FICHE 9 – GÉOMÉTRIE 3ème Trigonométrie Définition Dans un triangle rectangle, les rapports AB BC BC , , AC AC AB ne dépendent que de la mesure de l’angle 𝐴̂. Par définition : = ̂ 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒖 𝒄ô𝒕é 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕 à 𝐀 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 𝒍′𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕é𝒏𝒖𝒔𝒆 ̂ = 𝐜𝐨𝐬 𝐀 ̂» On lit « cosinus de 𝐀 𝐁𝐂 𝐀𝐂 = ̂ 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒖 𝒄ô𝒕é 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔é à 𝐀 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 𝒍′𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕é𝒏𝒖𝒔𝒆 ̂ = 𝐬𝐢𝐧 𝐀 ̂» On lit « sinus de 𝐀 𝐁𝐂 𝐀𝐁 = 𝐀𝐁 𝐀𝐂 ̂ 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒖 𝒄ô𝒕é 𝒐𝒑𝒑𝒐𝒔é à 𝐀 ̂ = 𝐭𝐚𝐧 𝐀 ̂ 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒖 𝒄ô𝒕é 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕 à 𝐀 ̂» On lit « tangente de 𝐀 Exemple : Compléter : ̂ = sin RTL ̂ = cos RTL ̂ = tan RTL ̂ = sin TLR ̂ = cos TLR ̂ = tan TLR Utilisation de la calculatrice • Pour calculer la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente d’un angle en fonction de sa mesure. On utilise les touches : sin cos tan • Connaissant la valeur du cosinus, ou du sinus ou de la tangente d’un angle donné, la calculatrice peut donner la valeur de cet angle. On utilise les touches : sin-1 cos-1 tan-1 FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 1 Exemple : Compléter avec la calculatrice, les angles seront arrondis à l’unité et les quotients au centième. a) Si 𝛼̂ = 32°, alors sin α ̂ ≈ …… b) Si cos α ̂ = 0,92 , alors α ̂ ≈ …… c) Si tan α ̂ = 2 , alors α ̂ ≈ …… d) Si sin α ̂ = 0,67 , alors α ̂ ≈ …… e) Si 𝛼̂ = 47°, alors sin α ̂ ≈ …… f) g) Si 𝛼̂ = 65°, alors tan α ̂ ≈ …… h) Si 𝛼̂ = 43°, alors cos α ̂ ≈ …… Si 𝛼̂ = 87°, alors cos α ̂ ≈ …… À quoi sert la trigonométrie ? a) Calculer un angle dans un triangle rectangle : ̂ au Déterminer l’arrondi de la mesure de l’angle 𝐁𝐀𝐂 dixième de degré. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. b) Calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle : Déterminer l’arrondi au millimètre de TR en cm. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. ……………………………………………….. FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 2 → ENTRAÎNEMENT Exercice 1 : FIGURE ÉNONCÉ On sait que : PR = 2 cm RV = 5 cm ̂ Calculer 𝑅𝑃𝑉 Arrondir à 1° près SOLUTION ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. On sait que : PV = 72 mm PR = 27 mm ̂ Calculer 𝑃𝑉𝑅 Arrondir à 1° près ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. On sait que ̂ = 20 ° 𝑃𝑉𝑅 PV = 10 cm Calculer PR Arrondir à 1 mm près ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. On sait que ̂ = 63 ° 𝑅𝑃𝑉 RP = 4 cm Calculer RV Arrondir à 1 mm près ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 3 On sait que ̂ = 29 ° 𝑃𝑉𝑅 RP = 3 cm Calculer PV Arrondir à 1 mm près ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. Exercice 2 : Quelle distance en m l’avion va-t-il parcourir avant de toucher le sol ? On donnera l’arrondi à l’unité du résultat. ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Exercice 3 : Déterminer l’arrondi au millimètre de TR. ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Exercice 4 : À quelle distance une personne située en A se trouve-t-elle de la tour Eiffel ? ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 4 ̂ au centième de degré prés. Exercice 5 : Donner une valeur approchée de l’angle P ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Exercice 6 : Casimir veut installer chez lui un panier de basket. Il doit le fixer à 3,05 m du sol. L’échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long. 1- À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier ? (Donner une valeur approchée au cm près.) ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… 2- Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol. (Donner une valeur approchée au degré près.) ………………………………………………………….…………………………………… …………………….………………………………………………………….…………… ……...……………………………………….……………………………………………… Exercice 7 : Sans utiliser de rapporteur, construire un angle 1- dont la tangente est égale à 1,5. 2- dont le cosinus est égal à 0,6. FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 5 Exercice 8 : Le triangle RST est-il isocèle en S ? …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. Exercice 9 : On donne BD = 4 cm, BA = 6 cm et ̂ = 60° 𝐷𝐵𝐶 1- Montrer que BC = 8 cm. 2- Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième. 3- Calculer AC. ̂ 4- Quelle est la valeur de tan 𝐵𝐴𝐶 ̂. 5- En déduire la valeur arrondie au degré près de 𝐵𝐴𝐶 FICHE 9 – GÉOMÉTRIE – TRIGONOMÉTRIE - 6