Rappels en Algèbre www.mathmaurer.com – Cours – 4ème I – Les nombres relatifs Un nombre relatif est composé d'un signe (+ ou –), suivi d'une valeur numérique composée de chiffres et éventuellement d'une virgule. En général, on l'écrit entre parenthèses pour éviter les confusions de signe dans les calculs. 1 - Addition de 2 nombres relatifs Propriété 1: Si les nombres sont positifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est positive. Exemples: (+3) + (+5) = (+8) (+7,2) + (+2,4) = (+9,6) Propriété 2: Si les nombres sont négatifs, alors on additionne les valeurs numériques et la somme est négative. Exemples: (2) + (7) = (9) (4,32) + (3,25) = (7,57) Propriété 3: Si les nombres sont de signes contraires, alors on soustrait les valeurs numériques et on garde le signe associé à la plus grande valeur numérique. Exemples: (4) + (+3) = (1) (+11,4) + (13,6) = (2,2) (+6) + (1) = (+5) (5,06) + (+8,17) = (+3,11) (5) + (+5) = 0 2 - Soustraction de 2 nombres relatifs: Définition 1: Tout nombre relatif possède un opposé. L'opposé du nombre a est le nombre (a) tel que: a (a) 0 Exemples: Nombre a Opposé de a Vérification a + (a) (+1) (1) (+1) + (1) = 0 (2) ((2)) = (+2) (2) + (+2) = 0 0 0 0+0=0 Définition 2: Soustraire un nombre b d'un nombre a, c'est additionner le nombre a et l'opposé du nombre b. a b a (b) Exemples: (+4) (+3) = (+4) + (3) = (+1) car (3) est l'opposé de (+3). (+7) (2) = (+7) + (+2) = (+9) car (+2) est l'opposé de (2). (2,5) (+5,4) = (2,5) + (5,4) = (7,9) (23,4) (1,2) = (23,4) + (+1,2) = (22,2) Remarque: Lorsque dans un calcul, il y a une succession d'additions et de soustractions, on commence toujours par "transformer" les soustractions en addition de l'opposé, puis on effectue les calculs. Exemple: (+7) + (4) – (5) – (+6) = (+7) + (4) + (+5) + (6) = (+7) + (+5) + (4) + (6) = (+12) + (10) = (+2) II – Les fractions 1 - Rappels des critères de divisibilité essentiels Comment savoir si un nombre a pour diviseur 2, 3 ou 5 sans faire la division ? 2 Un nombre entier a pour diviseur 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemple: Le chiffre des unités de 234 est 4 donc 2 est un diviseur de 234. En effet, 234 = 117 × 2 3 Un nombre entier a pour diviseur 3 si la somme de ses chiffres a pour diviseur 3. Exemple: La somme des chiffres de 234 est 2 + 3 + 4 = 9 et 3 est un diviseur de 9 donc 3 est un diviseur de 234 . En effet, 234 = 78 × 3 5 Un nombre entier a pour diviseur 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Exemple: Le chiffre des unités de 170 est 0 donc 5 est un diviseur de 170. En effet, 170 = 34 × 5 Calcul mental: Pour diviser par 5, il suffit de diviser par 10 puis de multiplier le résultat obtenu par 2. 2 - Fractions et nombres décimaux Définition 3: On appelle fraction le nombre, noté a , où a et b sont des nombres entiers, b étant différent b de zéro, tel que: a a b a / b avec b 0 b Vocabulaire: a est appelé numérateur de la fraction et b dénominateur de la fraction. Propriété 4: Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme d'une fraction. 254 2540 25400 ; 10 100 1000 7 70 0, 007 . 1000 10000 25, 4 Exemples: 52 52 520 5200 ; 1 10 100 Remarque: Avec les fractions, on dispose de nouveaux nombres. En effet, certaines fractions peuvent s'écrire sous forme décimale mais pas toutes. Exemples: 5 2 5 2 2,5 donc 5 2 a une écriture décimale. 1 1 1 3 0,3333... donc n'a pas d'écriture décimale. 3 3 3 - Représentation d'une fraction sur une droite graduée a sur une droite graduée, on partage les unités b en b parts égales, puis on compte a parts en commençant à zéro. a b Propriété 5: Pour placer la fraction Nombre de parts Découpage des unités 5 ; il faut découper une unité en 8 parts égales, puis 8 en compter 5 en partant de 0. 5 8 Exemples: • Plaçons la fraction A 5 Le point A a pour abscisse . 8 10 ; il faut découper une unité en 3 parts égales, puis 3 en compter 10 en partant de 0. • Plaçons la fraction Le point B a pour abscisse 10 3 B 10 . 3 4 - Règles de calcul a ne change pas lorsqu'on multiplie ou qu'on divise son numérateur et son b dénominateur par un même nombre différent de zéro. a ac a a c et b bc b b c Propriété 6: Le quotient Application: Comparer deux fractions Exemple: Comparons les fractions 4 7 et . 5 10 Pour comparer des fractions, il faut qu'elles aient le même dénominateur. 4 42 8 = = ; 5 5 2 10 8 7 4 7 > donc on peut conclure que > . 10 10 5 10 Application: Simplifier une fraction Exemple: Simplifions la fraction 14 . 10 14 ÷ 2 = 7 donc 14 = 7 × 2 et 10 ÷ 2 = 5 donc 10 = 5 × 2 d'où 14 7 2 7 10 5 2 5 Application: Effectuer une division à diviseur décimal Jusqu'à présent, le cas d'un diviseur non entier n'a pas été envisagé (ex: 12 ÷ 0,3). Désormais, on sait faire : Exemple: 12 ÷ 0,3 = 12 12 10 120 = = = 120 ÷ 3 = 40 0,3 0,3 10 3