seulement si Xi domine pbest. Selon l’exemple illustré dans la figure 4.5, la
nouvelle particule a (t+1) ne domine pas le pbest courant, donc pbest reste le même.
Malgré que le nombre de fonctions à optimiser soit limité (deux fonctions seulement), l'idée du
voisinage dynamique est, sans doute, tout à fait intéressant et nouvelle dans ce contexte.
4.4.2.2 Algorithme de Parsopoulos et Varhatis
Parsopoulos et Varhatis [50], propose leurs approche nommée Parallel Vector Evaluated
Particle Swarm Optimization (VEPSO). L’approche considère un essaim pour chaque objectif,
comme il est illustré dans la figure 4.6. Au cours du processus d’optimisation, Les deux essaims
communiquent l’un avec l’autre, de telle sorte que le gbest du premier essaim est utilisé par le
deuxième essaim pour déterminer les nouvelles vitesses des particules et vice versa.
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78
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Figure 4.6 Méthode de Parsopoulos et Varhatis.
Dans ce travail, Les auteurs ne présentent aucune comparaison avec les algorithmes
évolutionnaires. De plus, cet algorithme est conçu pour l’optimisation de deux fonctions seulement.
4.4.2.3 Algorithme de Fieldsend et Singh
Fieldsend et Sing [52] proposent une nouvelle technique nommée Arbre de dominance
(dominated tree). Durant le processus de recherche, les particules élites sont stockées dans un
archive appelé archive des élites. L’arbre de dominance suppose L points dans l’espace de
recherche, ordonnés selon la notion de dominance au sens du Pareto.
Tels que :
  cL  ...  c2  c1
(4.15)
Un exemple d’un arbre de dominance pour une optimisation bi-objectif est présenté dans la
figure 4.7. L’emplacement des points c j dans l’espace de recherche est effectué comme suit : par
exemple pour le point c1 :
c1  (max( f1 (d )), max( f 2 (d )))
UATL 2007
(4.16)
79
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Où, le vecteur d englobe tous les membres de l’archive.
Après, la désignation de point c1, on élimine leurs cordonnés de l’archive et on répète la même
chose pour les autres points, le principe est illustré dans la figure 4.7.
Figure 4.7 Principe de l’arbre de dominance.
La sélection du gbest pour chaque particule est basée sur la technique de l’arbre de dominance.
Le principe est illustré dans la figure suivante.
UATL 2007
80
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Figure 4.8 Principe de sélection du gbest dans l’algorithme de Fielsend et Singh.
Le gbest d’une particule Xi est un point A appartenant à la frontière non dominée, de telle sorte
que :
f1 ( X i )  f1 ( A) & f 2 ( X i )  f 2 ( A)
(4.17)
Dans le cas où, il y a deux point de la frontière non dominée qui satisfaits l’équation (4.17)
(comme le cas du point a illustré dans la figure 4.8), le gbest est choisi aléatoirement entre les deux
points de la frontière non dominée.
Afin de maintenir la diversité dans la frontière du Pareto, cette approche utilise un opérateur de
turbulence, qui est fondamentalement un opérateur de mutation qui agit sur la vitesse des particules.
4.4.2.4 Algorithme de Mostaghim et Teich
Mostaghim et Teich [53], proposent une nouvelle méthode appelée méthode Sigma. Le principe
de sélection du guide local, adopté par la méthode, donne plus d’améliorations
en termes
de vitesse de convergence et de diversité des solutions dans la frontière du Pareto.
UATL 2007
81
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Une valeur sigma doit être assignée à chaque particule dans l’espace de recherche, de telle sorte
que tous les points dans la même ligne f 2  af1 ont la même valeur de sigma.
La valeur de sigma peut être définie comme suit :

f12  f 22
f12  f 22
(4.18)
A chaque itération, la valeur de sigma est calculée pour toutes les particules de l’essaim ainsi que
pour les particules de l’archive (particules élites). Le principe de sélection du gbest proposé par la
méthode de sigma est comme suit : chaque particule de l’essaim choisi la particule élite qui a la
valeur de sigma la plus proche celle-ci. La figure 4.9 illustre le principe de la méthode de sigma.
Figure 4.9 Méthode de sigma.
La mise à jour de pbest est effectuée comme suit : si la nouvelle solution domine le pbest, donc
le pbest prend la valeur de cette solution. Dans le cas où, la nouvelle solution et le pbest sont
mutuellement non dominées, on choisit l’une des deux solutions aléatoirement.
Afin d’assurer une meilleure distribution de la solution dans la frontière du Pareto, un opérateur
de turbulence est proposé, pour agir sur les variables de décisions.
UATL 2007
82
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
4.4.2.5 MOPSO de Coello et Lechunga
Coello et Lechunga [48] proposent une méthode nommé MOSPSO (Multi-objective Particle
Swarm Optimization). La méthode était inspirée des derniers développements dans les algorithmes
évolutionnaires. Deux mémoires sont utilisées, une pour stocker les gbest et l’autre pour les pbest
de chaque particule de l’essaim. Un archivage est aussi utilisé pour stocker les particules non
dominées de l’essaim. Cet archive étant séparé par des carrés (grilles), si l’archive des particules
non dominées dépasse sa limite spécifiée, le carré qui possède le grand nombre des particules sera
supprimé de l’archive. L’archive facilite aussi le choix de gbest pour chaque particule, de telle sorte
que chaque carré de la grille doit être évalué par une fonction fitness. La fitness utilisée par cet
algorithme est le résultat de la division de 10 par le nombre des particules résidant dans le carré en
question. Pour cela, le carré qui possède le plus de particules, est moins intéressant. Ensuite, on
applique la technique de la roulette sur les carrés selon leurs fitness. Le gbest est choisi d’une
manière aléatoire à partir de carré choisi par la technique de roulette. Le but de cette technique est
d’assurer la diversité dans la frontière du Pareto. La technique de la grille est illustrée dans la figure
4.10.
Figure 4.10 Technique de grille.
La mise à jour de pbest est basée sur la notion de dominance au sens de Pareto. Si la nouvelle
solution domine pbest donc il prend la valeur de cette solution. Le cas où les deux sont non dominés
UATL 2007
83
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
(l’un par rapport à l’autre), la nouvelle valeur de pbest est choisie aléatoirement entre le pbest
courant et celui a (t+1).
Afin de valider l’approche MOPSO, les auteurs ont appliqués leur algorithme sur plusieurs
fonctions test. Les résultats sont comparés avec deux algorithmes évolutionnaires plus récents à
savoir : NSGA-II et PAES-II.
Dans [51], Coello et al. proposent des améliorations de leurs MOPSO [48]. La nouvelle approche
inclut un opérateur de mutation. Cet opérateur est appliqué aux particules de l’essaim, de telle sorte
que le nombre de particules affectées par l’opérateur diminue avec le nombre d’itération.
L’approche donne aussi, un artifice qui aide à la manipulation des contraintes. Les résultas obtenus
par cette approche sont comparés avec les méthodes évolutionnaires suivantes : NSGA-II, PAES et
microGA.
4.4.2.6 Non-dominated Sorting Particle Swarm Optimization
Li [54], propose leur approche nommée : Non-dominated Sorting Particle Swarm Optimization
(NSPSO), dans laquelle les mécanismes principaux de la méthode NSGA-II [55] (Non-dominated
Sorting Genetic Algorithm) sont adaptés au PSO. L’approche proposée montre une grande
performance face à des fonctions tests très difficiles (les séries ZDT). Les résultats de simulation
montrent que la méthode est très compétitive par rapport à l’algorithme évolutionnaire NSGA-II.
Dans l’algorithme de base de PSO, la mise à jour du pbest est basée sur une simple comparaison
entre ce dernier et leur descendant. Donc il n'y a pas un vrai partage d'informations entre les
particules d’un essaim, sauf le cas du gbest. Dans l’approche de NSPSO, Li [54] stipule que le
partage d’informations entre toutes les particules de l’essaim est crucial pour une optimisation
efficace.
De ce fait, au lieu de comparer chaque descendant avec son pbest,
NSPSO combine N pbest
avec N descendants dans une population temporaire de 2N particules. Ensuite, la règle de
dominance est appliquée. Cette approche ‘combiner-puis-comparer’, assure plus d’éléments non
dominés ; classés dans différents rangs comme dans le NSGA-II. A chaque itération, nous
choisissons N particules utilisées comme des pbest de la prochaine itération.
UATL 2007
84
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
La figure 4.11, représente le principe de classement des particules par NSPSO. Au début, les 2N
particules sont classées dans deux ensembles, l’ensemble des solutions non dominées et l’autre des
solutions dominées.
Figure 4.11 Classement de 10 particules dans quatre frontières de Pareto.
Dans la figure 4.11, l’ensemble non dominé est la frontière 1, qui contient trois particules
désignées par les numéros de 1 jusqu'à 3. La frontière 1 est le meilleur ensemble non dominé de
cette itération, puisque toutes ses particules sont non dominées par n’importe quelle particule dans
la population. Pour obtenir la frontière 2, nous supprimons temporairement les particules de la
frontière 1 de la population, puis on applique la règle de dominance sur le reste de la population.
Les particules non dominées représentent la frontière 2. Cette procédure continue jusqu'à ce que
toutes les particules soient classées dans différentes frontières non dominées.
Après la classification des particules, nous sélectionnons N pbest pour la prochaine itération, à
partir des frontières dans l’ordre croissant (d’abord de frontière 1, puis frontière 2, …etc. jusqu’à la
sélection de N particules ou une limite spécifiée). Noter bien que, la frontière 1 peut avoir plus de N
particules, spécialement après un nombre d’itérations. Donc il est nécessaire d’avoir une limite,
pour permettre la sélection des particules à partir des autres frontières.
L’objective visée derrière l’optimisation multicritère; est d’avoir l’ensemble des solutions non
dominées le plus proche de la frontière du Pareto réelle P* (dans le cas où la frontière du Pareto est
UATL 2007
85
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
connue à priori), et aussi maintenir une bonne distribution des solutions le long de la frontière de
Pareto. Pour satisfaire la deuxième objectif, deux méthodes sont utilisées par NSPSO, à savoir : la
méthode de Niche et la méthode de Crowding. Ces méthodes ont étais déjà introduites et utilisées
par les algorithmes génétiques, afin de maintenir une bonne diversité des solutions dans la frontière
non dominée, et faciliter la sélection de gbest de chaque particule dans l’essaim.
4.4.2.6.1 Méthode de Niche
Dans NSPSO, le compte de niche mi de la particule i, appartenant à la frontière non dominée, est
le nombre de voisins de la particule i dans un rayon  share (distance Euclidean).
Figure 4.12 Principe de la méthode de niche.
La figure 4.12 montre le principe de calcul du compte de niche pour deux particules A et B
appartenants au front non dominé. Le principe de sélection du gbest est basé sur le compte de niche,
de telle manière que la particule qui possède un compte inférieur sera propriétaire devant les autres.
D’après la figure 4.12, le compte de niche des particules A et B est 1, 3 respectivement. De ce fait,
la particule A sera avantagée par rapport à B et devient ainsi le gbest. Ce choix a pour but
d’augmenter la diversité en poussant les particules à explorer toutes les régions de la frontière de
Pareto.
UATL 2007
86
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Parmi les inconvénients de cette méthode, le choix de  share qui influe directement sur la
performance d’optimisation. Pour résoudre ce problème, on utilise un modèle dynamique
de  share qui variera selon les itérations. Pour une optimisation bi-objectif, le modèle dynamique de
 share est donné par l’équation suivante [54]:
 share 
u2  l2  u1  l1
N 1
(4.19)
Où :
 ui et li : représentent les limites supérieure et inférieure de deux fonctions, respectivement.
 N : la taille de la population.
D’après l’équation (4.19), il est clair que lorsque la taille de la population augmente,  share
diminue.
A chaque itération, nous classifions les particules non dominées selon leurs comptes de niche.
Puis on choisit le gbest d’une façon aléatoire à partir des premières particules.
4.4.2.6.2 Méthode de Crowding
La méthode de Crowding est premièrement utilisée par NSGA-II [55] afin de maintenir la
diversité dans la frontière du Pareto. Cette méthode est basée sur le calcul de la distance de
Crowding entre les particules dans la frontière non dominée : la distance de Crowding de la
particule i peut être définie comme la distance moyenne entre les deux particules voisines i-1 et i+1.
Après le calcul de la distance de Crowding pour chaque particule dans la frontière non dominée,
on classe les particules dans l’ordre décroissant, puis on choisit le gbest d’une façon aléatoire à
partir de la partie supérieure de la liste classée. C’est à dire que, les particules qui ont la distance
d’encombrement la plus grande sont les plus avantagées pour devenir un gbest.
UATL 2007
87
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
4.5 METHODES UTILISEES
Parmi les méthodes présentées précédemment, on s’intéresse a deux méthodes à savoir : NSPSO
proposée par Li [54] et MOPSO proposée par Coello et Lechunga [48]. Les deux méthodes sont
généralement populaires et faciles à implanter.
Pour assurer une optimisation plus proche de la réalité, nous avons modifié les deux méthodes
(MOSPO et NSPSO) afin de tenir compte des variables continues et discrètes.
4.5.1 Algorithmes des deux méthodes
Dans ce qui suit, nous présentons l’algorithme de NPSO et de MOPSO.
4.5.1.1 Algorithme de NSPSO
L’algorithme NSPSO peut être récapitulé selon les étapes suivantes :
1.
Initialisation et stockage de population dans la liste PSOList
a. Initialisation de chaque particule d’une façon aléatoire entre les limites admises ; la
vitesse de chaque particule est fixée à zéro. pbesti prend la valeur Xi.
b. Evaluation de chaque particule dans la population ; compteur d’itération t =0.
2.
t=t+1
3.
Identification des populations non dominée et les stocker dans la liste nonDomPSOList.
4.
Calcul de : a) compte de place ou b) valeur de distance d’encombrement.
5.
Classement des particules dans la liste nonDomPSOList suivant a) compte de niche, ou b)
la valeur de distance d’encombrement.
6.
pour (i=1 ; i < numParticles ; i++)
a. Sélection aléatoire du gbest pour la i-ème particule à partir de la partie supérieure
(5% de la partie supérieure) de la nonDomPSOList.
b. Calcul de la nouvelle vitesse Vi, à partir de l’équation (4.13), et la nouvelle particule
Xi à partir de l’équation (4.12).
c. Approximer les variables discrètes à la valeur assignée la plus proche.
d. Ajouter la i-ème particule pbesti et Xi à la population provisoire enregistrer
nextPopList. Noter que pbesti et Xi co-existent.
e.
UATL 2007
dans
Aller à a) si i < numParticles
88
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
7.
Identification des populations non dominées de la liste nextPopList et les enregistrées dans
nonDomPSOList. Les autres particules dominées sont enregistrées dans la liste
nextPopListRest.
8.
Vider la liste PSOList pour la prochaine itération.
9.
Choisit aléatoirement des particules de la liste nonDomPSOList et les ajouter dans la liste
PSOList (il ne faut pas dépasser numParticles).
10. boucle si PSOList size < numParticules :
a. Identification des populations non dominées de la liste nextPopListRest et les
enregistrées dans nextNonDomPSOList.
b. Ajouter les particules de la liste nextNonDomPSOList à la liste PSOList, si PSOList
size < numParticules.
c. Copier liste nextPopListRest à la liste nextPopListRestCOpy, puis vider
nextPopListRest
d. Remplir nextPopListRest
nextPopListRestCOpy.
par
les
particules
dominées
de
la
liste
e. Aller à a) si PSOList size < numParticules.
11. si t < maxIterations, Aller à 2.
12. Tracer la frontière du Pareto.
4.5.1.1 Algorithme de MOPSO
L’algorithme MOPSO peut être résumé dans les points suivants :
2. Initialisation de la population POP
Pour i=1 : MAX (MAX nombre de particule)
a. Initialisé aléatoirement POP (i).
b. Approximer les variables discrètes à la valeur assignée la plus proche.
3. Initialisation de la vitesse de chaque particule :
Pour i=1 : MAX
a. V (i)=0
4. Evaluation de chaque particule dans POP.
UATL 2007
89
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
5. Stocker les particules non dominées dans REP.
6. Générer les hypercubes dans l’espace de recherche exploré.
7. Initialisation du pbest
Pour i=1 : MAX
a. PBEST (i)=POP (i)
8. Tant que le nombre d’itération n’est pas encore atteint.
a. Calculer le gbest par la technique présentée dans la section 4.4.2.5.
b. Calculer la vitesse de chaque particule à partir de l’équation (4.13).
c. Calculer les nouvelles positions des particules par l’équation (4.12).
d. Maintenir les particules dans l’espace de recherche.
e. Approximer la valeur continue des variables discrètes à la valeur discrète la plus
proche
f.
Evaluer les nouvelles particules dans l’espace de recherche.
g. Mettre à jour le contenu du REP en insérant les nouvelles particules non dominées
en même temps que l’on élimine les particules dominées du REP. Dans le cas où la
mémoire REP excède une limite spécifiée, on élimine les particules qui ont la
fonction fitness la plus basse.
9. Tracer la frontière du Pareto
4.5.2 Exemple d’application
Pour pouvoir illustrer le comportement de NSPSO et MOPSO face à un problème d’optimisation
multi-objectif, on fait appliquer les deux méthode sur le problème d’optimisation suivant :
Le problème consiste à l’optimisation de deux objectifs f1 et f2 avec :
 f  5( x  1) 2  5
Max  1
2
 f 2  6( x  1.5)  4
(4.20)
Avec:
x   0, 2.5
UATL 2007
90
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
Les paramètres de NSPSO et MOPSO sont présentés dans le Tableau 4.1.
Tableau 4.1 Paramètres de NSPSO et MOPSO
Cj
Nombre de
populations
Nombre d’itérations
maximales
2.0
25
70
Wmax Wmin
0.9
Nombre d’hypercubes pour
MOPSO
0.4
36
Les figures 4.13 et 4.14, représentent les frontières du Pareto obtenues par MOPSO et NSPSO
respectivement. D’après les deux figures, on voit clairement que les deux algorithmes convergent
vers la même frontière (les frontières sont pratiquement superposés), avec toutefois une bonne
distribution des solutions. Pour le cas de MOPSO, la technique de grille de 36 hypercubes (en
violet) donne une frontière de Pareto comportant 1216 solutions non dominées. En revanche, la
méthode NSPSO donne 549 solutions non dominées.
4
3.8
X: 3.749
Y: 4
3.6
f2
3.4
3.2
3
2.8
X: 5
Y: 2.502
2.6
2.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
f1
Figure 4.13 Frontière du Pareto tracée par MOPSO.
UATL 2007
91
CHAPITRE 4
OPTIMISATION MULTIOBJECTIF PAR ESSAIM DE PARTICULES
4
3.8
X: 3.742
Y: 4
3.6
f2
3.4
3.2
3
2.8
X: 5
Y: 2.503
2.6
2.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
f1
Figure 4.14 Frontière du Pareto tracée par NSPSO.
4.6 CONCLUSION
Nous avons présentés, dans ce chapitre, des connaissances de base sur l’optimisation mono et
multi-objective. Par la suite, nous nous sommes intéressés à la méthode d’Optimisation par Essaim
de Particules, son principe de base, sa formulation mathématique ainsi que l’état de l’art de son
algorithme appliquer aux problèmes multi-objectifs. Les deux algorithmes utilisés dans ce mémoire
à savoir NSPSO et MOPSO sont présentés en dernier lieu et appliquées sur un problème de
maximisation de deux fonctions quadratiques non linéaires. Les deux algorithmes ont pratiquement
convergé vers la même frontière du Pareto avec une bonne distribution des solutions sur cette
dernière.
UATL 2007
92
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE
SIMULATION
5.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre, nous allons procéder à l’implantation des dispositifs SVC et TCSC dans un
réseau électrique et voir leurs influences sur la stabilité de tension et sur les pertes actives. Le
nombre des FACTS installé est choisi dès le début par l’utilisateur. Dans notre cas, le choix s’est
porté sur un dispositif pour chaque type de FACTS. Par conséquent, nous devons prendre en
considération le choix de l’emplacement optimal offrant le meilleur rendement. De ce fait, nous
avons utilisé deux indices pour un emplacement optimal.
Le problème de la stabilité de tension, est formulé dans notre cas, comme un problème
d’optimisation mono et multi-objectif. La réduction des pertes actives et la maximisation de la
marge statique de tension ont été les principales fonctions objectives à optimiser par l’algorithme
standard PSO, et ce pour plusieurs scénarios. Par la suite, nous avons optimisé les deux fonctions
simultanément (optimisation multi-objectif) en utilisant deux variantes du PSO, destinées aux
problèmes d’optimisation multi-objectif à savoir : le NSPSO (Non-dominated Sorting Particle
Swarm Optimization) et le MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization). Les deux
algorithmes sont comparés en termes d’optimalité de la frontière de Pareto ainsi que le nombre de
solutions obtenu pour plusieurs cas de simulation.
UATL 2007
93
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
5.2 LOGICIEL DE SIMULATION
Avant d’entamer la phase de simulation, il est préférable de donner un bref aperçu sur le logiciel
PSAT (Power System Analysis Toolbox), utilisé dans ce travail. PSAT est un logiciel didactique,
développé sous Matlab par Dr. Federico Milano [56] pour l’analyse des réseaux électriques. Il peut
effectuer les fonctions statiques et dynamiques suivantes :
 Calcul d’écoulement de puissance PF (Power Flow).
 Calcul d’écoulement de puissance Optimal OPF (Optimal Power Flow).
 Calcul d’écoulement de puissance en continu CPF (Continuation Power Flow).
 Analyse de la stabilité de petites perturbations SSSA (Small Signal Stability Analysis).
 Simulation temporelle TDS (Time Domaine Simulation).
Ces caractéristiques rendent PSAT très utilisé par les chercheurs et les laboratoires des réseaux
électriques. Malgré la disponibilité de plusieurs logiciels spécialisés dans l’analyse et l’étude des
réseaux électriques, développés sous Matlab, PSAT reste un outil performant et très prisé. Le
tableau 5.1 représente une comparaison entre quelques logiciels d’analyse des réseaux électriques
[56].
Tableau 5.1 Comparaison entre des logiciels d’analyse des réseaux électriques.
Fonction
PF
+
EST
MatEMTP
+
MatPower
+
PAT
+
PSAT
+
PST
+
SPS
+
VST
CPF
OPF
SSA
+
TD
+
+
EMT
GUI
+
+
GNE
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Pour plus de détails sur le logiciel PSAT, consulter l’annexe A.
UATL 2007
94
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
5.3 APPLICATIONS
La figure 5.1 montre le réseau test IEEE 14 nœuds [56]. Il comprend deux générateurs installés
aux nœuds 1 et 2, trois compensateurs synchrones installées aux nœuds 3, 6, et 8. Les générateurs
sont considérés avec la limitation sur la puissance réactive. Les paramètres complets du réseau test,
sont présentés en Annexe B.
5.3.1 Courbes d’Effondrement de Tension
Comme déjà mentionné précédemment, l’analyse de la stabilité de tension est basée sur la courbe
de bifurcation de tension (courbe d’effondrement ou courbe PV). Le tracer de ces courbes est basé
sur le programme d’écoulement de puissance en continu (CPF) implémenté dans le logiciel PSAT.
Figure 5.1 Réseau test IEEE 14 nœuds.
La charge est modélisée par le modèle PQ (la charge ne dépend pas de la tension) et définie
selon l’équation (5.1) suivante, avec un facteur de puissance constant :
UATL 2007
95
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Pi   Pi 0

Q i  Q i 0
(5.1)
Avec  désignant le facteur de charge.
La puissance générée par les groupes turboalternateurs est définie par l’équation (5.2) :
PGi   k Gi PGi 0
(5.2)
Avec
 Pi 0 et Q i 0 les puissances active et réactive au nœud i.
 PGi 0 la puissance générée par la machine i dans le cas initial.
 k Gi le facteur de contribution de chaque générateur i pour satisfaire la demande de la charge.
La figure 5.2 représente les caractéristiques de bifurcation pour trois noeuds du réseau, à savoir
4, 13, et 14. A partir de la figure 5.2, il est clair que le CPF permet de surmonter le problème de
divergence rencontrée dans les algorithmes classiques d’écoulement de puissance, en maintenant un
bon conditionnement de la matrice Jacobienne autour du point d’effondrement et en permettant de
tracer la partie inférieure de la courbe de bifurcation. On peut clairement voir, que les tensions aux
trois nœuds diminuent avec l’augmentation de la charge jusqu'à une valeur de 441.4655 MW. Au
delà de ce point, la tension chute d’une façon incontrôlable provoquant un effondrement de tension.
Dans ce point, presque tous les générateurs atteignent leurs limites de puissance réactive. On peut
aussi remarquer, que la variation de la tension dans les trois courbes est différente, ce qui explique
que les trois nœuds donnent des réponses différentes en termes d’instabilité de tension.
De la figure 5.2, on peut introduire un concept très utile dans l’analyse de la stabilité de tension à
savoir la marge de stabilité de tension égale, dans notre cas, à 182.4655 MW.
5.3.2 Influence de la Limite d’énergie Réactive sur l’effondrement de Tension
En pratique, les générateurs électriques possèdent des limites sur la production de l’énergie
réactive, et qui sont dues aux contraintes thermiques sur le bobinage statorique et rotorique. La
figure 5.3 montre l’influence de la limitation de la puissance réactive sur la stabilité de tension. La
courbe en continue présente la courbe de bifurcation (courbe PV) avec la limite sur l’énergie
UATL 2007
96
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
réactive. Dans ce cas, la tension s’effondre à   1.7058 pu . Par contre, lorsque la limitation sur
l’énergie réactive n’est pas considérée, le point d’effondrement de la tension se déplace à un niveau
de charge très élevé égale à   3.973pu , lequel n’est pas un point réalisable.
1.4
Noeud 4
Noeud 13
Noeud 14
1.2
Tension (pu)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Lambda (pu)
1.6
1.7
1.8
Figure 5.2 Caractéristiques PV aux Nœuds 4, 13 et 14.
1.4
Q limitée
Q non limitée
1.2
Tension (pu)
1
0.8
X: 3.973
Y: 0.6883
X: 1.704
Y: 0.6347
0.6
0.4
0.2
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Lambda (pu)
Figure 5.3 Caractéristique PV du Nœud 14 avec et sans limites sur l’énergie réactive.
UATL 2007
97
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
On peut conclure que la limitation sur l’énergie réactive est l’une des causes principales de
l’instabilité de tension. Sans limitation de l’énergie réactive, l’instabilité et l’effondrement de
tension sont souvent impossibles à obtenir. Par conséquent, plus grand est le nombre de générateurs
qui ont une grande réserve d’énergie réactive, plus loin est la zone d’instabilité de tension.
5.3.3 Evolution des Pertes Active et Réactive lors d’un Effondrement de Tension
L’une des limites de transport de l’énergie réactive consiste en les pertes réactives très élevées
autour du point d’effondrement de tension. La figure 5.4 montre l’évolution des pertes actives et
réactives avec l’augmentation de la charge totale du réseau. Il est clair que les pertes réactives
augmentent d’une façon très rapide d’une valeur de 0.2743 pu jusqu'à 2.8427 pu au point
d’effondrement. Cette situation, provoque un déséquilibre entre la production et la demande de
l’énergie réactive. La meilleure solution pour éviter l’effondrement de la tension est la réduction de
la puissance réactive demandée par la charge (cette solution est purement théorique, car elle est
impossible a réaliser dans la pratique), ou l’implantation des dispositifs de compensation de
l’énergie réactive, à savoir : les bancs de condensateurs et les FACTS.
3
Pertes actives
Pertes réactives
2.5
Pertes (pu)
2
1.5
1
0.5
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Lambda (pu)
1.6
1.7
1.8
Figure 5.4 Evolution des pertes active et réactive lors d’un effondrement de tension.
UATL 2007
98
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
5.3.4 Influence du type de Charge sur l’effondrement de Tension
Dans cette partie, nous allons présenter l’influence des modèles statiques de la charge sur
l’instabilité et l’effondrement de tension ainsi que sur les pertes actives et réactives.
 Extension de PSAT pour inclure les différents modèles de charge
Le programme d’écoulement de puissance en continu (CPF) implémenté dans le code PSAT
prend en compte uniquement le modèle statique, à puissance constante (PQ constante). Nous avons
modifié le programme original afin de considérer les différents modèles de la charge.
La figure 5.5 montre l’influence du modèle exponentiel de la charge sur la stabilité ou
l’effondrement de tension. On voit clairement que, plus np est élevé, plus la marge de stabilité de
tension augmente. La marge de stabilité pour le cas de np = nq = 0 (PQ constante) est la plus critique
A contrario, le modèle à admittance constante possède la plus grande marge de stabilité de tension
pour laquelle il ne se produit aucun phénomène d’effondrement de tension.
Ces résultats de simulation peuvent êtres expliqués comme suit : le modèle à admittance
constante dépend du carré de la tension. Ainsi, durant le phénomène d’effondrement de tension,
lorsque la tension de la charge diminue, les puissances active et réactive diminuent
proportionnellement, et l’égalité entre la production et la consommation est toujours satisfaite. Pour
la charge à courant constant, au cour du phénomène d’effondrement de tension, les puissances
active et réactive appelées par la charge diminuent proportionnellement avec la tension. Dans ce
cas, la puissance demandée est plus élevée par rapport à la charge à admittance constante. Pour le
modèle à puissance constante, les puissances active et réactive demandées par la charge, restent
constantes, malgré la diminution de la tension. Dans cette situation, et à un certain niveau de
charge, le réseau ne peut pas satisfaire l’égalité entre la production et la consommation.
Sous la lumière de cette analyse, on peut tirer les conclusions suivantes :
 le modèle de la charge est un paramètre primordial dans l’analyse et l’étude de la stabilité de
tension.
 Les différents modèles de la charge ont des réponses complètement différentes vis-à-vis du
niveau de charge du réseau. Ainsi, la nature de la charge peut accentuer ou diminuer le
phénomène d’effondrement de tension dans un réseau électrique.
UATL 2007
99
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
 Le modèle de charge à puissance constante est le plus néfaste sur la stabilité tension.
1.4
np=nq=0
np=nq=0.25
np=nq=0.5
np=nq=0.75
np=nq=1
np=nq=2
Tension du Noeud 14 (pu)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Lambda (pu)
Figure 5.5 Influence du modèle de charge sur l’effondrement de tension.
5.4 INSTALLATION DES FACTS
Pour des raisons économiques, il est impossible d’installer des équipements FACTS à chaque
nœud et ligne dans un réseau électrique. Le choix du site dépend de plusieurs paramètres à savoir :
le type d’équipement et sa fonctionnalité.
Dans cette section, le choix optimal de la taille et du site d’emplacement du SVC et TCSC pour
un problème d’amélioration de la stabilité statique de tension, sera présenté.
5.4.1 Emplacement Optimal du SVC
Le choix du site des compensateurs d’énergie réactive est basé sur la détermination du nœud
critique du réseau, dénommé aussi le nœud faible. La compensation de l’énergie réactive en ce
nœud, donne une meilleure amélioration de la stabilité de tension par rapport aux autres nœuds du
système. Donc le problème est posé comme suit : Comment définir le noeud critique de notre
système ?
UATL 2007
100
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
La réponse de cette question est simple. Dans notre travail, nous nous sommes basés sur un
facteur de sensibilité de tension [57] qui est extrait de la méthode d’écoulement de puissance en
continu (CPF). La méthode CPF est basée sur la technique prévision correction de solution. La
prévision d’une nouvelle solution est basée le vecteur tangent, qui est représenté par les variations
de l’angle et de l’amplitude de la tension. Ainsi, notre méthode est basée sur la mesure du degré de
sensibilité du vecteur tangent de la tension vis-à-vis de la variation de la charge. De ce fait, le nœud
critique du réseau est le nœud qui comprend la plus grande variation d’amplitude de tension au
point d’effondrement.
L’équation (5.7) représente le Facteur de Sensibilité de Tension VSF (Voltage Sensitivity Factor)
VSFk 
dVk
NB
 dV
i2
(5.7)
i
D’où,
 VSFk est le facteur de sensibilité de tension du nœud k.
 dVk est le tangent de tension de nœud k autour du point d’effondrement de tension.
Comme nous l’avons mentionné dans le deuxième chapitre, le SVC est modélisé comme une
susceptance shunt variable permettent de régler et contrôler la tension au nœud par rapport à la
consigne. La figure 5.6 illustre le principe de régulation de la tension par le SVC.
Figure 5.6 Principe de régulation de la tension par le SVC.
Où ;
 V ref est la consigne de la tension du SVC.
UATL 2007
101
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
 b max la susceptance maximale du SVC.
 b min la susceptance minimale du SVC.
 k r le gain du SVC.
 T r le temps de réponse du SVC.
Le Tableau (5.1) représente le facteur de sensibilité de tension pour quatre nœuds critiques du
réseau. D’après le tableau, il est clair que le nœud 14 possède le facteur de sensibilité de tension le
plus élevé, donc il est considéré comme le nœud critique de notre système.
De ce fait, l’installation d’un SVC dans ce nœud, donnera la meilleure marge de stabilité de
tension, comparée aux autres nœuds de charge.
Tableau 5.2 Facteur de sensibilité de tension pour quatre noeuds critiques.
Noeuds
14
13
10
12
VSF
0.1024
0.0951
0.0930
0.0927
5.4.2 Taille Optimale du SVC
Après avoir choisi le nœud 14 comme lieu d’installation du SVC, nous devons optimiser sa
taille. Pour ce faire, deux méthodes sont proposées : La première considère le nœud 14 comme un
nœud PV (nœud générateur) de tension égale a 0.95 pu (tension minimale) avec une production non
limitée en puissance réactive. Le programme d’écoulement de puissance, au point d’effondrement
de tension (   1.7058 pu ) est par suite exécuté. La puissance réactive fournie par le générateur 14,
pour ce niveau de charge, est considérée comme la quantité d’énergie réactive maximale requise
pour que le système ne s’effondre pas. La réactance capacitive du SVC [58] est déterminée par
l’équation (5.7) :
X c  pu  
0.952
Qmax  pu 
(5.7)
Avec :
UATL 2007
102
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
 Q max est la puissance réactive maximale fournie par le générateur dans le cas où la tension
est minimale.
La deuxième méthode est tout à fait simple : la taille optimale du SVC est choisie selon le
facteur de performance [58] défini par l’équation (5.8).
fp 
 MWinit
QSVC
(5.8)
Avec :
 MWinit la charge nominale du réseau au point du fonctionnement initial.
  la différence entre le point d’effondrement du réseau avec et sans le SVC.
 QSVC la taille du SVC.
La méthode est basée sur l’évaluation du degré de performance pour différentes tailles du SVC :
la taille optimale du SVC est celle qui correspond au facteur de performance le plus élevé.
La figure 5.7 représente l’évolution de la marge de stabilité de tension en fonction de la taille du
SVC. D’après la figure, il apparaît clairement que la marge de stabilité de tension (Lambda)
augmente avec l’augmentation de la taille du SVC jusqu’à bSVC  1.7 pu . Au-delà, lambda reste
constante malgré qu’on continue d’augmenter la taille du SVC. D’après ces résultats, la valeur
correspondant à bSVC  1.7 pu est une taille optimale qui assure une marge de stabilité de tension
maximale. Mais malheureusement, notre problème d’optimisation de la taille du SVC doit
également tenir compte du coût d’équipement. La rentabilité du SVC peut se calculer par le facteur
de performance qui est le rapport de la marge de stabilité sur la taille du SVC.
UATL 2007
103
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
2.1
2.05
X: 1.7
Y: 2.05
2
Lambda (pu)
1.95
1.9
1.85
1.8
1.75
1.7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
bsvc (pu)
Figure 5.7 Evolution de la marge de stabilité de tension en fonction de la taille du SVC.
La figure (5.8) représente l’évolution du facteur de performance en fonction de la taille du SVC.
D’après la figure, on remarque que la taille du SVC correspondant à bSVC  1.3 pu donne le meilleur
facteur de performance. Nous pouvons conclure que la taille du SVC qui fournit la meilleure marge
de stabilité n’est pas forcément la taille optimale.
5.4.3 Influence du SVC sur la stabilité de tension et les pertes dans le réseau
La figure 5.9 illustre l’influence du SVC sur la stabilité statique de tension. Les paramètres du
SVC sont présentés dans l’annexe B. D’après la figure, on voit que l’installation du SVC au nœud
14 augmente la marge de stabilité de tension jusqu’à 2.0503 pu avec le cas de base de 1.7058 pu.
Ainsi, nous bénéficions d’une augmentation de la marge de stabilité de tension de 89.2255 MW. On
peut remarquer aussi, que le SVC (courbe en continue) maintient la tension au nœud 14 autour de la
valeur de référence Vréf = 1.036 pu, via une régulation appropriée de la valeur de susceptance.
UATL 2007
104
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
0.65
X: 1.3
Y: 0.6343
0.6
Facteur de performance fp (pu)
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
bsvc (pu)
Figure 5.8 Evolution de facteur de performance en fonction de la taille du SVC.
1.4
SVC au Noeud 14
Sans SVC
1.2
X: 2.025
Y: 1.016
Tension (pu)
1
0.8
X: 1.706
Y: 0.6297
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Lambda (pu)
Figure 5.9 Caractéristiques de bifurcation au nœud 14 avec et sans SVC.
UATL 2007
105
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
La figure 5.10 montre la variation de la susceptance du SVC lors de l’augmentation de la charge.
D’après la figure, on voit clairement, que le SVC fait augmenter la valeur du bSVC afin de
compenser la chute de tension crée par l’augmentation de la charge. En comparent la figure 5.9 et
5.10, on peut conclure que la tension du réseau s’effondre dés que le SVC atteint sa limite
maximale d’énergie réactive.
1.4
X: 2.025
Y: 1.3
1.2
bsvc (pu)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Lambda (pu)
Figure 5.10 Evolution du bSVC en fonction de la charge.
Pour mieux visualiser l’optimalité de notre choix du site, ainsi que l’efficacité du facteur de
sensibilité de tension, le SVC est installe dans différents nœuds du réseau et une étude comparative
est menée avec le nœud critique (nœud 14).
La figure 5.11 montre l’installation du SVC aux noeuds 14, 12 et 4 et donne les marges de
stabilité de tension respectivement comme suite : 2.0254 pu, 1.9863 pu et 1.9042 pu. D’après ce
résultat, il est clair que l’installation du SVC au noeud 14 fournit la meilleure marge de stabilité par
rapport aux autres nœuds de charge. La courbe en continu (SVC au nœud 14) apparaît clairement
plate à cause du SVC qui assure une régulation de la tension autour du point de référence.
UATL 2007
106
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
1.4
SVC au Noeud 12
SVC au Noeud 4
SVC au Noeud 14
1.2
Tension (pu)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Lambda (pu)
Figure 5.11 Comparaison entre trois sites du SVC.
Les profiles de tension au point d’effondrement, avec et sans SVC, sont présentés dans la figure
5.12.
1.1
Avec SVC
Sans SVC
1
0.9
Tension (pu)
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
Noeud
Figure 5.12 Profile des tensions du système avec et sans SVC.
UATL 2007
107
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Remarquons que pour le cas sans SVC, les nœuds qui sont relativement loins de la production à
savoir les noeuds 9, 10, 11, 12, 13 et14 ont des tensions plus basses par rapport aux autres. Cette
dégradation de la tension est due à la longue distance entre la production et la consommation.
D’autre part, l’installation du SVC au nœud 14 améliore d’une manière remarquable le profile de
tension aux nœuds de charge sauf pour le nœud 3 qui subit une chute de tension importante. Ce
nœud peut être le nœud critique suivant du système avec le SVC installé au noeud 14.
Les figures 5.13 et 5.14 illustrent, l’évolution des pertes actives et réactives en fonction de la
charge. En Comparant, les deux cas avec et sans SVC pour les deux figures, on conclut que le SVC
fait réduire les pertes actives et réactives d’une façon considérable.
1.4
Sans SVC
Avec SVC
1.2
Pertes Actives (pu)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Lambda (pu)
Figure 5.13 Evolution des pertes actives avec et sans SVC
5.4.4 Emplacement Optimal du TCSC
Dans ce travail, on s’intéressera à la compensation de toutes les lignes du réseau (ligne par ligne)
puis on sélectionnera la ligne qui donne la meilleure marge de stabilité de tension après
compensation. Le tableau 5.3 présente les cinq meilleures marges de stabilité de tension pour une
compensation de 50%.
UATL 2007
108
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Tableau 5.3 Les cinq meilleurs emplacements du TCSC.
Ligne
1-5
1-2
5-6
3-2
2-4
Lambda (pu)
1.8578
1.8082
1.7808
1.7763
1.7527
4.5
Sans SVC
Avec SVC
4
Pertes Réactives (pu)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
Lambda (pu)
Figure 5.14 Evolution des pertes réactives avec et sans SVC.
D’après le tableau 5.3, il est clair que l’emplacement du TCSC dans la ligne 1-5 donne la
meilleure marge de stabilité de tension. De ce fait, l’emplacement optimal du TCSC est choisi dans
la ligne 1-5 (la ligne numéro 14).
5.4.5 Taille Optimale du TCSC
Après le choix optimal du site du TCSC, on doit optimiser sa taille, qui assure une augmentation
meilleure de la marge de stabilité de tension avec une taille minimale. La figure 5.15 représente
l’évolution de la marge de stabilité de tension en fonction du taux de compensation de la ligne 14
(noeud1-noeud5). Il est clair que le TCSC donne la meilleure marge de stabilité autour du taux de
compensation de 100%. Mais comme nous avons déjà signalé dans le chapitre 2, le taux de
UATL 2007
109
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
compensation des TCSC est limité entre 20% inductive et 80% capacitive à cause du problème de
surcompensation de la ligne. De ce fait, la taille du TCSC est limitée comme suit :
0.8X L  X TCSC  0.2X L
(5.8)
2.4
2.2
X: 1
Y: 2.004
Lambda (pu)
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
0.5
1
1.5
Taux de Compensation
Figure 5.15 Taille Optimale du TCSC.
5.4.6 Influence du TCSC sur la stabilité de tension et les pertes du réseau
La figure 5.16 représente la courbe de bifurcation de tension avec et sans TCSC. D’après la
figure, on voit clairement que le TCSC augmente la marge de stabilité jusqu’à la
valeur   1.975 pu . Une amélioration de la marge de stabilité de tension de 0.2690 pu (équivalente
de 69.6710 MW) est ainsi obtenue.
Pour mieux visualiser l’influence du TCSC sur les pertes actives et réactives, on fait suivre
l’évolution de ces derniers lors de l’augmentation de la charge. Il est clair que, dans les deux cas
(pertes actives et réactives) le TCSC fait diminuer les pertes totales du réseau, mais d’une façon
remarquable, les pertes réactives. Ce dernier cas est justifié par le fait que le TCSC fait diminuer la
réactance apparente de la ligne, donc il influe directement sur les pertes réactives.
UATL 2007
110
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
1.4
Sans TCSC
Avec TCSC
1.2
Tension (pu)
1
0.8
X: 1.706
Y: 0.6297
X: 1.975
Y: 0.5796
0.6
0.4
0.2
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Lambda (pu)
1.7
1.8
1.9
2
Figure 5.16 Caractéristiques de bifurcation au Nœud 14 avec et sans TCSC.
3.5
Sans TCSC
Avec TCSC
3
Pertes Réactives (pu)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Lambda (pu)
Figure 5.17 Evolution des pertes réactives avec et sans TCSC.
UATL 2007
111
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
0.9
Sans TCSC
Avec TCSC
0.8
Pertes Actives (pu)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Lambda (pu)
Figure 5.18 Evolution des pertes actives avec et sans TCSC.
La figure 5.19, représente le profile de tension au point d’effondrement, avec et sans TCSC. Il
est clair que le TCSC n’améliore pas vraiment le profile de tension, sauf légèrement, aux nœuds 4 et
5.
5.4.7 Comparaison entre le TCSC et SVC
Dans cette section, nous allons effectuer une étude comparative entre le SVC et le TCSC du
point de vue amélioration de la marge de stabilité de tension, et réduction des pertes actives et
réactives.
La figure 5.20, montre la courbe de bifurcation au nœud 14 pour trois cas, avec le SVC, avec le
TCSC et avec le TCSC et le SVC. D’après la figure, on constate que la combinaison entre les deux
types de FACTS donne une meilleure marge de stabilité de tension de   2.244 pu . Par rapport au
TCSC, le SVC prouve son efficacité dans la régulation et le maintien de la tension.
UATL 2007
112
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
1.2
Sans TCSC
Avec TCSC
1.1
Tension (pu)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Noeud
Figure 5.19 Profile de tension du système avec et sans TCSC.
1.4
Avec TCSC
Avec SVC
Avec TCSC et SVC
1.2
X: 2.025
Y: 1.016
1
Tension (pu)
X: 2.244
Y: 0.8028
0.8
X: 1.975
Y: 0.5796
0.6
0.4
0.2
0
1
1.5
2
2.5
Lambda (pu)
Figure 5.20 Caractéristiques de bifurcation pour les cas de SVC, TCSC, et les deux ensembles.
UATL 2007
113
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Les figures 5.21 et 5.22 illustrent, respectivement, l’évolution des pertes réactives et actives pour
les trois cas précédents. D’après la figure 5.21, on voit clairement que, les pertes réactives sont plus
élevées dans le cas du SVC. Concernant les pertes actives, on voit que le TCSC induit des pertes
actives plus élevées par rapport aux autres cas.
5
Avec SVC
Avec TCSC et SVC
Avec TCSC
4.5
Pertes Réactives (pu)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
1.5
2
2.5
Lambda (pu)
Figure 5.21 Evolution des pertes réactives du réseau pour les cas de SVC, TCSC, et les deux
ensembles
La figure 5.23, représente le profile de tension au point d’effondrement pour trois cas de
simulation. D’après cette figure, on remarque que le SVC, fournit un meilleur profile de tension par
rapport aux autres cas de simulation. En Comparant le SVC et le TCSC, on constate que le TCSC
améliore mieux le profile de tension dans les zones proches de leur site d’installation (nœud 3 et5).
La combinaison entre les deux FACTS ne donne pas une amélioration intéressante comparée au cas
du SVC seul. Ce résultat, peut s’expliquer par une interaction négative entre les deux FACTS.
Ainsi, il faut assurer un contrôle coordonné entre les deux FACTS pour mieux tirer avantage de
leurs points forts.
UATL 2007
114
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
2.5
Avec SVC
Avec TCSC et SVC
Avec TCSC
Pertes Actives (pu)
2
1.5
1
0.5
0
1
1.5
2
2.5
Lambda (pu)
Figure 5.22 Evolution des pertes actives pour les cas de SVC, TCSC, et les deux ensembles
1.2
Avec TCSC
Avec TCSC et SVC
Avec SVC
1.1
Tension (pu)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
Noeud
Figure 5.23 Profile de tension du système pour les cas de SVC, TCSC, et les deux ensembles
UATL 2007
115
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
5.5 OPTIMISATION PAR PSO
Dans cette partie, la méthode d’optimisation par essaim de particules est appliquée sur plusieurs
problèmes d’optimisation mono et multi-objectifs, et ce pour plusieurs combinaisons des FACTS.
Pour assurer une optimisation plus proche de la réalité, nous avons modifié la méthode PSO afin de
prendre en compte les variables discrètes.
5.5.1 Formulation du problème
5.5.1.1
Pertes actives
Notre objectif étant de réduire les pertes actives totales du réseau, le problème peut être formulé
comme suit :
 nl

M in   g k V i 2  V i 2  2V iV j cos( i   i )  
 k 1

(5. 9)
Avec :
 nl le nombre des lignes de transport ;
 g k la conductance de la kième ligne ;
 Vi  i et V j  j les tensions aux nœuds i et j respectivement.
5.5.1.2
Marge de stabilité de tension
Cet objectif consiste en la maximisation de la marge de stabilité de tension, via une optimisation
des différents composant du réseau. Le Problème peut être formulé comme suit :
Max 
(5.10)
Avec,  est la marge de stabilité de tension.
UATL 2007
116
CHAPITRE 5
5.5.1.3
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Contraintes du réseau
Les contraintes d’optimisation peuvent êtres divisés en deux types :
 Contraintes d’égalités
Les contraintes d’égalités sont les équations d’écoulement de puissance formulées comme suit :
PG j  PDi  Vi  V j Gij cos  i   j   Bij sin  i   j    0, i  1,..., NB
(5.11)
QG j  QDi  Vi  V j Gij sin  i   j   Bij cos   i   j    0, i  1,..., NB
(5.12)
NB
j 1
NB
j 1
Avec,
- NB le nombre de nœuds ;
- PG et QG les puissances active et réactive du générateur ;
- PD et QD les puissances active et réactive de la charge ;
- Gij et Bij les conductances et les susceptances entre les nœuds i et j.
 Contraintes d’inégalité
Les contraintes d’inégalités représentent généralement les limites de fonctionnement (limites
physiques) du réseau.
-
Limites sur la puissance réactive
La puissance réactive générée est limitée par des valeurs supérieures et inférieures comme suit :
QGmin  QG  QGmax , i  1,..., NG
i
(5.13)
i
Avec NG le nombre de générateurs.
-
Limites sur le transformateur
UATL 2007
117
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Le rapport de transformation des transformateurs est limité par l’équation suivante :
Ti min  Ti  Ti max , i  1,..., NT
(5.14)
Avec NT le nombre de transformateurs.
-
Limites sur le SVC
La puissance réactive générée par les SVC est limitée par l’équation suivante :
min
max
BSVC
 BSVCi  BSVC
, i  1,..., NS
i
i
(5.15)
Avec NS le nombre des SVCs.
-
Limites sur le TCSC
Le taux de compensation du TCSC est limité par l’équation suivante :
X TCSC min  X TCSC i  X TCSC max
(5.16)
Avec NTC le nombre des TCSCs, et XL la réactance de la ligne compensée par le TCSC.
5.5.2 Optimisation Mono-objectif
Dans cette partie, nous avons appliqué la version discrète du PSO sur deux problèmes
d’optimisation mono-objectif différents à savoir la réduction des pertes actives et la maximisation
de la marge de stabilité de tension.
Le problème d’optimisation mono-objectif consiste en la réduction des pertes actives et aussi la
maximisation de la marge de la stabilité de tension pour les cas suivants :
 Sans FACTS
 Avec SVC
 Avec TCSC
 Avec le TCSC et le SVC.
5.5.2.1
Réduction des Pertes Actives
Dans cette section, nous allons appliquer la méthode d’optimisation par essaim de particules sur
le problème de minimisation des pertes actives totales du réseau, formulé par l’équation (5.9).
UATL 2007
118
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Les Variables d’optimisation sont limitées comme suit :
 Variables Continues
Notre réseau test contient quatre générateurs, de telle sorte que leurs régulateurs automatiques de
tension (AVR) sont représentés par des variables continues variant selon l’équation suivante :
0.9 pu  AVR  1.1 pu
(5.17)
Le SVC et le TCS sont considérés comme des variables continus, variant selon l’équation (5.18)
et (5.19) respectivement :
1.3 pu  bSVC  1.3 pu
(5.18)
0.8 X Li  X TCSC i  0.2 X Li
(5.19)
 Variables discrètes
Les transformateurs du réseau possèdent 20 positions de rapports de transformation qui sont
considérés comme des variables discrètes variant selon l’équation suivante :
0.9 pu  T  1.1 pu
(5.20)
Les paramètres de PSO sont résumés dans le tableau 5.4:
Tableau 5.4
Paramètres de PSO
C1 et C2 Taille de la population Nombre maximal d’itérations Wmax Wmin
2.0
50
25
0.9
0.4
La figure 5.24, représente l’évolution des pertes actives en fonction du nombre d’itérations.
D’après la figure, on remarque que la combinaison de SVC et TCSC donne une meilleure
optimisation des pertes actives.
Le Tableau 5.5, représente les solutions optimales pour les quatre cas d’optimisation. D’après le
tableau on remarque que PSO fournit des valeurs discrètes pour les Transformateurs pour les quatre
cas d’optimisation traités. Ces résultats indiquent que notre algorithme tient compte des variables
continues et discrètes.
UATL 2007
119
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
0.142
SVC+TCSC
SVC
TCSC
Sans FACTS
0.141
0.14
Pertes Actives (pu)
0.139
0.138
0.137
0.136
X: 29
Y: 0.1343
0.135
X: 38
Y: 0.1332
0.134
0.133
0.132
X: 49
Y: 0.1321
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Itérations
Figure 5.24 Variation des pertes actives en fonction du nombre d’itération.
Tableau 5.5 Solutions optimales
Sans FACTS
TCSC
SVC
SVC+TCSC
AVR2
1.0467
1.0912
1.0458
1.0457
AVR6
1.1000
1.0786
1.0728
1.0907
AVR3
1.1000
1.0097
1.0161
1.0133
AVR8
1.1000
1.0883
1.0986
1.0999
TR1
0.95
1.0000
0.9900
0.9900
TR2
0.90
0.9900
0.9500
0.9700
TR3
0.95
0.9800
0.9800
0.9500
bmax
0.7640
1.3000
bmin
- 0.3164
0
SVC
TCSC (Xtotale)
Pertes Actives (pu)
0.1778
0.1343
0.1332
0.1742
0.1332
0.1321
UATL 2007
120
CHAPITRE 5
5.5.2.2
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Maximisation de la marge de stabilité de tension
Le problème de la maximisation de la marge de stabilité de tension est formulé par l’équation
(5.10). Le but principal de cette fonction objective est de maximiser la marge de stabilité de tension
en optimisant les variables continues et discrètes du système. Les contraintes du système sont les
mêmes utilisés dans le cas de l’optimisation des pertes actives.
2.6
TCSC+SVC
Avec SVC
Avec TCSC
2.4
Sans FACTS
X: 14
Y: 2.24
Lambda (pu)
2.2
X: 19
Y: 2.047
X: 29
Y: 1.978
2
X: 23
Y: 1.752
1.8
1.6
5
10
15
20
25
30
Itérations
Figure 5.25 Variation de la marge de stabilité en fonction du nombre d’itération.
D’après la figure 5.25 et le tableau 5.6, on remarque que la combinaison entre les deux types de
FACTS fournit la meilleure marge de stabilité de tension. On remarque aussi, d’après le tableau 5.6,
que les valeurs optimales du TCSC et du SVC sont leurs limites maximales. Ce résultat indique
que, pour augmenter la marge de stabilité de tension, il faut, une bonne compensation de l’énergie
réactive (nœuds et lignes).
UATL 2007
121
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Tableau 5.6 Solutions optimales
Sans FACTS
TCSC
SVC
SVC+TCSC
AVR2
1.1000
0.9000
1.1000
0.9000
AVR6
1.1000
1.0915
1.1000
0.9000
AVR3
1.0986
1.1000
1.1000
0.9877
AVR8
1.1000
1.1000
0.9000
1.0649
TR1
0.9000
0.9000
0.9000
0.9600
TR2
0.9000
0.9000
0.9000
0.9400
TR3
0.9000
0.9000
0.9000
0.9600
bmax
1.3000
1.2985
bmin
-0.1032
-0.2464
SVC
TCSC (Xtotale)
0.0446
Marge de stabilité de tension (pu)
1.7516
1.9785
0.0446
2.0475
2.2397
5.5.3 Optimisation Multi objectif par NSPSO et MOPSO
Dans cette section, sont appliquées les deux méthodes NSPSO et MOPSO sur un problème
d’optimisation multi-objectif, qui consiste en la maximisation de la marge de stabilité de tension et
la réduction des pertes actives.
Les deux algorithmes (MOPSO et NSPSO) sont modifiés de telle façon qu’ils prennent en
compte les variables discrètes (comme les transformateurs dans notre cas).
Les paramètres de simulation du NSPSO et MOSPO sont présentés dans le tableau 5.7
Tableau 5.7
Paramètres de NSPSO et MOPSO
Cj
Taille de la
population
Nombre maximal
d’itérations
2.0
100
120
Wmax Wmin
0.9
0.4
Nombre d’hypercubes pour
MOPSO
36
UATL 2007
122
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
La figure 5.26, représente l’application du NSPSO sur plusieurs cas d’optimisation. D’après la
figure, on peut voir clairement que la méthode donne des frontières de Pareto à solutions bien
distribuées. En les comparant aux cas sans FACTS, l’utilisation du TCSC augmente la marge de
stabilité. Aussi, nous notons une augmentation des pertes actives à cause de l’augmentation du
transit de puissance dans le réseau. Dans le cas de la combinaison du SVC et du TCSC, il est clair
que la marge de stabilité de la tension est meilleure dans les quatre cas de simulation.
0.165
sans FACTS
avec TCSC
avec SVC
avec TCSC et SVC
0.16
Pertes actives (pu)
0.155
0.15
0.145
0.14
0.135
0.13
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Lambda (pu)
Figure 5.26 Frontière de Pareto pour quatre cas d’optimisation.
Les figures 5.27 jusqu’à 5.30 présentent une comparaison entre la méthode NSPSO et MOPSO
pour les quatre cas de simulation traités.
La figure 5.27, représente la frontière du Pareto des deux algorithmes MOPSO et NSPSO, pour
le cas sans FACTS. Il est clair que MOSPO fournit une frontière du Pareto bien distribuées de 467
solutions non dominées avec 377 solutions non dominées pour le cas du NSPSO. D’après cette
figure, on remarque que les solutions fournies par NSPSO ne sont pas distribuées parfaitement le
long de la frontière de Pareto comme c’est le cas pour le MOPSO. D’autre part, le NSPSO est
meilleure que le MOPSO en termes d’optimalité des solutions, car certaines solutions de NSPSO
dominent celle de MOPSO.
UATL 2007
123
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
0.138
MOPSO
NSPSO
0.1375
Pertes actives (pu)
0.137
0.1365
0.136
0.1355
0.135
0.1345
0.134
1.6
1.62
1.64
1.66
1.68
1.7
1.72
1.74
1.76
Lambda (pu)
Figure 5.27 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO sans FACTS.
La figure 5.28 représente la frontière du Pareto des deux méthodes pour le cas d’un seul SVC.
D’après la figure on remarque que les solutions fournies par NSPSO sont meilleures que celles de
MOSPO en termes d’optimalité (principe de dominance). En plus, le NSPSO fournit 31 solutions
non dominées alors que 20 solutions sont données par le MOPSO.
Dans le cas du TCSC représenté par la figure 5.29, les deux algorithmes convergent vers
approximativement la même frontière de Pareto. Dans ce cas, le NSPSO converge en donnant 1379
solutions non dominées contre 2146 solutions fournies par le MOPSO.
UATL 2007
124
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
0.141
MOPSO
NSPSO
0.14
Pertes actives (pu)
0.139
0.138
0.137
0.136
0.135
0.134
1.97
1.98
1.99
2
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
Lambda (pu)
Figure 5.28 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec SVC.
0.165
MOPSO
NSPSO
0.16
Pertes actives (pu)
0.155
0.15
0.145
0.14
0.135
0.13
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
1.95
2
2.05
2.1
Lambda (pu)
Figure 5.29 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec le TCSC.
UATL 2007
125
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
La Figure 5.30, représente la frontière du Pareto des deux algorithmes avec la prise en compte
des deux FACTS (SVC et TCSC). D’après la figure, on remarque que la frontière de Pareto générée
par le NSPSO domine celle fournie par le MOPSO. En revanche, l’algorithme MOPSO fournit une
frontière non dominée de 152 solutions contre 54 solutions données par le NSPSO.
0.175
MOPSO
NSPSO
0.17
Pertes actives (pu)
0.165
0.16
0.155
0.15
0.145
0.14
0.135
0.13
1.9
1.95
2
2.05
2.1
2.15
2.2
2.25
2.3
2.35
Lambda (pu)
Figure 5.30 Frontières de Pareto de NSPSO et MOPSO avec le TCSC et le SVC.
5.6 CONCLUSION
Dans ce chapitre, nous avons discuté l’influence des différents composants du réseau sur la
stabilité statique de tension ainsi que sur les pertes actives et réactives. L’application a été effectuée
sur un réseau IEEE 14 nœuds. Deux modèles statiques de charge sont utilisés afin d’étudier l’impact
de la nature de la charge sur la stabilité statique de tension. D’après l’analyse, nous avons constaté
que le modèle classique de la charge (PQ constante) est le plus néfaste sur la stabilité de tension ;
Par contre, une charge à admittance constante donne une meilleure marge de stabilité de la tension.
Le problème du choix de l’emplacement de deux types de FACTS a été discuté, ainsi que leur
influence sur la stabilité de tension et sur les pertes actives et réactives du réseau.
UATL 2007
126
CHAPITRE 5
APPLICATION ET RESULTATS DE SIMULATION
Nous avons ensuite développé une nouvelle version des algorithmes de base de PSO, NSPSO et
MOPSO afin d’introduire les variables discrètes dans le problème d’optimisation. Le PSO a été
appliqué sur deux problèmes d’optimisation mono-objectif complètement indépendants, à savoir la
réduction des pertes actives et la maximisation de la marge de stabilité de tension. Puis nous avons
regroupé les deux fonctions mono-objectif afin de former un problème d’optimisation multiobjectif. La solution de ce dernier a été assurée par la méthode NSPSO. Les résultats de simulation
montrent l’efficacité de la méthode proposée qui a assuré la convergence vers la frontière de Pareto
pour plusieurs cas de simulations.
Finalement, une étude comparative a été menée entre la méthode NSPSO et MOPSO en terme de
distribution, du nombre, et de l’optimalité des solutions sur la frontière de Pareto. Les résultats de
simulation montrent que NSPSO est plus performent que MOPSO dans, presque, tous les scénarios
simulés. En revanche, le point fort de MOPSO réside dans le nombre élevé des solutions optimales
ainsi que la bonne distribution des ces dernières sur la frontière de Pareto. En plus, les deux
méthodes proposées dans ce mémoire n’imposent aucune limitation sur le nombre de fonctions à
optimiser. Ce qui laisse entrevoir, à l’avenir de futures applications avec plusieurs objectifs.
UATL 2007
127
CONCLUSION GENERALE
CONCLUSION GENERALE
Dans ce travail, nous avons traité le problème de la stabilité statique de tension des réseaux
électriques. Des notions de base sur la stabilité de tension ont été présentées dans ce mémoire.
L’étude paramétrique de la stabilité de tension sur un réseau test à deux nœuds indique que le
modèle de la charge a une influence remarquable sur la stabilité statique de tension, de telle sorte
que la modélisation classique de la charge (PQ constantes) fournit la marge de la stabilité de tension
la plus néfaste sur le réseau, tandis que, le modèle à admittance constante fournit la meilleure marge
de stabilité. Donc, on conclut que, la prise en compte du modèle de la charge est indispensable pour
une analyse efficace de la stabilité de tension.
L’utilisation d’un indice efficace pour l’évaluation de la stabilité de tension, est l’un des objectifs
de ce mémoire; pour ce fait, la marge de stabilité de tension a été
utilisée et calculée par
l’algorithme d’écoulement de puissance en continu. Ce dernier a montré ses capacités a surmonter
les problèmes de la singularité de la matrice Jacobienne rencontré dans l’écoulement de puissance
standard.
Le manque de puissance réactive contribue favorablement à une instabilité de tension,
notamment lorsque les générateurs arrivent à leurs limites de production d’énergie réactive. De ce
fait, une compensation appropriée permet d’améliorer et de contrôler la stabilité de tension.
L’introduction optimale des deux types of FACTS a savoir : le SVC et le TCSC a montré une
nette amélioration de la stabilité de tension. L’utilisation du facteur de sensibilité de tension comme
indice d’optimisation de l’emplacement du SVC a montré, pour le réseau d’application IEEE 14
nœuds, que le nœud optimal est le nœud 14. L’installation du SVC en ce nœud fournit une
meilleure amélioration de la stabilité de tension que les autres nœuds du réseau. D’un autre coté, le
choix optimal de la taille du SVC est basé sur un facteur de performance. L’optimisation de la taille
du SVC assure une meilleure amélioration de la stabilité de tension avec un coût minimal de
compensation. Le choix optimal du site du TCSC est la ligne qui fournit la meilleure marge de
stabilité de tension, ce qui correspond dans notre cas a la ligne 1-5. La combinaison entre les deux
types de FACTS donne la meilleure marge de stabilité de tension par rapport a l’utilisation d’un
seul type de FACTS (SVC ou TCSC).
UATL 2007
128
CONCLUSION GENERALE
Deux types d’optimisation sont ensuite traités dans ce mémoire : optimisation mono-objectif et
multi-objectif. La formulation du problème d’instabilité de tension comme un problème
d’optimisation (mono-objectif et multi-objectif) a été développée. Plusieurs variantes de la méthode
d’optimisation par essaim de particules à savoir : la méthode de base PSO, NSPSO (Non dominated
Sorting Particle Swarm Optimzation) et MOPSO (Multi-objective Particle Swarm Optimization)
sont appliquées. Ces méthodes sont modifiées afin de pendre en compte les variables continues
ainsi que les variables discrètes.
L’optimisation mono- objectif par PSO a été appliquée sur deux objectifs différents à savoir la
maximisation de la marge de stabilité de tension et la minimisation des pertes actives. Cette
optimisation a été effectuée pour plusieurs combinaisons de FACTS. Les résultas obtenus montrent
que la combinaison entre le SVC et le TCSC donne la meilleure solution avec un nombre
d’itérations relativement réduit.
Le problème d’optimisation multi-objectif consiste à la minimisation des pertes actives et
l’augmentation de la marge statique de tension. Pour ce fait, deux variantes de PSO destinées à
l’optimisation multi-objectif ont été proposées. Les résultats de simulation montrent l’efficacité de
ces méthodes à converger vers la frontière de Pareto. Par la suite, une étude comparative entre les
deux méthodes proposées a été effectuée et a permis de tirer les conclusions suivantes :
-
NSPSO converge vers la meilleure frontière non dominée par rapport au MOPSO.
-
Le point fort de MOPSO réside dans le nombre élevé des solutions optimales ainsi que la
bonne distribution de ces dernières.
-
Les deux méthodes proposées n’imposent
aucune limitation sur le nombre de fonctions à
optimiser. Ce qui laisse entrevoir, à l’avenir de futures applications avec plusieurs objectifs.
PERSPECTIVES
Cette étude nous a permis de comprendre le phénomène d’effondrement de tension, les causes
qui la favorisent, et aussi les outils d’analyse nécessaires pour traiter ce problème. L’étude des
systèmes FACTS nous a permis de connaître et maîtriser un nouvel axe de recherche appliquée à la
régulation et à la conduite des réseaux électriques. L’application des algorithmes métaheuristiques
fut d’une grande utilité dans la résolution des problèmes multi-objectifs rencontrés dans cette étude.
UATL 2007
129
CONCLUSION GENERALE
Il reste, toutefois, beaucoup de voies à explorer afin de poursuivre et compléter notre travail, et
qui se résument, non exhaustivement, dans les points suivants :
 Utilisation des autres équipements FACTS dans l’amélioration de la stabilité statique de la
tension des réseaux électriques à savoir : UPFC, SSSC, STATCOM,…etc.
 L’étude et l’analyse de la stabilité de tension dynamique.
 Etude comparative avec d’autres algorithmes métaheuristiques appliqués à l’optimisation
multi-objectif.
 Le contrôle coordonné des Multi-FACTS dans un réseau électrique.
 Application des Métaheuristiques dans le problème de placement optimal des MultiFACTS dans les réseaux électriques.
UATL 2007
130
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Power Engineering Summer meeting, 1:38-43, 2000.
[78]
E.J. deOliveria, et al. “Flexible AC transmission devices: Allocation and transmission
pricing”, Electrical power and energy systems, 21(2):111-118, February, 1999.
[79]
T.T. Lie, “Optimal Flexible AC transmission System FACTS devices”, Electrical power and
energy systems, 19(2):125-134, February 1997.
[80]
E.J. deOliveria, et al. “Allocation of FACTS devices in hydrothermal systems”, IEEE trans.
Power system, 15(1):276-282, February 2000.
[81]
V. Miranda, et al. “Experimenting in the optimal capacitor placement and control problem
with hybrid mathematical genetic algorithm”. Proceeding of the international conference on
Intelligent System application to power system, ISAP 2001, pages 188-193, June 2001.
[82]
P.Paterni et al. “optimal location of Phase shifters in the French network by genetic
algorithm”, IEEE trans. Power systems, 14(1):37-42, February 1999.
[83]
F.G Lima et al. “Optimal location of phase shifters in competitive markets by mixed integer
linear programming”, proceeding of 14th power system computation conference (paper 2): 17 2002.
[84]
S. Gerbex, “ Optimal location of FACTS devices in a power system using genetic
algorithm”, proceeding of 13th power system computation conference, PSCC’99,
TRONDHEIM, 2:1252-1259,June 28-July 2 1999.
[85]
S. Gerbex, “Optimal location of Multi-type FACTS devices in a power system by Means of
genetic algorithm”, IEEE trans. Power systems, 16(3):537-544, August 2001.
[86]
A.A. Ladjici, ’’ Calcul évolutionnaire application sur l’optimisation de la planification de la
puissance réactive”, thèse de Magister, Ecole Nationale polytechnique, 2005.
[87]
Gabriela Hug-Glanzmann and G. Andersson, “Coordinated Control of FACTS Devices
based on Optimal Power Flow” presented at the North American Power Symposium
(NAPS), 23 - 25 October 2005, Ames, USA, 2005.
UATL 2007
134
ANNEXE
ANNEXE A
A.1 PSAT
PSAT (Power System Analysis Toolbox) est un logiciel destiné à l’analyse et l’étude des réseaux
électriques, voir figure A.1. Il est développé sous MATLAB par Mr. Federico Milano ; Professeur,
Docteur à l’université de Castilla-La Mancha, Ciudad Real, Spain.
PSAT bénéficie largement des remarques et observations des chercheurs spécialisés dans le
réseau
électrique
via
leurs
contributions
dans
le
forum
de
ce
dernier
http://groups.yahoo.com/groups/psatforum. Pour cela, il a connu des améliorations remarquables
d’une version à une autre.
PSAT est un logiciel, simple, intéressant, qui englobe plusieurs domaines de recherche dans
l’étude et l’analyse des réseaux électriques. La manipulation de PSAT peut être effectuée, soit par
l’interface graphique, soit par la programmation en ligne en utilisant leurs fonctions prédéfinies.
Figure A.1 Interface graphique (GUI) du PSAT 1.3.4.
UATL 2007
A1
ANNEXE
A.2 Format des structures du PSAT
PSAT est basé sur le concept des structures afin d’enregistrer les paramètres du réseau ainsi que
les résultats de simulations. Chaque structure, englobe plusieurs champs des informations qui
assurent une description détaillée du système. Les principales structures du PSAT sont présentées
dans ce qui suit :
A.1.1 Bus
PSAT définit la topologie du réseau par la structure « Bus ». Cette dernière contient plusieurs
champs présentés comme suit :
Con: données des noeuds.
n : nombre total de noeuds.
int : indices des noeuds.
Pg : puissance active injectée par le générateur.
Qg : puissance réactive injectée par le générateur.
Pl : puissance active absorbée par la charge.
Ql : puissance réactive absorbée par la charge.
island : indice des nœuds dans les régions.
Les principales données des nœuds sont stockées dans le champ « Bus.con » présenté par le
tableau A.1
Tableau A.1 Format de la structure Bus.con
Colonnes
1
2
3
4
5
6
Description
Unité
Nœud
int
Tension nominale
kV
Tension initiale
pu
Phase initiale de tension
rad
Numéro de secteur (n’a pas encore utilisé) int
Numéro de région (n’a pas encore utilisé) int
A.1.2 Line
La structure « Line » définit les données des lignes ainsi que les transformateurs. Cette dernière
contient plusieurs champs présentés comme suit :
UATL 2007
A2
ANNEXE
con : données des lignes du réseau.
n : nombre total des lignes AC.
bus1 : noeuds de départ des lignes.
bus2 : noeuds d’arrivé des lignes.
Les principaux paramètres des lignes sont stockés dans le champ « Line.con » présenté par le
tableau A.2
Tableau A.2 Format de la structure Line.con
Colonnes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Description
Unité
Nœud de départ
int
Nœud d’arriver
int
Puissance de base
MVA
Tension nominale
kV
Fréquence
Hz
Longueur de ligne
km
n’a pas utilisée
Résistance de la ligne
pu
Réactance de la ligne
pu
Susceptance de la ligne
pu
n’a pas utilisée
n’a pas utilisée
Limite du courant
pu
Limite de la puissance apparente
pu
Limite de la puissance active
pu
A.1.3 PQ
La structure « PQ » englobe tous les paramètres de la charge. Cette dernière contienne plusieurs
champs présentés comme suit :
con : données des charges PQ ;
n : nombre total de charges PQ ;
bus: numéro des noeuds charges ;
P0: puissance active initiale (utilisé pour les charges non standard) ;
Q0: puissance réactive initiale (utilisé pour les charges non standard) ;
store: copie des données des noeuds charge (ce champs est utilisé dans le cas de
programmation sous PSAT).
Le format des données de la charge est présenté par le tableau A.3 :
UATL 2007
A3
ANNEXE
Tableau A.3 Format de la structure PQ.con
Colonnes
1
2
3
4
5
6
7
8
Description
Numéro du Nœud de charge
Puissance de base
Tension nominale
Puissance active
Puissance réactive
Tension minimale
Tension maximale
Permettre la conversion en impédance
Unité
int
MVA
kV
pu
pu
pu
pu
booléen
A.1.4 SW
La structure SW présente les données du nœud bilan (slack bus). Elle contient plusieurs champs
définis comme suit :
con: données de nœud bilan.
n: nombre total des nœuds bilan.
bus: numéro des nœuds bilan.
store: copie des données de nœud bilan (ce champs est utilisé dans le cas de programmation
sous PSAT).
Le format des données de nœud bilan est présenté dans le tableau A.1.4.
Tableau A.4 Format de la structure SW.con
Colonnes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Description
Unité
Nœud bilan
int
Puissance de base
MVA
Tension nominale
kV
Amplitude de tension
pu
Angle de référence
pu
Puissance réactive maximale
pu
Puissance réactive minimale
pu
Tension maximale
pu
Tension minimale
pu
Puissance active
pu
Coefficient de participation de perte
int
UATL 2007
A4
ANNEXE
A.1.5 PV
La structure « PV » englobe tous les paramètres des nœuds générateurs présentés dans les
champs suivants :
con : données de nœud générateur.
n : nombre total des nœuds générateurs.
bus : numéro des nœuds générateurs.
pq : ce champ est utilisé lorsque la limite d’énergie réactive des générateurs est considérée
(a) con : donnée de nœuds de charge.
(b) n : nombre totale des nœuds de charge.
(c) bus : numéro des nœuds PQ.
store : copie des données des nœuds générateurs. (ce champ est utilisé dans le cas de
programmation sous PSAT).
Les paramètres des nœuds générateurs sont présentés par le champ « PV.con » avec le format
illustré dans le tableau suivant :
Tableau A.5 Format de la structure PV.con
Colonnes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Description
Unité
Nœud générateur
int
Puissance de base
MVA
Tension nominale
kV
Puissance active
pu
Amplitude de tension
pu
Puissance réactive maximale
pu
Puissance réactive minimale
pu
Tension maximale
pu
Tension minimale
pu
Coefficient de participation de perte
int
A.1.6 Shunt
La structure Shunt présente les éléments shunt du réseau. Elle est constitué de plusieurs champs
définis comme suit :
con: données des impédances shunt.
g: vecteur colonne des conductances à chaque nœud du réseau.
b : vecteur colonne des susceptances à chaque nœud du réseau.
UATL 2007
A5
ANNEXE
Les principaux paramètres des éléments shunt sont présentés dans la structure Shunt.con avec le
format illustré dans le tableau A.1.6.
Tableau A.6 Format de la structure Shunt.con
Colonnes
Description
Unité
1
Numéro de noeud
int
2
Puissance de base MVA
3
Tension de base
kV
4
Fréquence
Hz
5
Conductance
pu
6
Susceptance
pu
A.1.7 Svc
La structure « Svc » est allouée aux paramètres du SVC. Elle englobe plusieurs champs définis
comme suit :
con : données du SVC ;
n : nombre total des SVC ;
bus : numéro des nœuds qui contiens des SVC ;
bcv : indice de variable d’état bSVC ;
alpha: indice de variable d’état α ;
Vm: indice de variable d’état vm ;
Be : admittance équivalente bSVC ;
Vref: référence de tension Vref.
Les principaux paramètres du SVC sont présentés dans la structure « Shunt.con » avec le format
illustré dans le tableau A.1.7.
Tableau A.7 Format de la structure Svc.con
Colonnes
Description
Unité
1
Nœud
int
2
Puissance de base
MVA
3
Tension nominale
kV
4
Fréquence
Hz
UATL 2007
A6
ANNEXE
5
Type du SVC
int
6
Constant de temps de régulation Tr second
7
Gain Kr
8
Tension de référence Vréf
pu
9
susceptance maximale bmax
pu
10
susceptance minimale bmin
pu
pu/pu
ANNEXE B
B.1 Paramètres du réseau IEEE 14 noeuds
Tableau B.1 Bus.con
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
13.8
13.8
18.0
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4.0
4.0
4 .0
4.0
4.0
2.0
2.0
3.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Tableau B.2 Line.con
2
6
12
6
6
6
11
9
14
7
5
12
13
13
13
11
10
10
13
9
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
69.0
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
13.8
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0570
0.1229
0.2209
0.0662
0.0662
0.0950
0.0820
0.0318
0.1709
0
0.1739
0.2558
0.1999
0.1303
0.1303
0.1989
0.1921
0.0845
0.3480
0.1100
0.0340
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
UATL 2007
A7
ANNEXE
1
3
3
1
5
2
5
4
4
8
2
2
4
5
4
4
6
9
7
7
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
100.0
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
69.0
18.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
60.0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5.0
5.0
5.0
1.3043
0.0194
0.0470
0.0670
0.0540
0.0134
0.0581
0
0
0
0
0.0592
0.1980
0.1710
0.2230
0.0421
0.1763
0.2520
0.5562
0.2091
0.1762
0.0528
0.0438
0.0346
0.0492
0.0128
0.0374
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0.9320
0.9690
0.9780
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tableau B.3 SW.con
1
100
69
1.06
0
9.9
-9.9
1.2
0.8
2.324
0
0
1
Tableau B.4 PV.con
2
6
3
8
100
100
100
100
69
13.8
69
18
0.4000
0
0
0
1.0450
1.0700
1.0100
1.0900
0.5000
0.2400
0.4000
0.2400
-0.4
-0.06
0
-0.06
1.2
1.2
1.2
1.2
0.8
0.8
0.8
0.8
1
1
1
1
Tableau B.5 PQ.con
11
13
3
5
2
6
4
14
12
10
9
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
13.8
13.8
69
69
69
13.8
69
13.8
13.8
13.8
13.8
0.0350
0.1350
0.9420
0.0760
0.2170
0.1120
0.4780
0.1490
0.0610
0.0900
0.2950
0.0180
0.0580
0.1900
0.0160
0.1270
0.0750
0.0400
0.0500
0.0160
0.0580
0.1660
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
1.2000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0.8000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tableau B.6 Svc.con
14
100
13.8
60
1
120
100
1.036
1.3
-1.3
UATL 2007
A8