Idée de corrigé

Analyse
I. Questions de cours.
I-1-a. Le nombre réel x y est strictement positif, il possède un inverse strictement positif.
La relation d’ordre strict « < » est compatible avec le produit par un réel strictement positif :
(0 < x y
et x < y) =⇒ x ×
1
1
<y×
xy
xy
Après les simplifications d’usage, nous obtenons :
(0 < x y
et
x < y) =⇒
1
1
<
y
x
I-1-b. La fonction f : x 7−→ |x| est une fonction définie et continue sur tout
R.
En 0 elle admet des dérivées à gauche et à droite différentes :
’
“
x‘
−x
0
f (0− ) = lim
= −1 mais f 0 (0+ ) = lim
= 1.
x→0 x
x→0
x
0<x
x<0
La fonction « valeur absolue », continue en 0, n’est pas dérivable pour cette valeur.
I-1-c. Soit une application f :
R −→ R, continue, dérivable et paire.
Nous considérons deux points de la droite réelle, x1 et x2 , symétriques par rapport à l’origine ( x2 = −x1 )
et h un nombre réel, nous avons :
f (x2 + h) − f (x2 )
h
f (x1 − h) − f (x1 )
h
f (x1 − h) − f (x1 )
= −
−h
=
En passant à la limite quand h tend vers 0, nous obtenons : f 0 (x2 ) = −f 0 (x1 ).
Si la fonction f est paire, alors sa dérivée f 0 est impaire.
I-2. Soit n un nombre entier naturel et n2 son carré.
Si nous supposons que n est un nombre impair, nous pouvons écrire
n = 2 × k + 1,
k ∈
N
Nous en déduisons l’expression de n2 :
n2 = 2 × (2 k 2 + 2 k) + 1,
(2 k 2 + 2 k) ∈
N
Si n est un nombre impair, n2 est un nombre impair.
L’inférence contraposée s’écrit :
Si n2 est un nombre pair, alors le nombre n est pair.
I-3. Le nombre n est un entier naturel non nul.
Pour n = 1, nous pouvons écrire (2 × 1 − 1) = 12 .
Pour n = 2, un calcul direct permet d’établir l’égalité 1 + (2 × 2 − 1) = 22 .
Nous supposons la proposition (1) établie pour n = p :
n
X
(2 k − 1) = n2
(1)
k=1
et nous calculons la même expression pour n = p + 1 :
p+1
X
k=1
(2 k − 1) =
p
X
(2 k − 1) + (2 p + 1)
k=1
2
= p + 2p + 1
Bnal0305, page 1/3 - 28 février 2005
Nous découvrons l’expression d’une identité remarquable qui donne :
p+1
X
(2 k − 1) = (p + 1)2
k=1
et retrouvons l’expression de la proposition (1) à l’ordre n = p + 1.
La proposition (1) a été établie directement pour n = 1 et n = 2.
Nous avons démontré que, si elle est vraie pour n = p, elle est vraie à l’ordre n = p + 1.
Nous en concluons que la proposition (1) est vraie pour tout entier naturel n non nul :
n
X
(2 k − 1) = n2 ,
∀n ∈
N∗
k=1
II-1. Soit la suite (un ) définie pour tout entier naturel n et pour tout nombre réel x non nul par :
š
4x − 1
u0
= 3
avec f (x) =
pour tout réel x non nul.
un+1 = f (un )
x
La fonction f est monotone croissante sur ]0, +∞[. Nous vérifions la proposition :
3 ≤ x =⇒ 4 −
1
≤ f (x) =⇒ 3 < f (x)
3
Une récurrence élémentaire nous permet d’en déduire que tous les termes de la suite (un ) sont élément de
l’intervalle [3, +∞[, et donc strictement positifs.
La fonction f est continue sur ]0, +∞[, si la suite (un ) admet une limite l, cette limite est solution de
l’équation f (x) = x.
√
√
1
Les deux solutions de cette équation sont x1 = 2 − 3 et x2 = 2 + 3, ce qui exclut les valeurs ( 4 et )
4
proposées par l’énoncé.
La limite infinie s’exclut aussi, puisque lim f (x) = 4.
x→+∞
√
Seule la valeur x2 = 2 + 3, supérieure à trois, pourrait convenir.
La fonction f est monotone croissante sur ]0, +∞[. Nous vérifions la proposition :
x ≤ x2 =⇒ f (x) ≤ f (x2 ) =⇒ f (x) ≤ x2
Une récurrence élémentaire nous permet d’en déduire que tous les termes de la suite (un ) sont élément de
l’intervalle [3, x2 ].
√
La suite (un ) est donc majorée par x2 = 2 + 3.
La croissance de la suite (un ) est déterminée par le signe de la différence un+1 − un :
un+1 − un =
1
(−u2n + 4 un − 1)
un
Le signe de la différence un+1 − un est celui de la fonction trinôme x 7−→ −x2 + 4 x − 1.
Les racines de ce trinôme sont les valeurs x1 et x2 précédentes, ces valeurs vérifient x1 < 3 ≤ un ≤ x2 et
la différence un+1 − un est donc positive.
√
Nous concluons que la suite (un ) est croissante, majorée par x2 et convergente vers x2 = 2 + 3.
II-2. On désigne par (E) l’ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que : a ≤ x ≤ π et 0 ≤ y ≤ sin(x).
La fonction sinus étant positive sur l’intervalle
Z π [0, π], et donc sur le segment [a, π] ; l’aire de (E) est égale
à la valeur de l’intégrale définie A(a) =
sin(t) dt = cos(a) + 1.
a
’
“
1
2π
1
=
.
L’aire de l’ensemble (E) est égale à pour la valeur a = Arccos −
2
2
3
Bnal0305, page 2/3 - 28 février 2005
II-3. Les dés étant supposés parfaits, nous admettons le principe d’équiprobabilité des évènements élémentaires.
La question se ramène à un problème classique de combinatorique :
Soit N un entier strictement positif et k un entier naturel inférieur strictement à N , le nombre, m(N, k),
des couples (a, b) qui vérifient les trois conditions :


 b−a = k
a ∈ [1..N ]


b ∈ [1..N ]
prend la valeur m(N, k) = N − k.
Pour k non nul, le nombre, n(N, k), des couples (a, b)


 |b − a| =
a ∈


b ∈
qui vérifient les trois conditions :
k
[1..N ]
[1..N ]
prend la valeur n(N, k) = 2 × (N − k).
Pour k = 0, nous avons bien sûr n(N, 0) = m(N, 0).
Le nombre, f (N, e), des couples (a, b) dont l’écart est inférieur ou égal à la valeur entière e est ainsi :
f (N, 0)
=
N
f (N, e)
=
m(N, 0) + 2
e
X
m(N, k)
(1≤e≤N )
k=1
N +2
=
e
X
(N − k)
k=1
Un calcul élémentaire nous permet de résumer ceci en :
(
f (N, 0) = N
f (N, e)
=
e × (2 N − e − 1) + N
(0 < e < N )
Deux joueurs A et B lancent l’un après l’autre et une seule fois un dé à six faces numérotées de 1 à 6, non
pipé. Nous retrouvons le modèle précédent pour N = 6.
Le joueur A gagne si l’écart entre les deux résultats est 0, 1 ou 2, nous prenons donc : e = 2.
Le nombre d’évènements favorables ( au joueur A ) est ainsi : f (6, 2) = 24.
Le nombre des possibles est bien sûr N 2 = 36.
La probabilité que le joueur A gagne est égale au quotient des favorables par les possibles :
2
1
p(A gagne) = ,
p(B gagne) = .
3
3
a
b
0
1
2
3
4
5
1
0
1
2
3
4
2
1
0
1
2
3
3
2
1
0
1
2
4
3
2
1
0
1
5
4
3
2
1
0
Pour une petite valeur de N on peut tenter une
représentation graphique du problème.
L’univers des possibles est représenté ici par un
diagramme cartésien.
Pour chaque évènement élémentaire, l’écart e
est noté, en noir pour a ≤ b, en rouge pour
b < a.
La zone grisée représente le sous ensemble des
évènements favorables au joueur A.
Bnal0305, page 3/3 - 28 février 2005