Rappels de cours de géométrie plane

Configurations du plan
Rappels de cours
1
1.1
Triangles
Théorèmes des milieux
Théorème 1
– La droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté.
– La droite qui passe par le milieu d’un côté d’un triangle et est parallèle à un autre côté coupe le
troisième côté en son milieu.
– La longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la
longueur du troisième côté.
B
I
J
C
A
1.2
Droites remarquables
Théorème 2
Dans un triangle :
– les 3 hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
– les 3 médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Ce point est situé aux 32 de chaque médiane en partant du sommet.
– les 3 bissectrices sont concourantes en point équidistant des 3 côtés du triangle. Ce point est le
centre du cercle inscrit dans le triangle.
– les 3 médiatrices sont concourantes en point équidistant des 3 sommets du triangle. Ce point est le
centre du cercle circonscrit au triangle.
B
B
A0
C0
H
A0
C
0
G
C
C
B0
B0
A
A
B
A0
B
C
0
O
I
C
B0
C
A
A
Seconde 8 – 2011/2012
1
CONFIGURATIONS DU PLAN
2
2.1
COURS
Triangle rectangle
Théorème de Pythagore et sa réciproque
Théorème 3
Soit A BC un triangle.
– Si A BC est rectangle en A alors BC 2 = A B 2 + AC 2 .
– Si BC 2 = A B 2 + AC 2 , alors A BC est rectangle en A.
b
a2 = b2 + c2
c
a
2.2
Cercle circonscrit
Théorème 4
Soit AM B un triangle.
– Si AM B est rectangle en M , alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
– Si M est sur le cercle de diamètre [A B ] alors AM B est rectangle en M .
M
B
A
3
3.1
O
Angles
Angles opposés par le sommet
Théorème 5
Deux angles opposés par le sommet ont même mesure.
3.2
Angles alternes-internes et angles correspondants
Théorème 6
Soient D et D 0 deux droites et ∆ une droite qui coupe D et D 0
– Si D et D 0 sont parallèles alors les angles alternes-internes et les angles correspondants ont même
mesure.
– Si les angles alternes-internes ou les angles correspondants ont même mesure, alors D et D 0 sont
parallèles.
Seconde 8 – 2011/2012
2
CONFIGURATIONS DU PLAN
COURS
∆
D0
correspondants
alternes
internes
D
3.3
Angles d’un triangle
Théorème 7
La somme des angles d’un triangle est égale à 180˚.
B
C
A
4
Parallélogrammes
Définition 1
Un quadrilatère A BC D est un parallélogramme si [AC ] et [B D] ont le même milieu. Ce
milieu est appelé centre du parallélogramme.
D
C
I
A
B
Théorème 8
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même mesure.
k
D
C
D
C
k
A
B
A
4.1
B
Rectangles
Définition 2
Seconde 8 – 2011/2012
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
D
C
A
B
3
CONFIGURATIONS DU PLAN
COURS
Théorème 9
– Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si il a un angle droit.
– Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même mesure.
4.2
D
C
D
C
A
B
A
B
Losanges
Définition 3
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés ont même mesure.
C
D
B
A
Théorème 10
– Un parallélogramme est un losange si et seulement si il a deux côtés consécutifs de même mesure.
– Un parallélogramme est un losange si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires.
C
C
D
D
B
B
A
4.3
Carrés
Définition 4
5
A
Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
Théorème de Thalès
Théorème 11
On considère deux droites (B M ) et (C N ) sécantes en A.
AM AN
MN
– Si (BC ) et (M N ) sont parallèles alors
=
=
AB
AC
BC
AM
AN
– Si
=
et si A, B , M et A, C , N sont alignés dans le même ordre alors (BC ) et (M N ) sont
AB
AC
parallèles.
B
N
B
M
A
M
C
Seconde 8 – 2011/2012
A
N
C
4