ECON 207 TD 5 Variables aléatoires bidimensionnels

ECON 207 TD 5
Variables aléatoires bidimensionnels
Exercice 1
Soit le couple de v.a. (X, Y ) défini par la densité de probabilité :
2 (x, y) ∈ D
f (x, y) =
0 (x, y) ∈
/D
telle que D = {(x, y)|x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}
a) Représenter graphiquement le domaine D et donner les loi marginales de X et de Y .
b) Donner la loi conditionnelle f (y|x).
Exercice 2
Soit le couple de v.a. (X, Y ) défini par la densité de probabilité :
2 xy
x + 3 (0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2)
f (x, y) =
0
ailleurs
RR
a) Vérifier f (x, y)dxdy = 1, b) Calculer P (X ≤ 1, Y ≥ 1)
R
c) Soit B = {X + Y ≥ 1}. Retrouver P (B).
d) Retrouvez les lois marginales g(x) et h(y) de X et de Y . Calculer P (Y ≥ 2) et P (X ≤ 1).
d) Donner f (y|x) et f (x|y).
Exercice 3 On considère deux lignes de production X et Y dont les productions journalières
sont 5 et 3 items. On observe les niveaux de productions journalière pour le control de qualité
et on a les niveaux de production ci dessous pour le mois précédent.
Table 1 – Distribution des niveaux de production
(Y,X)
1
2
3
|
|
|
|
1
0
1
2
2
2
2
2
3
2
4
6
4
1
6
0
5
0
2
0
a) Le contrôleur observe qu’on produit autant ou plus d’items sur la ligne X que Y en général.
Donner la probabilité de son argument.
b ) Le contrôleur décide de faire une analyse des niveaux de production individuelles des deux
lignes et détermine les lois marginales des variables X et Y. Il retrouve le niveau de production
médiane pour X et Y. Vérifier et commenter les résultats.
c) Est-ce que les niveaux de production des deux lignes sont indépendantes ? Pour un niveau
de production d’une unité en ligne Y, quel sera la distribution des niveaux de production en ligne
X?
Exercice 4
La loi jointe d’une variable aléatoire discrète est :
f (x, y) = {c(2x + y) pour 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 3
a) Évaluer la constante c.
b)Trouvez P (X = 2, Y = 1)
c)Trouvez P (X ≥ 2, Y ≥ 1)
1