144 Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 ou 3 22 mars 2010 1 Bibliographie 2 La base Audin Géométrie Biasi Mathématiques pour le CAPES et l'agrégation interne Coxeter & Greitzer Redécouvrons la géométrie Hahn Complex numbers and geometry Ladegaillerie Géométrie ane, projective, euclidienne et anallagmatique Laville Géométrie pour le CAPES et l'Agrégation Sortais & Sortais La géométrie du triangle Tabachnikov Billiards 2.1 Problèmes simples d'angles et de distance Alignement ; Cocyclicité. 2.2 Détermination d'angles et de distances Identités classiques : dénition de π , somme des angles d'un triangle, d'un polygone, théorème de Thalès, dénition classique de cosinus et sinus, théorème de Pythagore, 1 théorème d'Al-Kashi a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â, théorème de l'angle inscrit et critère de cocyclicité, formule des sinus sina  = 2R où R est le rayon du cercle circonscrit, calcul de la distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, entre deux droites ; inégalités classiques : double inégalité triangulaire, caractérisation des projections orthogonales ; 2.3 Lieux géométriques dénis à l'aide d'angles et de distances médiatrice d'un segment, cercle circonscrit à un triangle ; bissectrices de deux droites, cercle inscrit dans un triangle ; \ le lieu des points M tels que AM B = α est un arc de cercle ; dénition des coniques (non dégénérées, non circulaires) par foyer et directrice ; dénition bifocale des coniques à centre. 2.4 Transformations Les isométries préservent les distances mais aussi les angles ; les isométries sont anes ; les similitudes préservent les angles. 3 Pour aller plus loin 3.1 Géométrie du triangle Cercle des neuf points et droite d'Euler [Hahn/ ?] ; (*) Inégalité d'Erd®s-Mordell [Audin] ; (*) théorème de Morley [Hahn, Laville] ; (*) droite de Simpson : les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point sur les côtés d'un triangle dont alignés si et seulement ce point est situé sur le cercle circonscrit au triangle ; (*) théorème de Ptolémée : dans un quadrilatère non croisé inscriptible, la somme des produits des longueurs des paires de côtés opposés est égale au produit des longueurs des diagonales ; 2 3.2 Coniques Un ensemble de points du plan, non tous alignés, à distances entières les uns des autres, est ni ; (*) les coniques comme intersection d'un cône et d'un plan, théorème de Dandelin [Ladegaillerie, p464 / Biasi] ; (*) lois de Képler, la deuxième en particulier. 3.3 Problèmes d'optimisation Le segment est le plus court chemin entre deux points ; lois de Snell-Descartes, plus généralement optique et géodésie ; projection sur les convexes ; dénition variationnelle du barycentre ; θ problème du footballeur ; théorème de Torricelli : dans un triangle dont les angles sont inférieurs à 2 π , l'unique point minimisant la somme des distances aux sommets est 3 l'intersection des trois droites joignant chacun des sommets au troisième sommet du triangle équilatéral extérieur construit sur le côté opposé. 3.4 Billard Réexion sur une droite ; billard elliptique [Tabachnikov] ; problème de Fagnano [Coxeter & Greitzer] ; (*) (*) 3.5 Géométrie sphérique [Audin] Plus court chemin entre deux points de S 2 ; loxodromes et projection de Mercator ; formule de Girard : l'aire d'un triangle sphérique est égale à la somme des angles moins π . 3 3.6 Applications qui préservent les angles ou les distances Il n'existe pas d'application isométrique d'une partie de la sphère dans une partie du plan ; il existe des applications conformes d'une partie de la sphère dans une partie du plan (dont la projection stéréographique et la projection de Mercator) ; les applications holomorphes d'une variable sont conformes ; théorème de Liouville : une application R2 → R2 qui est C 1 , conforme directe et bijective est une similitude ou une translation [Audin] ; (*) les groupes nis de transformations anes préservent une structure euclidienne. 3.7 Polyèdres Dénition des polyèdres réguliers ; les faces d'un polyèdre régulier sont des triangles, des carrés ou des pentagones ; calcul des angles dièdres d'un polygone régulier. 4