Chapitre 2 Partie Algèbre Calculs algébriques vv Objectifs vv Ce chapitre a pour but de présenter les différents types d’une démonstration par récurrence et étudier les propriétés des symboles Sigma et Pi : û Rappeler les propriétés des symboles Sigma et Pi. û Rappeler le principe de récurrence et ses applications. û Faire des démonstrations par récurrence. Mr. Moussa Faress Pr. Mathématiques Supérieures CPGE de Meknès Année Scolaire : 2016-2017 1 - Somme et produit. 1.1 - Le symbole Sigma. Soient m et n deux entiers naturels tels que m 6 n et I = {m, m + 1, . . . , n − 1, n}. Définition 1.1. Symbole ∑ Pour toute famille finie ( ak )k∈ I de nombres complexes, la somme am + am+1 + · · · + an−1 + an est notée n ∑ ak ou ∑ k∈ I ak ou encore k=m ∑ ak . m6k 6n n n n n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) Exemples : 1. Pour n > 1 : ∑ k = et ∑ k2 = et ∑ k3 = 2 6 k=1 k=1 k=1 2. Pour tous n ∈ N∗ et a 6= b ∈ C on a : n−1 ∑ ak bn−1−k = k=0 n(n + 1) 2 2 . an − bn . a−b 1 − qn+1 k 3. Pour tous n ∈ N et q ∈ C on a : ∑ q = 1−q k=0 n n si q 6= 1 . si q = 1 Remarques : 1. Cette somme comporte n − m + 1 termes. 2. La lettre k peut être remplacée par tout symbole distinct des bornes m et n et ne figurant pas dans les ak 3. ( ak )m6k6n et (bk )m6k6n deux familles de nombres complexes et α un complexe. Alors : n n ∑ α = (n − m + 1).α ; k=m n n ∑ ( ak + bk ) = ∑ k=m ak + k=m ∑ k=m n bk ; n ∑ α.ak = α. ∑ k=m ak . k=m Changement d’indice Le changement d’indice est une opération très courante. Les exemples valent ici mieux qu’un long discours : n n+1 1 1 1 1 # On a : ∑ = 1 + + . . . + = ∑ p2 . On a effectué ici le changement d’indice 2 2 2 ( k + 1 ) 2 ( n + 1 ) p=1 k=0 p = k + 1 . Cela revient à remplacer tous les k de la somme initiale par des p − 1 . Mais il faut aussi changer les bornes. Quand k varie de 0 à n que fait p = k + 1 ? Il varie de 1 à n + 1. # On a : 9 7 r=2 s=0 ∑ rr = 22 + 33 + . . . + 99 = ∑ (s + 2)s+2 . On a effectué le changement d’indice r = s + 2 Quand r varie de 2 à 9 , s = r − 2 varie de 0 à 7. Proposition 1.1. Simplifications télescopiques n Soit ( ak )m6k6n+1 une famille de nombres complexes. Alors on a : ∑ ( ak+1 − ak ) = an+1 − am . k=m Cours-s- Mr. Faress , Lok 2 MPSI 2016-2017 Proposition 1.2. Permutation des Sigmas Soit ( ai, j )16i, j6n une famille de nombres complexes . On a : ! ! n ai, j = ∑ n = ∑ ∑ ai, j i =1 16i, j6n n j=1 n ∑ ∑ ai, j j=1 ; ai, j = ∑ ! ∑ n = ai, j ∑ j =i + 1 ! n j =i ! j n = ∑ ∑ ai, j i =1 j−1 1 6i 6 j 6 n n i =1 ai, j = ∑ i =1 n−1 1 6i < j 6 n n ∑ ∑ ai, j j=1 i =1 ! ∑ ∑ ai, j i =1 j=2 Exercice .1. Calculer les sommes suivantes : A= ∑ B= ij 16i, j6n ij ∑ C= D= ij ∑ 1 6i < j 6 n 1 6i 6 j 6 n i( j − 1) ∑ E= 1 6i < j 6 n (i + j ) ∑ 16i, j6n Exercice .2. 1. Soit n un entier tel que n > 1. Simplifier la somme : Sn = 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n!. n 2. Que valent les sommes : Sn = n 3. Comparer les sommes n ∑ (2k + 1) ∑ (−1)k (2k + 1) ? Tn = et k=0 n k=0 n n ∑ k et ∑ (n − k). Simplifier ∑ k + ∑ (n − k). Conclusion ? k=0 k=0 4. Soit Q, une constante. Simplifier n n k=0 k=0 k=0 ! ∑ Qk − Q ∑ Qk k=0 . Conclusion ? 1.2 - Le symbole Pi . Soient m et n deux entiers naturels tels que m 6 n et I = {m, m + 1, . . . , n − 1, n}. Définition 1.2. Symbole ∏ Pour toute famille finie ( ak )k∈ I de nombres complexes, le produit am × am+1 × · · · × an−1 × an est noté n ∏ ak ou ∏ ak ou encore ∏ k∈ I k=m ak m6k 6n Remarques : 1. Ce produit comporte n − m + 1 facteurs. 2. La lettre k peut être remplacée par tout symbole distinct des bornes m et n et ne figurant pas dans les ak 3. ( ak )m6k6n et (bk )m6k6n deux familles de nombres complexes et α un complexe. Alors : n ∏ α = α n−m+1 k=m n ; n n ∏ ( ak × bk ) = ∏ ak × ∏ bk k=m k=m k=m ; n n k=m k=m ∏ α.ak = α n−m+1 . ∏ ak . 4. Changement d’indice : Voir le cas d’une somme. n Exemples : 1. ∏ k = n!. k=1 2. Si x1 , . . . , xn sont les racines du polynôme P = an X n + . . . + a0 alors n a0 ∏ xk = (−1)n an . k=1 Cours-s- Mr. Faress , Lok 3 MPSI 2016-2017 Proposition 1.3. Simplifications télescopiques n Soit ( ak )m6k6n+1 une famille de nombres complexes. On a : ∏ k=m ak+1 a = n+1 ak am Proposition 1.4. Permutation des Pi Soit ( ai, j )16i, j6n une famille de nombres complexes. On a : ! ! n ∏ ai, j = n = ∏ ∏ ai, j i =1 16i, j6n n j=1 n ∏ ∏ ai, j j=1 ; ai, j = ∏ 1 6i 6 j 6 n ! n ∏ ∏ i =1 ai, j = ∏ i =1 n−1 1 6i < j 6 n n ai, j n = j =i + 1 n ∏ ∏ ai, j i =1 j−1 j =i ! n = j ! ∏ ∏ ai, j j=1 i =1 ! ∏ ∏ ai, j j=2 i =1 Exercice .3. n 1. Simplifier les produits suivants : n ∏ (2k) et ∏ (2k − 1). k=1 k=1 n ∏ (2k − 1) 2. Simplifier le produit : k=1 . n ∏ (2k) k=1 n 3. Prouver les égalités : n ∏ (4k − 2) = k=1 (2n)! . n! ∏ (n + k) = k=1 Exercice .4. n n 1 k . et ∑ k(k + 1)(k + 2) ∑ (k + 1)! . k=1 k=1 n 1 2. Simplifier, pour n ≥ 2, la somme Sn = ∑ ln 1 − 2 . k k=2 1. Simplifier la somme : n 3. Calculer Sn = n ∑ ∑ e2iπ ( k+ p n ) α +n−1 β+n−1 et Tn = k=1 p=1 ∑ k=α ∑ e2iπ ( k+ p n ) . p=β 2 - Coéfficients binomiaux. + + + + n Pour tous p, n ∈ N, on appelle coefficient binomial p parmi n , noté , l’entier naturel : p n! si 0 6 p 6 n n p!(n − p)! = . 0 p sinon n n n n(n + 1) Pour n > 0 : = 1 Pour n > 1 : = n, Pour n > 2 : = , 2 0 1 2 n n Pour tous entiers n et p avec 0 6 p 6 n, on a : = . p n−p n n−1 n−1 Pour tous entiers n et p avec 1 6 p 6 n − 1, on a : = + . p p−1 p Cours-s- Mr. Faress , Lok 4 MPSI 2016-2017 + Sous réserve que les coefficients définis, les égalités ci-dessous soient On a suivantes : n n n n−1 n−p n n n−1 n = ; = ; = . p+1 p+1 p p p p−1 p n−p p + Pour tous x et y de C et tout n de N, on a : n n ( x + y)n = ∑ xk .yn−k k k=0 n n k (1 + x) = ∑ x k k=0 n n n 2 = ∑ . k k=0 n 3 - Principe de récurrence. 3.1 - Parties de N. Définition 3.1. Ordre dans N On définit dans N la relation d’ordre "6" par : Pour tout m et n de N, m 6 n si et seulement si il existe p de N tel que : n = m + p. Cette relation d’ordre est totale sur N : Pour tout m et n de N on a : m 6 n ou n 6 m. Définition 3.2. On dit qu’une partie non vide A de Z est : ◦ majorée (dans Z) s’il existe M dans Z tel que : ∀ x ∈ A : x 6 M. ◦ minorée (dans Z) s’il existe m dans Z tel que : ∀ x ∈ A : x > m. Proposition 3.1. → 0 est le minimum de N. → Toute partie non vide de N possède un plus petit élément . Théorème 3.1. • Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément. • Toute partie non vide minorée de Z possède un plus petit élément. • Toute partie non vide majorée de Z possède un plus grand élément. Proposition 3.2. Division euclidienne dans N Soit (m, n) dans N × N∗ , Il existe un unique couple (q, r) de N2 tel que : m = nq + r et 0 6 r < n . Proposition 3.3. Axiome de récurrence Soit A une partie de N telle que : 0 ∈ A et ∀n ∈ N : n ∈ A =⇒ n + 1 ∈ A. Alors A = N. 3.2 - Raisonnements par récurrence. Cours-s- Mr. Faress , Lok 5 MPSI 2016-2017 Proposition 3.4. Récurrence simple Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si : P (n0 ) est vraie (Initialisation de la récurrence). Pour tout entier n > n0 , si P (n) est vraie, alors P (n + 1) est vraie (Hérédité). Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie. Rédaction Quand on veut montrer par récurrence que : ∀n > i, Pn , on rédige ainsi : • Vérification que Pi est vraie. • Soit n > i. On suppose queo Pn est vraie. Montrons que Pn+1 est vraie. .. Preuve que Pn+1 est vraie . . • D’après le principe de récurrence, on a alors pour tout n > i, Pn est vraie. Exemple : Soit (un )n>5 une suite géométrique de raison q et de premier terme u5 = a ∈ R. Montrer que pour tout n > 5 on a : un = a × qn−5 . Proposition 3.5. Récurrence double Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si : P (n0 ) et P (n0 + 1) sont vraies. Pour tout entier n > n0 , si P (n) et P (n + 1) sont vraies alors P (n + 2) est vraie. Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie. Rédaction Quand on veut montrer par récurrence que : ∀n > i, Pn , on rédige ainsi : • Vérification que Pi et Pi+1 sont vraies. • Soit n > i. On suppose que Pn et Pn+1 sont vraies. Montrons que Pn+2 est vraie. o .. Preuve que Pn+2 est vraie . . • D’après le principe de récurrence, on a alors pour tout n > i, Pn est vraie. Exemple : (un )n>0 la suite réelle définie par : u0 = −1, u1 = 5 et ∀n > 0 : un+2 = 3.un+1 − 2.un . Montrer que pour tout n > 0 on a : un = 6.2n − 7. Proposition 3.6. Récurrence forte Soit n0 ∈ N et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n > n0 . Si : P (n0 ) est vraie Pour tout entier n > n0 , si P (n0 ),P (n0 + 1),...,et P (n) sont vraies alors P (n + 1) est vraie. Alors : Pour tout entier n > n0 : P (n) est vraie. Proposition 3.7. Récurrence finie Soit n0 , n1 ∈ N telle que n0 6 n1 et P (n) une assertion qui dépend d’un entier n0 6 n 6 n1 . Si : P (n0 ) est vraie. Pour tout entier n0 6 n < n1 , si P (n) est vraie. alors P (n + 1) est vraie. Alors : Pour tout entier n0 6 n 6 n1 : P (n) est vraie. Cours-s- Mr. Faress , Lok 6 MPSI 2016-2017 3.3 - Exercices. Exercice .5. 1. Démontrer, par récurrence, que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111 pour tout n ∈ N. n n n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) et ∑ k2 = pour tout n ∈ N∗ 2. Montrer que : ∑ k = 2 6 k=1 k=1 Exercice .6. Soit la suite ( xn )n∈N définie par x0 = 4 et xn+1 = 1. Montrer que : ∀n ∈ N 2. Montrer que : ∀n ∈ N 2x2n − 3 . xn + 2 3 xn > 3 et ∀n ∈ N xn+1 − 3 > ( xn − 3). 2 n 3 + 3. La suite ( xn )n∈N est-elle convergente ? xn > 2 Exercice .7. Soit une application f : N → N vérifiant, pour tout n ∈ N : f (n + 1) > f ( f (n)). 1. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence : pour tout p ∈ N, n > p ⇒ f (n) > p. 2. En déduire que f est strictement croissante (i.e f (n + 1) > f (n) pour tout entier n ∈ N). 3. En déduire f = IdN . Exercice .8. 4n Montrer, par récurrence, que : ∀n > 1, √ 6 2 n 2n 2n + 2 4n + 2 2n . Prouver d’abord : = . n n+1 n n+1 Exercice .9. Démontrer que, si P0 est vraie, et que pour tout entier naturel n : Pn ⇒ ( P2n et P2n+1 ), alors Pn est vraie pour tout entier naturel n. (On pourra considérer l’hypothèse Hn : "P0 , P1 , . . . , P2n sont vraies ") Exercice .10. n On veut démontrer, par récurrence, que pour tout entier n > 2, la somme Sn = 1 est le quotient d’un k k=1 ∑ nombre impair par un nombre pair. Posons donc l’hypothèse Hn : «Sn est le quotient d’un nombre impair par un nombre pair». n 1 1 1. En remarquant S2n = ∑ + Sn , prouver l’implication Hn ⇒ H2n pour n > 1. 2k − 1 2 k=1 1 2. En remarquant S2n+1 = S2n + , prouver l’implication Hn ⇒ H2n+1 pour n > 1. 2n + 1 3. Ainsi, on a prouvé, pour tout n > 1, l’implication Hn ⇒ ( H2n et H2n+1 ). Montrer que, pour tout n > 1, Hn est vraie. 4. Sn peut-il être entier ? Cours-s- Mr. Faress , Lok 7 MPSI 2016-2017 Exercice .11. √ √ √ On se propose de montrer que, ∀n ∈ N : ∃ N ∈ N∗ , N tel que : (1 + 2)n = N + N − 1. 1. Trouver N pour n = 1, 2, 3. √ √ 2. Montrer que, ∀n ∈ N : ∃ an , bn ∈ N tels que : (1 + 2)n = an + 2bn . 3. Calculer | a2n − 2b2n |. Déterminer alors N. Exercice .12. On peut prouver, à l’aide d’un dénombrement, que le nombre Pn de partitions d’un ensemble à n éléments n n vérifie : P0 = P1 = 1 et, pour tout entier n > 2, Pn+1 = ∑ P. k k k=0 1. Calculer P2 , P3 . 2. Montrer, à l’aide d’une récurrence forte, que, pour tout n ∈ N : Pn 6 n!. 3. Redémontrer ce résultat àl’aide en d’une récurrence simple utilisant le résultat suivant : n n−1 n−1 n = 6n pour 0 6 k 6 n − 1. k n−k k k 4 - Formulaire de trigonométrie. Formules d’addition et de soustraction cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b tan( a + b) = 1 − tan a tan b sin( a − b) = sin a cos b − cos a sin b tan a − tan b tan( a − b) = 1 + tan a tan b Formules de duplication cos 2a = cos2 a − sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a 1 + cos 2a cos2 a = 2 sin2 a = tan 2a = 2 tan a 1 − tan2 a 1 − cos 2a 2 Formules de factorisation a+b a−b cos 2 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 2 cos a + cos b = 2 cos Cours-s- Mr. Faress , Lok 8 a+b a−b cos 2 2 a+b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 sin a + sin b = 2 sin MPSI 2016-2017 Paramétrage rationnel du cercle trigonométrique 1 − t2 cos θ = 1 + t2 2t sin θ = 1 + t2 a ≡ b[2π ] ou sin a = sin b ⇔ a ≡ π − b[2π ] 2t tan θ = 1 − t2 Equations trigonométriques a ≡ b[2π ] ou cos a = cos b ⇔ a ≡ −b[2π ] F ii n n θ avec t = tan 2 tan a = tan b ⇔ a ≡ b[π ]