Les Racines Carrées

Les Racines Carrées
I. Carré d’un nombre
Pour tout nombre a, le carré de a est a2= a
a2 est le carré de a.
Exercice :
On connaı̂t a2 et on veut retrouver a.
a2 = 25, alors a = 5 ou a = -5.
AB est une longueur. AB2 = 13, alors AB =
troncature au millième : AB 3,605
arrondi au centième : AB 3,61
a.
?
13 (AB est positif car c’est une longueur).
II. Racine carrée d’un nombre positif
Sur la figure ci-dessus, ABCD est un rectangle avec : AB = 3 ; BC = 2.
Calculons la longueur de la diagonale du rectangle ABCD :
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B :
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 13
?
La valeur exacte de AC est : 13
Définition :
a désigne un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
?
Ce nombre est noté a.
?
? s’appelle un radical.
a se lit ”racine carrée de a”. Le symbole
?
2
On a : a ¥ 0, p aq a
Exemples :
?
?0 0
?1 1
25 5 car 5 = 252 et 5 est un nombre positif.
16
4
4
16
4
car
et est un nombre positif.
9
3
3
9
3
2
Propriété :
Si a désigne un nombre positif, alors :
?
a2
a
Preuve :
?
D’après la définition, a2 est le nombre positif dont le carré est égal à a2.
Or, a est
? le2 nombre positif dont le carré est a2.
Donc : a a
Exemple :
a
2
12, 4
12, 4
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1
III. Équation de la forme x2
a
Propriété :
Si a ¡ 0,
alors l’équation x2
Si a = 0,
alors l’équation x2
Si a 0,
alors l’équation x2
a admet deux solutions : ?a et ?a
a admet une seule solution : 0
a n’admet pas de solution.
Preuve :
Si a ¡ 0 :
L’équation x2 a s’écrit :
x2 a? 0
p aq2 0?
x2 ?
px ? aq px aq? 0
x a ou x a
? ?
L’équation x2 a admet deux solutions : a et a.
Si a = 0 :
L’équation x2 a s’écrit x2 0
L’équation x2 a admet une seule solution : 0
Si a 0 :
Un carré n’étant jamais négatif, l’équation x2 a n’admet pas de solution.
Exemples :
L’équation x2
L’équation x2
?
?
17 admet deux solutions : 17 et 17.
2 n’admet aucune solution.
IV. Produit et quotient de racines carrées
1. Produit de deux racines
Conjecture
? ? : Calculer
?:
9
4
...
? ?
?9 4 ...
16
9
...
? ?
?16 9 ...
25 4 ...
25 4 ...
Solution
? ? :
?
?
?9 ?4 3 2 6
?9 4 ?36 6
?16 ?9 4 3 12 ?16 9 ?144 12
25 4 5 2 10
25 4 100 10
On
? ?que :
? constate
?9 ?4 ?9 4
?16 ?9 ?16 9
25 4 25 4
Propriété :
? ?
¥ 0 et b ¥ 0) : ?a b ab
?a ?b ?ab (pour tous les nombres a et b positifs).
Preuve : Montrons que
?
?
Calculons le carré de a b :
? ? 2 ? 2 ? 2
a b p aq b ab
?
?
Le nombre a b est le produit de deux nombres positifs. Il est donc positif
? ? 2
a b a b.
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur produit.
Pour tous nombres a et b (a
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et son carré est égal à
2
On en déduit que :
?a ?b2 ?a b, c’est-à-dire ?a ?b ?ab
Exemples
? :?
?
?
2
?
?
? ?7 ?2 7 14
?5 ?80 5 ?80 ? 400 ? 202 20
?50 ?25 2 ? 25 ?2 5 ?2
28 4 7 4 7 2 7
2. Quotient de deux racines
Conjecture
: Calculer
:
?
100
?100 ...
...
25
? 25
144
?144 ...
...
4
?4
100
?100 ...
...
4
4
Solution
:
?
100
10
100 ?
? 5 2
42
25
? 25
144 ?
?144 122 6
36 6
4
?4
100 ?
?100 102 5
25 5
4
4
On
que :
? constate
100
? 100
? 25 25
?144 144
?4 4
?100 100
4
4
Propriété :
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égale à la racine carrée de leur quotient.
?a a
Pour tous les nombres a et b positifs, on a : ? b
b
Preuve : Montrons que
?a a
? b (pour tous les nombres a et b positifs).
?aq2 a b
p
? 2 b
b
?a
a
Le nombre positif ? a donc pour carré .
b
? 2
?a
b
b
a
a
Or,
est le seul nombre positif qui a pour carré .
b
?b a a
Donc ? b
b
Exemples
? :
?3 37
?7 ?49 497
7
?
16
16
?
25
25
?
7
45
3. Remarques
La somme de deux racines carrées n’est pas égale à la racine carré de la somme.
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3
Exemple
? ? :
64?
36 8 ? 6 14
10
et 64? 36 ? 100 ?
Donc : 64
36 64 36
La différence de deux racines carrées n’est pass égale à la racine carrée de la différence.
Exemple
? ? :
?25 9 ?5 3 2
25 9? 16? 4 ?
Donc : 25 9 25 9
V. Utilisation en géométrie
1. ABCD est un carré de côté a. Déterminons BD.
ABCD est un carré, donc BCD est un triangle rectangle en C. Appliquons le théorème de Pythagore dans ce
triangle :
2
2
BD2 = BC2 ?
+ DC2 = a?
+ a2 ?
= a2 ?
2
2
Donc BD a 2 a 2 a 2
?
La diagonale d’un carré de côté a mesure a 2.
2. ABC est un triangle équilatéral de côté a. (AH) est la hauteur issue de A. Déterminons AH.
(AH) est la hauteur issue de A, donc AHC est un triangle rectangle en H.
a
(AH) est aussi la médiane issue de A. Elle coupe donc [BC] en son milieu H. Donc HC 2
Dans le triangle AHC rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore.
AC2 = AH2 + HC2
a 2
a2
4a2
a2
3a2
a2 AH2 AC2 HC2 a2 4? 4
4?
4
2 ? 2 ? ?
3a
a 3
3a2
3 a2
3a
Donc : AH ? ? 2 2
4
4
4
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4
?
La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a mesure
a 3
.
2
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