Première ES/L Mercredi 5 février 2014 Durée: 3 heures DST de Math

Prénom et nom : ……………………………
Première ES/L
Mercredi 5 février 2014
Durée: 3 heures
DST de Mathématiques n° 4.
Calculatrice autorisée. Les exercices 1 et 2 sont à faire directement sur l'énoncé. Rendre le sujet.
Exercice 1
Vrai-Faux
Dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Ne pas justifier. Répondre sur l'énoncé.
(+0,5 par bonne réponse et -0,5 par mauvaise réponse)
a) Si f est une fonction positive sur [-2;3], alors f' ( x) > 0 sur [-2;3].
Réponse : ……………
b) Une fonction qui n'est pas strictement croissante sur un intervalle I
Réponse : ……………
est décroissante sur I.
c) Si f est une fonction vérifiant f' (-2)=0, alors f admet un extremum en -2.
Réponse : ……………
d) La fonction f définie sur Ë par f( x)= x 3+3x 2+ 3 est décroissante sur [-1;0].
Réponse : ……………
e) Si f est une fonction définie et dérivable sur [0;3] telle que f(1)<f(2),
Réponse : ……………
alors pour tout x de [0;3] f' ( x) Ã 0.
Exercice 2
Algorithme
1. Considérons l’algorithme suivant écrit à l’aide du logiciel Algobox. Ecrire ce que renvoie l'algorithme si les
valeurs d’entrée sont 7 pour k et 5 pour n ?
(Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 10 à 13. Répondre sur l'énoncé.)
Réponse : ………………………………………………………………………………
2. Compléter l'algorithme ci-dessous à la ligne 11.
(Il n'y a pas de "retour à la ligne" entre les affichages des lignes 12 à 15. Vous pouvez utiliser une syntaxe
"naturelle". Répondre sur l'énoncé.)
…………………………………………………
Exercice 3
A la dérive
1. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes.
a) f définie sur Ë*+ par f( x)=3x 4− x +
1
2x
1
2x 2−3
b) g définie sur Ë−  par g( x)=
2x−1
2
7
2. Etudier les variations de la fonction h définie sur Ë par h( x)=x 3− x 2+2x+7.
2
Exercice 4
Trois inconnues
Soit f la fonction définie sur Ë−{2} par f( x)=ax+ b+
c
.
x−2
C est la courbe représentative de f dans un repère.
Déterminer a, b et c sachant que Cf admet deux tangentes horizontales en A(4;9) et B(0;1).
Exercice 5
Coût marginal et recette marginale
Un industriel fabrique et commercialise des jouets.
On suppose, tout au long de l’exercice, qu’il n’a pas d’invendus dans sa production.
On désigne par x le nombre de centaines de jouets fabriqués.
Le coût total de fabrication est donné en centaines d’euros par CT ( x)=0,03x 3−0,45x 2+2,5x.
Si l’industriel fabrique x centaines de jouets, il vend chaque centaine de jouets au prix P( x)=2−0,08x.
La production est comprise entre 100 et 1 000 jouets.
1. Calculer la recette totale R( x) pour la vente de x centaines de jouets.
2. Rappelons que les économistes assimilent le coût marginal Cm à la dérivée du coût total CT . De même, on a
coutume d’assimiler la recette marginale Rm à la dérivée de la recette totale.
Calculer pour quelle valeur x0 de x la recette marginale est égale au coût marginal.
(On donnera x0 à 10 jouets près.)
3. Vérifier que le bénéfice est maximal en x0.
4. A l’aide d’une calculatrice graphique, représenter les fonctions CT et R.
En observant le graphique, que peut-on conjecturer pour les tangentes à ces courbes au point d’abscisse x0 ?
Expliquer pourquoi ce résultat est vrai.
Exercice 6
Pourcentages
Une usine fabrique des clous et des vis. Les vis représentent 30 % de la production.
10 % des vis sont en acier inoxydable (inox).
1. Quelle part de la production représentent les vis en inox ?
2. La production de vis en inox augmente de 50 % et les quantités des autres produits restent identiques.
a) Quel est le pourcentage d’augmentation de la production totale ?
(Aide : vérifier les calculs en prenant une quantité de produits égale à 100, et compter le nombre de
produits de chaque sorte.)
b) Quelle est la part, en pourcentage, des vis en inox dans la production totale ? (arrondir au dixième)