Opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique

Séminaire Équations aux dérivées
partielles – École Polytechnique
B. H ELFFER
Opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1986-1987), exp. no 10,
p. 1-14
<http://www.numdam.org/item?id=SEDP_1986-1987____A9_0>
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EC()LE
POLYTECHNIQUE
CENTRE DE MATHÉMATIQUES
>1 128 PAL,-%ISI--ALJ CH)EX - FRANCE
îdeB
SEMINAIRE EQL’ATIOMS AUX DERIVEES PARTIELLES 1986 - 1987
OPERATEURS DE SCHRODINGER AVEC CHAMP MAGNETIQUE
par B. HELFFER
Exposé n°X
20 Janvier 1987
X-1
§ 1. INTRODUCTION - RESULTATS GENERAUX.
On s’intéresse à l’étude du spectre de
l’opérateur
champ magnétique et potentiel électrique dans E n , un
Rn (on considèrera alors la réalisation de Dirichlet)
Schrodinger avec
ouvert régulier ~~ de
de
ou
une
variété
C
compacte M .
L’opérateur
h
est
ici
dans
R
s’écrit par exemple :
petit paramètre >
un
Il est alors
0 .
[
(cf.[AV-HE-SI]
classique
Q
la réalisation de Dirichlet
a
L2(IR n) )
une
ou
Q
[HU])que
oe
(ou
(
P(h)
A
unique extension autoadjointe
Un autre des
(resp.
p
0
)) partant de o
(resp.
p
aspects classiques de cette théorie est l’invariance
~~
-11
si (p E C (s) alors U
PAU avec
sur
PA(h)
A
par
changement
de
Jauge :
-
~
est
-...
a
égal
S2
.
En P
articulier
On
et
préfère
la remarque
souvent
ont
et
travailler
précédente suggère
différentielles d~
donnée de
PAA
qui joue
avec
même spectre.
P
la 1-forme :
que c’est la classe de
le rôle
important.
wA
modulo les
Tout semble donc lié à la
X-2
On
qu’il faut être plus méticuleux, particulièrement dans le cas
simplement connexe.
Les questions qui nous préoccupent dans cet exposé sont les suivantes
verra
non
@
2
Q3
J.
:
Quand la résolvante est-elle compacte ?
Comment la lère valeur propre
est la
Quelle
multiplicité
dépend-elle
de A ?
de la lère valeur
propre ?
Signalons que d’autres problèmes sont étudiés en
Sjostrand sur d’autres aspects semi-classiques que
Répondons tout d’abord à la question
1Rn
ou
dans
un
ouvert non
avoir des bouteilles
avoir
une
borné. Il est
magnétiques
connu
une
représentations des groupes de
d’exemples comme par exemple dans
mine
Le théorème suivant contient la
connus
ne
se
pose que
lorsque
V =
(cf.[AV-HE-SI]),
0,
on
c.à d.
résolvante compacte.
La théorie des
fournit
qui
que même
dites de 3ème espèce
avec
présentés ici
ceux
Q
([HE-SJ] 3,4 ) .
dans
collaboration
Lie
nilpotents (cf.[HE-NO])
R3 :
plupart
des
exemples
(une version légèrement plus générale
est
donnée dans
Théorème 1.1.
[HE-MO]
non
pathologiques
[HE-ts0]) :
On suppose que
On pose :
et on suppose que
alors
PA(h)
est
à résolvante compacte.
La démonstration
s’inspire
des
techniques
de Kohn
[KO]
et
d’Avron-Herbst-
peut
X-3
[AV-HE-SI] .
Simon
un
espace
L2
e
de
,
t.q. l’on
m
s’agit
Il
de montrer
en
cours.
Regarder
le
cas
mE
. hchoisir
..
puisse
(avec
dans
.
Nourrigat, X.P. Wang)
l’équation de Dirac. Le théorème
de
PA
l’existence d’une puissance fractionnaire
On montre
Problème
du domaine de
injection
une
J.
ci-dessus est
sûrement
faux pour Dirac.
critère moins
qu’un
Notons
[HE-MO],
Dans
(1.6) n’est
on
donne
pas vérifiée. En
une
[V] .
caractérisation du spectre essentiel quand
renforçant l’hypothèse (1.6),
PA(h)
le spectre essentiel de
vient d’être donné dans
explicite
comme
on
peut décrire
la réunion des spectres d’une famille
d’opérateurs limites (à 1’00) qui sont des opérateurs de Schrodinger à
potentiel magnétique et électrique polvnomiaux. On retrouve ici les techniques
d’hypoellipticité de [HE-NO], mais également l’esprit du célèbre théorème de
HVZ .
Revenons
si
a
(où
l’inégalité
oess désigne
Au
§2,
on
Aux §3 et
point
de
départ
Il résulte de
un
(on
on
que
essentiel).
nouvel
tache de
suppose
l’inégalité de Kato
qu’elle existe), on
également d’obtenir :
exemple où
(les exemples antérieurs
1
4,
Q3.
de Kato permet
le spectre
donnera
multiplicité >
et
la lère valeur propre
désigne
toujours :
À A (h)
Notons que
a
questions Q2
aux
répondre
à la
en
réponse
sont dus
à
question Q2
à la
question Q3 on
[AV-HE-SI] et [LA-OCA]).
en
prenant
la démonstration de R. Lavine et O’Caroll de
sous-produit de cette étude, on donne
paramagnétique de [HO-SCH-SE] qui est
J. Avron et B. Simon [AV-SI].
un
une
nouveau
comme
(1.7).
contre-exemple
à la
Comme
conjecture
variante du contre-exemple de
§ 2. UN EXEMPLE OU LA MULTIPLICITE DE LA lère VALEUR PROPRE EST 2 .
Il est
pour
connu
l’opérateur
que la
de
multiplicité
Schrodinger) peut
de la
première
devenir double
(qui est
lorsqu’on ajoute un
valeur propre
1
X-4
potentiel magnétique (cf.
donnons ici
une
variante d’un exemple donné dans
On considère dans
R2
R2 -B(0,8)
l’ouvert S _
de Dirac sont doubles.
(6>0),
V(x) = V(-x),un potentiel magnétique
li
t.q. B
et
0 dans àl
=
exemple,
on
Pour
1 xl
lorsque
P(1)
strictement
est
a
résolvante compacte et
commute avec
correspond à
à
correspondant
P
une
une
fonction propre
fonction Ppropre
P
supérieure :
V(p
27r
A . Pour t =
=
la fonction
e
bien déf inie dans
est
particulier,
est
----
1T (p
i 22TT
e
unitairement
équivalent
de
envoyée
à
Po
A
par
conjugaison
par
.
La lère fonction propre
-i
de
et que
P 0 (1)
Po
(I)
Soit (p la solution multivaluée de
En
t.q. A(-x) = - A(x) dans
défini par
La lère valeur P
de
propre
P
impaire
+°J
est
tA
t = 0, la lère valeur propre de
paire.
P
V
+
potentiel d’Oerstedt-Ampère : [cf.V.W]
peut prendre le
Alors
l’opérateur ¿
potentiel
-
On suppose que V -+ 00
Comme
A
un
+
+
tel que :
[LA-OCA]). Nous
3 et qui s’appuie
classiquement utilisé
est
l’équation
pour montrer que les valeurs propres de
et
[HE-SJ]
(cf. [LA-LI], [WA]) qui
le théorème de Kramers
sur
[AV-HE-SI] 11
les travaux de
P2
x -+
-
ei
e
:
2 7r(p
e
u0
A
27T
"
paire u°
.
impaire
La lère fonction propre de
°
est
sur
la lère fonction propre
Observons maintenant que la fonction
(p (x) /
est
Po
2Tr
car :
=
est
2r 2
1
(w(x)-(P(-x»
(P
impaire.
fw
=
-.
X-5
La
conjonction
(2.3)
de
et
(2.4) permet facilement la détermination d’un
t
t.n.
l’esprit du §4, on peut en créant un puits loin de B(0,6) produire les
inégalités (2.3) et (2.4), pour h assez petit, pour un opérateur PA(h)
B à support dans B(0,6).
avec un champ magnétique
On va cependant pousser l’argument pour démontrer la propriété :
Dans
’
Considérons
l’opérateur
commute avec P~
J
défini par
J
et est
antilinéaire.
~A
et>
E J . On vérifie que
Considérons K =
p"
.
Le théorème de Kramers
nous
K2=-
I et que
dit alors que si
K
u
commute avec
est un vecteur propre,
et>
indépendant ; En effet, si on avait Ku = Àu
on aurait K 2 u = - u = K(Àu) =
u ce qui est contradictoire. Par ailleurs
K
inverse la parité. On a donc bien (2.5).
Le problème est étudié par une méthode différente dans un cadre semiclassique plus générale dans
alors Ku est
vecteur propre
un
!À12
[HE-SJ] 3
«
Question.
Peut-on
fabriquer n’importe quelle multiplicité ?...
§ 3 . VARIATION DE LA lère VALEUR PROPRE EN FONCTION DU POTENTIEL MAGNETIQUE :
ETUDE
QUALITATIVE.
Le théorème
R. Lavine
et
principal est conjecturé (et pratiquement démontré)
O’Caroll [LA-O’CA] .
Théorème 3.1. On suppose
h
est
fixé et
on
su
ose
suppose
que 11
ue
que
est connexe.
h
et
h
On
garde
ont
une
par
hypothèses (1.1) ;
ro re
remière valeur propre
première
les
X-6
Alors les
suivantes sont
propriétés
équivalentes :
.......
,
sont
unitairement
dans R et pour tout
3.2..Si $1
Remarque
.On
est
a un
on
a
dans $1
pour tout (p E
(1) + (iii).
est de montrer
l’identité de Lavine-O’Caroll. Si
0
chemin y
simplement connexe, (iii) devient simplement
théorème analogue sur une variété.
Démonstration. Le point délicat
P~ (h) ,
équivalents
première
est une
u
0
B = 0
On part de
fonction propre de
0
u
Supposons que
X &2 (h)
norme
1
On
déduit alors
en
Posant
À(h)
=
A
et
soit
o
correspondant
en
uA/uo ,
,
à
Às (h).
A
uA(h)
une
P£(h)
fonction propre de
A
de
00
Il existe
.
une
suite
(l)n
t.q.
0
utilisant (3.2) que :
on
obtient :
0 dans ù . En effet si
(3.4), on déduit
(PA(y) = 0 pour un
(3.4) impliquerait que cpA est plat en y . Grâce à un théorème
y
d’Aronszajn-Cordes ([AR],[CO] , cf.[AL,BA] pour l’énoncé directement utilisable)
De
on
.
obtiendrait alors
que m.
dans Q . Localement, pour
ae
une
0 dans la composante
connexe
de
détermination du Logarithme,
on
y
donc
obtient :
X-7
soit
On
et
cste
en
déduit (3.1).
déjà signalé chez [LA-0’CA], il y a des liens directs entre
ce théorème et la fameuse expérience proposée par Aharanov-Bohm en 1959
[AH-BO] qui avait donné lieu à des discussions sur la validité de la mécanique
quantique (cf. [V.W] ,[WU,YA] )
Remarque 3.3.
Comme
§ 4. VARIATION DE LA lère VALEUR PROPRE EN FONCTION DU POTENTIEL MAGNETIQUE :
ETUDE
SEMI-CLASSIQUE.
on
explicitement
s’inspire des perturbations du type : la puce de l’éléphant,introduites pour
l’étude des problèmes à plusieurs puits par Jona-Lasinio, Martinelli, Scoppola
et
[JLMS] et étudiés plus précisément dans
[ SI] 2 .
via
3
le
On abordera
étapes
problème général
Pour donner des
exemples
où
on
mesure
.
4.1
le modèle
4.2
le modèle
4.3
la puce
(4.1)
--
moins
plan
un
disque
magnétique
Le modèle
---
S11
sur
-
sur
.
Considérons
S11
sur
-j-
00
A = cste et
. On identifie
V C
parfois
(hD x -A 2 + V avec
l’opérateur:
p
V
et sa version 27r-pêriodique sur
.
Le
en
premier exercice
prendre
V = 0 et de vérifier le théorème
(3.1)
prenant les séries de Fourier.
Dans le
est
est de
équivalente
C’est
général,
cas
à celle du
le
exactement
on
remarque que l’étude du spectre de
problème
de
Floquet
problème qui apparaît
potentiel périodique.
sur
P A (h)
sur
R :
dans l’étude des bandes du spectre
Dans le cadre semi-classique,
Schrodinger avec
problème est étudié dans les articles d’H arrell [HA], B. Simon [SI] 1 et
d’Outassourt [OU]. Le théorème d’Outassourt [OU] donne par exemple :
de
On suppose que
désigne
V
n’admet
qu’un puits
la lère valeur propre du
le
dégénéré par période, alors, si
problème (4.1), on a :
non
SI
X-8
avec
> 0
e
o
et avec :
(
~
0
a(h)
uniforme par rapport à A .
symbole elliptique > 0
un
Comme
(4.2)
---------
17«
-+
-----
00
§2,
au
--
on
considère
-
,
(), que B = 0 et que V est un potentiel
à un puits non dégénéré en y = (0,-I) (on normalise par V(y) = 0).
la dépendance
en t).
en fait P (h) avec tE lR
On regardera
p
regarder
g
(pour
p
g
tA
On suppose que A et V sont dans C
On s’intéresse donc à
q
q
l’asymptotique
Y P
lorsque
h - 0 de
i
h)t- À 0 o
(h) .
Pour
potentiel électrique crée
et le puits
une barrière entre 3ù
y de sorte qu’un aller et retour de y
à an (pour la distance d’Agmon V d2) est plus long que de faire un tour autour
x
observer le
de
phénomène attendu,
supposera que le
on
.
précisément, soit So distance d’Agmon d’un chemin
Plus
et
soit
longueur minimale pour la
S1 la
fermé passant par
et non
y
homotope
à 0 .
Fig.
Pour
simplifier, on supposera que
L’hypothèse fondamentale
S1 est atteint le
1
est :
~
On
pose ~
=
et on
a),
geo eS1que minimale"
revêtement R
et
un
fait
une
y, (entre
autre point
long d’une unique courbe
le
hypothèse
point
y
au-dessus de
de
non-dégénerescence
identifié à
y
un
y
y(O) ) du
point
différent de
de la
du
type
X-9
introduit dans
On
a
[HE-SJ]1 .
.
alors le théorème suivant :
Sous les
Théorème 4.1.
hypothèses précédentes,
0
uniforme par rapport à
et
d(h) elliptique >
on
a :
t
0
Esquisse de la démonstration. Dans le revêtement ¿R muni
d’Agmon transporté v on considère un ouvert convenable
dR
contenant
connexe
la
la boule
s1
B(y, 2013
+
e.)
de la distance
M
F-
simplement
i
0 , les boules
(avec
sont pour
est identifié a un point y
métrique d’Agmon). Comme précédemment y
R
R
On désigne par u la première fonction propre normalisée du problème
o
Dirichlet dans M
avec potentiel magnétique nul associé à la valeur propre
El
.
de
~ï (h)
(PRla
Soit
Soit enfin
Il
dans nR
solution
)(’ une
de :
fonction à support compact dans M
et
égale
à 1
sur
.
B(y,
en
où
"
).
Alors
une
fonction propre approchée
de F (h)
est
construite
posant :
7r
est la
projection canonique
de si K
sur S
.
On montre alors que :
La
dépendance
travail de A.
en
A
est alors
Outassourt
[OUI.
très
explicite
et on conclut comme dans
le
X-10
4.3. La uce
magnétique.
champ magnétique
le
a
disque B(0,6).
particulier (4.3).
confiné dans le
est
hypothèses du § 4.2
autres
On
On travaille maintenant dans
en
E2 et
On
on
.suppose
garde
que
toutes les
alors le théorème :
Théorème 4.2. Sous les
>
avec E
hypothèses précédentes :
0 .
o
0
est
uniforme pour
a(h) elliptique >
t
0
Démonstration. Compte
propres de
PtA(h)
tenu
associées
d’un résultat
aux
premiers
sur
la décroissance des fonctions
niveaux (elles décroissent
comme
dV
...
e
de
h ) (cf.[HE-SJ]3) , la comparaison entre
tA (h) donne variation
Pt(h) et celles de P t
une
(4.4)
et
premières
valeurs propres
maximale de l’ordre de
alors le résultat.
(4.3) donnent
Remarque 4.3.
les
On laisse
lecteur le soin
d’imaginer des extensions naturelles
sur les variétés. Les problèmes Mathématiques qui en découlent sont de même
nature au niveau topologique que ceux apparaissant dans l’expérience de
Aharanov-Bohn. Il y
Bohn semble être
problème
4.4.
de
un
cependant une différence sensible. L’effet Aharanovproblème de Scattering. Nous avons introduit ici un
a
première
Contre-exemple
au
valeur propre.
à la
développées ici
paramgnétique formulée
telles
infirmée par J. Avron
conjecture paramagnétique.
donnent
dans
et B.
également
Des idées voisines de
contre-exemples à la conjecture
[HO-SCH-SE], reprise dans [AV-HE-SI] et finalement
Simon [AV-SI] (Nous remercions R. Seiler de nous
des
avoir
signalé cet article).
Rappelons qu’il s’agit d’étudier
dans
L2(:R2, (C2)
l’opérateur :
X-11
avec
(Dans
La
le
cas
général c’est
plus
un
potentiel électrique)
conjecture était :
est alors
exemple
Un contre
de Avron-Simon est basée
§ 4.2
on
sur
l’esprit du § 4.3 (l’exemple
proche) de la manière suivante.
aisément fourni dans
une
idée très
support dans B(0,6)
et
dans l’ouvert ~ introduit
d’après (4.4) (en
prenant
toutes
les
hypothèses
de
§)
ce
-28
Quand
qui
ne
on
passe à
R2 ,
Berry
,
on
fait
une
modification de l’ordre de 0(e
modifie pas (4.7). On contredit alors aisément (4.6) pour
famille de couples
§ 4.5.
Remarque
sur
au
a :
alors
a
est à
B
On suppose que
On
le carré de Dirac
/h
-2S /h
toute une
(t,h).
finale.
A. Voros
nous
des billards de Aharonov-Bohm
a
indiqué
des travaux de Robnik et
(cf. par exemple [BE]).
De la
bibliographie de leurs travaux, je mentionnerai l’important survey de
Olariu-Popescu [O.P]. Le survey mentionne un article de Peshkin [PE] relié
à nos § 3 et 4 dans un cas très particulier.
Signalons enfin que l’effet d’Aharonov-Bohn est encore contesté par
une école de Physique (cf. le livre : Fundamental Aspects of Quantum theory,
Nato Asi Series - Séries B - Physics Vol.144 (1985)). Dans l’esprit des
remarques’ de [PE], la contestation des effets quantiques du potentiel
magnétique devient, en particulier via les travaux du §3 et 4 et aussi
par des travaux antérieurs moins mathématiques, une contestation des
fondements de la mécanique quantique : caractère univoque de la fonction
X-12
d’onde, validité de l’équation de Schrodinger pour décrire le phénomène
quantique. Il semble cependant qu’une majorité de physiciens ne conteste
pas l’effet d’Aharonov-Bohn.
Références.
[AH-BO]
Significance of Electromagnetic Potentials
Quantum theory The Physical review vol.115 n°3, Aug 1959.
Y. AHARONOV - D. BOHM :
in the
[AL-BA]
Uniqueness for the characteristic
cauchy problem and strong unique continuation for higher order
partial differential inequalities Amer. J. of Math. Vol. 102 n°1
p.179-217.
[AR]
N. ARONSZAJN : A
S. ALINHAC - M.S.
BAOUENDI :
unique
continuation theorem for solutions of
elliptic partial differential equations or inequalities
order. J. Math. Pures Appl. (9) 36 (1957) pp.235-249.
[AV-HE-SI]
J. AVRON - I. HERBST - B.
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[1] General interactions. Duke Math. Journal Vol.45 n°4 Dec.78
[2] Separation of Center of Mass in Homogeneous Magnetic fields.Annals
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[AV-SE]
J. AVRON - R.
SEILER :
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and Euclidian Massless Dirac Particles.
April
[AV-SI]
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[BE]
M.
[C-S-S]
J.M.
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non
Phys.
relativistic Electrons
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SIMON : A counter
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BERRY : Journal of
COMBES - R.
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Physics serie
SCHRADER - R.
A
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SEILER : Classical bounds and limits
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Annals of
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X-13
[CO]
H.
CORDES :
gleichungen
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Anfangs vorgaben";Nachr. Akad. Wiss. Göttingen II
"Uber die Bestimmtheit der Lösungen
durch
(1956) pp.230-258.
E.M.HARRELL : The band
[HA]
dimensional, periodic
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structure of a one
system in the scaling limit. Ann.
[HE-MO]
B. HELFFER - A. MOHAMED :
l’opérateur
[HE-NO]
de
Caractérisation du spectre essentiel de
Schrödinger
HELFFER - J. NOURRIGAT :
B.
avec
un
champ magnétique. Manuscrit.
Hypoellipticité
maximale pour des
opérateurs
polynômes de champs de vecteurs. Progress in Mathematics Vol.58,
Birkhäuser, Boston (1985).
[HE-SJ]
HELFFER - J.
B.
SJOSTRAND :
[1] Multiple wells in the semi-classical limit I;Comm. in P.D.E.,9 (4)
(1984) p.337-408.
[2] Multiple wells in the semi-classical limit II;Annales de l’I.H.P.,
vol.42, n°2 (1985) p.127-212.
[3] Effet tunnel pour l’équation de Schrödinger avec champ magnétique
Preprint
[4]
de l’Ecole
Déc.86.
Polytechnique
préparation.
En
[HO-SCH-SE]
H.
HOGREVE - R.
SCHRADER - R.
SEILER : A
conjecture
spinor functional determinant;Nuclear Phys.
[HU]
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Magnetic Schrödinger Operators
Kyoto Univ. 26-3 (1986) p.357-374.
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