Fiche1 : Différents ensembles de nombres. Seconde

Fiche1 : Différents ensembles de nombres.
Seconde
1. Les entiers naturels
ℕ est l'ensemble des entiers naturels : ℕ = {0;1;2;3; ...;122;123;....;2547;2548;....}
C'est un ensemble infini. Chaque entier naturel n comporte un successeur n+1.
Parmi les entiers naturels, certains nombres sont étudiés pour leurs curiosités. En
particulier, les nombres premiers.
Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel qui possède exactement
deux diviseurs 1 et lui-même.
Exemples:
Exemples ► n=24 . Ses diviseurs sont : ..............................................................
Ce nombre possède ...... diviseurs donc 24 ..................................................
► n=53 . Diviseurs : ........................ Conclusion :...................
Liste des nombres premiers inférieurs à 100
2
3
5
7
11 13 17 19
Critères de divisibilité
par 2 : Un entier est divisible par 2 (on dit aussi qu'il est pair) si son chiffre des unités est 0 ; 2 ;
4 ; 6 ou 8.
par 3 : Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
par 4 : Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par
4.
par 5 : Un entier est divisible par 5 si le chiffre de ses unités est 0 ou 5.
par 9 : Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.
par 10 : Un entier est divisible par 10 si le chiffre de ses unités est 0.
2. Les entiers relatifs
La nécessité des entiers relatifs s'est faite sentir à partir du moment où l'on a voulu
résoudre des équations du type : x11=8 Cette équation n'a pas de solution dans ℕ, en
effet 8 – 11 n'est pas un entier naturel.
On introduit un ensemble plus grand noté ℤ = {... ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ....}
A la différence de ℕ , l'ensemble ℤ n'admet pas de plus petit élément.
Remarque : ℤ contient ℕ, ce qui signifie que tout entier naturel est un entier relatif.
3. Nombres rationnels et nombres décimaux
L'équation 4 x1=2 a-t-elle une solution dans ℤ ?
Les décimaux sont les nombres qui peuvent donner des entiers lorsqu'on les multiplie par
une puissance de 10.
Autrement dit, les nombres décimaux sont ceux qui n'ont qu'un nombre fini de décimales.
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Seconde
Conséquence : Un nombre qui a une écriture décimale avec une infinité de décimales n'est
pas un nombre décimal.
Exercice :
4199
1001
est-il décimal ? Même question avec
.
850
165
a
où a∈ℤ et b∈ℕ*
b
L'ensemble des rationnels est noté ℚ. ( un rationnel est une fraction d'entiers )
Définition : On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire
Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est périodique.
( à partir d'un certain rang )
Exemples et contre-exemples :
► 0,2008200820082008... (2008 se répétant dans l'écriture décimale) est donc un
rationnel.
► 0,23571113171923..... ( fabriqué à partir des nombres premiers ) n'admet pas de période
donc il n'est pas rationnel. On dit qu'il est irrationnel.
Conséquence : Un nombre irrationnel qui a une écriture décimale illimité mais non
périodique ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fractions d'entiers.
4. Nombres réels
Tous les nombres vus jusqu'à présent ne permettent pas de résoudre toutes les équations.
Si l'on considère : x 2=3 cette équation n'a pas de nombre rationnel solution. Nécessité
d'un ensemble de nombres encore plus grand..
Définition : On appelle nombre réels tous les nombres représentés sur une droite graduée .
A tout point de la droite correspond un unique réel appelé abscisse du point.
A tout nombre réel correspond un unique point de la droite.
L'ensemble des nombre réels est noté ℝ.
En résumé, on obtient les inclusions
suivantes.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ID ⊂ ℚ ⊂ ℝ ( inclusions strictes )
Déterminer la nature d'un nombre, c'est trouver
le plus grand ensemble dans lequel il se trouve.
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