Cours physique moteur courant continu
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MACHINE A COURANT CONTINU Presser la touche F5 pour faire apparaître les signets qui favorisent la navigation dans le document. Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 Généralités ................................................................................................................................. 1 Modélisation de la machine....................................................................................................... 2 Expression théorique du couple électromagnétique.................................................................. 3 Bilan de puissance − Rendement − Couple utile....................................................................... 4 Réglage de la vitesse ................................................................................................................. 5 Notion de fonctionnement dans les quatre quadrants................................................................ 6 Fonctionnement en régime transitoire....................................................................................... 6 Machine série............................................................................................................................. 8 Exercices d'application ................................................................................................................ 10 MC 1 MACHINE A COURANT CONTINU 1 Généralités Comme la quasi-totalité des machines tournantes, son fonctionnement repose sur l'interaction entre deux champs magnétiques: − Le champ inducteur, créé, soit par un bobinage alimenté en courant continu, soit par un système d'aimants permanents, l'un comme l'autre étant placé au stator de la machine. − Le champ induit, toujours créé par un bobinage placé au rotor. Le bobinage d'induit devant également fonctionner en courant continu, il faut prévoir une inversion périodique du courant qui le traverse ou de la tension aux bornes, sinon, − en fonctionnement moteur, le système serait équivalent à deux aimants permanents, l'induit occupant une fois pour toutes une position déterminée − en fonctionnement générateur, la tension recueillie serait de type alternatif, donc à valeur moyenne nulle. Cette inversion est obtenue grâce à un collecteur, ensemble de lames de cuivre isolées électriquement les unes des autres et reliées au bobinage, en contact électrique avec des balais calés sur la ligne neutre ( endroit où le flux s'annule ), qui constituent les points d'entrée et de sortie du courant dans le bobinage. Actuellement, pour ce qui concerne les machines à inducteur bobiné, on en distingue essentiellement deux types: − Celles dites "à excitation séparée" ( cf. figure 1 ) pour laquelle l'inducteur est alimenté par une source auxiliaire et consomme généralement un U MG Ue courant faible devant la valeur nominale du courant d'induit. − Celles dites "série" ( cf. figure 2 ) où, comme le nom l'indique, le circuit figure 1 inducteur est placé en série avec le circuit d'induit, l'ensemble étant alimenté par une source unique. Dans les applications usuelles, c'est essentiellement la machine à excitaMG tion séparée qui est utilisée. A priori, nous raisonnerons donc en ces termes U dans tout ce qui suit. Nous reviendrons cependant sur la machine série dans un paragraphe particulier à la fin du chapitre. figure 2 Schématiquement, si on fait abstraction du système collecteur-balais, on peut représenter la structure d'une machine bipolaire à inducteur bobiné comme indiqué sur la figure 3. On y retrouve les deux bobinages précédents ainsi que deux éléments additionnels, les pôles de commutation et l'enroulement de compensation, dont on précisera les rôles ci-après. Auparavant, il faut signaler que le flux sous un pôle Φ créé par le bobinage inducteur n'est pas en permanence proportionnel au courant correspondant, que nous noterons Ie. En effet, usuellement, la valeur nominale de Ie correspond à un point de fonctionnement situé dans le coude de saturation de la caractéristique magnétique du matériau. MC 2 enroulement inducteur stator enroulement induit rotor enroulement de compensation pôles de commutation i d figure 3 Rôle des pôles de commutation: A chaque fois qu'une lame de collecteur passe sous un balai, le courant dans la spire correspondante doit s'inverser en un temps très court. Du fait de l'inductance propre de la spire, il s'ensuit une f.é.m. d'auto-induction élevée se traduisant par l'apparition d'étincelles entre balai et collecteur. Pour remédier à ce phénomène, on injecte dans les spires concernées un flux antagoniste à l'aide de l'enroulement bobiné sur les pôles de commutation. Ce flux devant être fonction du courant d'induit, cet enroulement est mis en série avec l'enroulement d'induit et câblé de façon à réaliser l'effet recherché. Rôle de l'enroulement de compensation: Lorsqu'un courant circule dans l'enroulement d'induit, celui-ci crée un champ magnétique supplémentaire qui se superpose à celui créé par l'inducteur. On montre que, si le matériau magnétique est saturé, ceci se traduit par une diminution de Φ qui, comme on le verra plus loin, peut avoir des effets indésirables sur le fonctionnement de la machine. L'enroulement de compensation a pour tâche de s'opposer à ce phénomène, appelé réaction magnétique d'induit. Il faut bien sûr pour cela que le flux créé soit fonction du courant d'induit et ait le bon signe. L'enroulement de compensation est donc placé en série avec celui d'induit et câblé de façon à obtenir le résultat escompté. Signalons que, si cet enroulement est bien dimensionné, on peut négliger la réaction d'induit quelles que soient les conditions de fonctionnement, Φ ne dépendant dans ce cas que du courant inducteur. La machine est dite alors "parfaitement compensée". C'est l'hypothèse que nous ferons dans tout ce qui suit. 2 Modélisation de la machine Que ce soit en fonctionnement en moteur ou en génératrice, la machine en courant continu est essentiellement caractérisée par la f.é.m. E engendrée dans le bobinage d'induit. L'effet d'induction fait que celle-ci est proportionnelle au flux inducteur Φ et de la vitesse de rotation Ω. p Ω , avec p, nombre de paires de pôles, a, nombre de paires En théorie, on montre que E = NΦ 2π a MC 3 de voies d'enroulement et N, nombre de conducteurs. Cela dit, comme p, a et N sont fixés par construction, nous regrouperons tous ces termes et le coefficient 2π dans une constante et nous retiendrons le résultat sous la forme E = KΦΩ. En dehors de cela, il faut tenir compte de la résistance R du bobinage d'induit et, en régime variable, de son inductance L. Compte tenu de ceci, nous représenterons la machine à courant continu par le schéma ci-dessous, à propos duquel il faut signaler les deux points suivants: L − Quel que soit son mode de fonctionnement, on utilise systématiqueR i ment une convention récepteur. − Comme la vitesse de rotation peut, elle-même, être variable, E n'est u E pas forcément constant. On conserve cependant une lettre majuscule pour cette grandeur. figure 4 Sauf indication contraire, dans tout ce qui suit, on suppose que les grandeurs électriques qui interviennent sont strictement continues, ce qui exclut par exemple le cas d'une machine alimentée par des tensions issues de dispositifs redresseurs. D'autre part, on se limite au cas du fonctionnement en régime permanent. Compte tenu de ceci, le schéma équivalent se réduit à R celui représenté ci-contre. Rappelons que R se mesure à l'aide d'une méthode I volt-ampéremétrique et que, sauf pour les machines à aimants permanents, E dépend du courant d'excitation par l'intermédiaire de Φ ( la relation s'obteU E nant en faisant fonctionner la machine en génératrice à vide et en relevant la caractéristique E = f(Ie) pour une vitesse Ω donnée ). figure 5 Remarques: − Tant qu'on n'envisage pas une étude en régime transitoire mécanique, on peut choisir de raisonner en termes de fréquence de rotation n, exprimée de préférence en tr/min, vu que c'est l'unité employée dans les tachymètres usuels. E restant évidemment proportionnel à n, on écrira la relation sous la forme E = kΦn, la nouvelle constante étant, bien sûr, différente de π l'ancienne ( on déduit facilement de KΦΩ = kΦn que k = K si n est exprimé en tr/min ). 30 − Pour les machines à aimants permanents, on regroupe K et Φ en un seul terme, noté généralement KE et appelé constante de f.é.m ou constante de vitesse. 3 Expression théorique du couple électromagnétique Elle s'obtient en écrivant que la puissance électromagnétique EI est égale à la puissance mécanique CeΩ, soit, en remplaçant E par KΦΩ, CeΩ = KΦΩI, d'où on tire finalement, Ce = KΦI On peut signaler plusieurs points à ce propos. − Le couple ne dépend que du courant d'induit, l'expression restant par ailleurs valable en régime transitoire. Par contre, comme la relation fait intervenir Φ et que I est limité par le MC 4 dimensionnement de l'enroulement d'induit, on a intérêt à ce que le flux ait toujours la valeur maximale possible. On trouve donc ici une première raison de compenser la réaction magnétique d'induit ( cf. ce qui a été dit à la fin du paragraphe 1 ). − La relation est algébrique, Ce étant positif si I l'est et négatif sinon. Cela ne préjuge cependant en rien du mode de fonctionnement ( moteur ou générateur ) de la machine, qui dépend aussi du signe de la vitesse de rotation. Nous y reviendrons ultérieurement. − Lorsque le fonctionnement se fait à flux constant, on peut remplacer le produit KΦ par une "constante de couple" KT, exprimée en N.m/A. 4 Bilan de puissance − Rendement − Couple utile Nous nous limiterons ici au cas du fonctionnement en moteur d'une machine à inducteur bobiné. On note comme précédemment U et I les grandeurs relatives à l'induit, Ue et Ie celles relatives à l'inducteur. Vu le type de la machine, la puissance absorbée est égale à la somme des deux termes UI et UeIe. Les pertes sont constituées par: − Les pertes par effet Joule dans l'induit pJ = RI². − Les pertes par effet Joule dans le circuit inducteur pexc = UeIe ou pexc = ReIe² si on connaît la résistance Re de ce circuit. − Les pertes fer pfer essentiellement localisées au rotor. − Les pertes mécaniques pméca. Au total, on peut représenter le bilan de puissance comme indiqué ci-dessous. Pe = CeΩ Pu = CuΩ Pa = UI + UeIe pJ = RI² pexc = UeIe pfer pméca figure 6 Comme les pertes d'excitation sont compensées par la puissance fournie par la source auxiliaire, la puissance utile, égale à Pa − Σpertes, vaut aussi Pu = UI − RI² − pfer − pméca On en déduit une expression possible du rendement η = ainsi qu'une du couple utile C u = Pu : Ω Pu : Pa η= Cu = UI − RI ² − p fer − p méca UI + UeI e UI − RI ² − p fer − p méca Ω Il faut noter que, comme les pertes fer sont essentiellement localisées au rotor, le couple de pertes, égal à la différence entre le couple électromagnétique et le couple utile, s'exprime ici par p fer + p méca la relation C p = . Ω MC 5 5 Réglage de la vitesse On raisonne ici en termes de couple électromagnétique Ce en rappelant qu'il s'écrit KΦΩ et que, vu qu'on est en régime permanent, celui-ci est égal à la somme du couple de pertes et du couple imposé sur l'axe par le dispositif placé en bout d'arbre de la machine. Du schéma équivalent de la figure 5, on déduit U = RI + E, ce qui, compte tenu de E = KΦΩ Ce U − R C KΦ et de Ce = KΦI, donne U = R e + KΦΩ , soit, finalement, Ω= KΦ KΦ Sauf pour des valeurs faibles de U, la chute de tension dans la résistance d'induit reste petite U devant la tension d'alimentation. En première approximation, on a donc Ω = , relation qui KΦ montre qu'on peut agir sur la vitesse de rotation de deux façons possibles: a) Action sur la tension d'induit, le flux étant maintenu à sa valeur nominale C'est le procédé employé dans les variateurs de vitesse. Il offre Ω U = U1 l'avantage de ne pas modifier la relation couple-courant, donc de pouvoir obtenir en permanence le couple maximal possible U = U2 < U1 compte tenu des limitations sur le courant d'induit. Exception faite des machines de faible puissance, le terme RI ( donc la vaU = U3 < U2 riation de vitesse ) reste petit devant la tension nominale quelle que soit la charge. A tension d'induit constante, les courbes C e Ω = f(Ce) se présentent donc comme indiqué ci-contre. figure 7 b) Action sur le flux, la tension d'induit étant maintenu constante Toujours en négligeant la chute ohmique, on a, avec ce mode de réglage, Φ = U , ce qui, reKΩ U I . Comme I est limité à sa valeur nominale, on Ω voit que le couple maximal disponible diminue avec Ω, ce qui constitue l'inconvénient majeur de ce procédé de réglage. C'est cependant le seul possible si U ne suffit pas pour atteindre la vitesse souhaitée. On peut aussi l'employer pour optimiser le dimensionnement de la machine lorsque le couple résistant opposé par la charge diminue lui-même avec la vitesse. A noter que, si I est maintenu constant, le produit CeΩ l'est aussi, on parle de fonctionnement à puissance constante. porté dans l'expression du couple, donne Ce = Remarque: Pour les machines non compensées, au fur et à mesure que l'on augmente la charge ( donc le courant I ), le flux utile diminue. Ceci se répercute évidemment sur la vitesse, mais, surtout, même pour un fonctionnement à couple résistant constant, peut entraîner un phénomène "d'avalanche", car, comme Φ diminue, à même couple, I augmente, donc Φ diminue encore plus, I augmente encore plus, ceci pouvant aller jusqu'à des surintensités destructrices et/ou à l'emballement mécanique. On trouve donc ici une deuxième raison d'équiper la machine MC 6 d'enroulements de compensation, du moins pour les systèmes non contrôlés en vitesse et en courant ( mais, même pour ces derniers, cela reste intéressant vu l'influence de Φ sur Ce ). 6 Notion de fonctionnement dans les quatre quadrants On continue ici à négliger la chute de tension dans la résistance d'induit. Compte tenu de ceci, si on reprend les relations Ce = KΦI et U = KΦΩ et si on considère un fonctionnement à flux constant, on voit qu'on peut faire le parallèle entre − le courant d'induit et le couple − la tension d'induit et la vitesse. D'autre part, nous avons déjà signalé que la relation liant Ce à I était algébrique. Il en est de même de celle liant la tension et la vitesse. Au total, vu les deux signes possibles pour chacune des grandeurs, on obtient quatre cas différents, que l'on traduit en termes de quadrants de fonctionnement électriques et mécaniques, cf. figure ci-contre, U à propos de laquelle on peut remarquer que: Ω − Les quadrants 1 et 3 correspondent à des produits UI et 2 1 CeΩ positifs. La machine absorbe donc de la puissance élecgénératrice moteur trique et fournit de la puissance mécanique. − Les quadrants 2 et 4 correspondent à des produits UI et I CeΩ négatifs. La machine fournit donc de la puissance élecCe 3 4 trique à la source et absorbe de la puissance mécanique. A moteur génératrice signaler que cette dernière est fournie par la charge, qui doit donc pouvoir fonctionner en génératrice mécanique. figure 8 Il faut noter que tous les points du plan ne sont pas accessibles car il y a des limitations électriques et mécaniques de fonctionnement, les deux n'étant pas forcément directement liées entre-elles car on peut également agir sur le flux. A titre Ω d'exemple, en se restreignant au quadrant 1, on obtient Ωmax souvent une caractéristique limite du type de celle repréΦ variable I = IN sentée sur la figure 9, où Ω1 correspond à la tension d'inU = UN Ω1 duit nominale ( c'est en principe aussi la vitesse nominale de la machine ), Ωmax à la vitesse maximale compatible Φ = ΦN I = IN avec les performances mécaniques de la machine et C à eN U variable la valeur nominale du courant d'induit ( les différentes CeN Ce grandeurs nominales étant normalement aussi les valeurs maximales possibles en régime permanent ). figure 9 7 Fonctionnement en régime transitoire di + KΦΩ , le dt flux étant supposé constant ici. A vitesse constante ( Ω = Ω0 ), cette équation peut se mettre sous Il faut alors repartir du schéma initial ( cf. figure 4 ), dont on déduit u = Ri + L MC 7 L di u − KΦΩo +i= , relation qui met en évidence la "constante de temps électriR dt R que" τe = L/R du système. la forme dΩ = C m − C r avec J, modt ment d'inertie total ramené sur l'axe moteur et Cm = Ce − Cp = KΦi − Cp. En fait, dans la plupart des cas, on peut alors négliger l'influence de l'inductance d'induit, le système d'équations se u = Ri + KΦΩ ramenant à dΩ J dt = KΦi − C p − C r A vitesse variable, il faut y rajouter l'équation de la dynamique J u − KΦΩ , ce qui, reporté dans la deuxième, et après R JR dΩ u R Cp + Cr +Ω= − KΦ ( KΦ) ² ( KΦ) ² dt De la première relation, on déduit i = réarrangement, conduit à ( ) Cette équation fait apparaître une deuxième constante de temps, appelée "constante de temps JR mécanique", notée τm et qui vaut . On peut noter que le fait de négliger l'influence de L ( KΦ) ² revient à supposer que la constante de temps électrique est très petite devant la constante de temps mécanique, hypothèse effectivement vérifiée en général. A titre d'exemple, considérons le cas d'une machine initialement à l'arrêt, supposée sans pertes et fonctionnant à vide ( donc Cp = Cr = 0 ). A l'instant pris comme origine, on applique à son induit une tension constante U0 d'amplitude suffisamment faible pour que le courant de démarrage reste inférieur au courant nominal. dΩ U + Ω = 0 , qui Vu les hypothèses faites, l'évolution de la vitesse est régie par l'équation τ m KΦ dt t − Ω0 U donne, tous calculs faits, Ω = Ω0 1 − e τm avec Ω0 = 0 . KΦ Ω U0 R U0 − KΦΩ Le courant s'en déduit par i = . En utilisant en pari R t U0 − τm e . Les courτm t ticulier le fait que Ω0 = KΦΩ, on obtient i = R figure 10 bes correspondantes sont représentées ci-contre. Un autre cas, souvent rencontré dans les variateurs, est celui du démarrage à courant constant dΩ = KΦI − C p − C r . Si, I. On n'a alors à prendre en compte que l'équation de la dynamique J dt KΦI − C p − C r t , relation qui de plus, on suppose Cp et Cr constants, il vient simplement Ω = J montre que Ω évolue linéairement pendant cette phase. Celle-ci ne dure évidemment qu'un temps, l'évolution s'arrêtant lorsque Ω atteint la valeur fixée par la consigne. MC 8 Signalons pour terminer le cas du ralentissement à induit ouvert d'une machine fonctionnant dΩ = − C p . Le couple de pertes n'étant pas à vide. Celui-ci est régi simplement par l'équation J dt forcément constant, l'évolution de la vitesse est, a priori, quelconque. Par contre, si on connaît la valeur du couple de pertes pour une vitesse Ω0 donnée, il suffit de mesurer la pente de la tangente en ce point à la courbe Ω(t) pour en déduire le moment d'inertie. Expérimentalement, on procède ainsi: ∗ On commence par mesurer les pertes à vide P0 de la machine pour une vitesse Ω0 donnée et on en déduit le couple Cp0 correspondant par P0/Ω0. Ω ∗ On fait ensuite tourner la machine à une vitesse Ω1 supérieure Ω1 à Ω0, on coupe l'alimentation de l'induit et on relève la courbe Ω0 de ralentissement. + ∆Ω de la tangente au ∗ Il ne reste plus qu'à mesurer la pente tangente ∆t point Ω0 pour en déduire le moment d'inertie par t ∆Ω figure 11 ( cf. figure ci-contre ). J = −Cp0 ∆t 8 Machine série Comme dit précédemment, pour ce type de machine l'enroulement inducteur est placé en série avec celui d'induit. Ceci entraîne en particulier qu'a priori, le flux ne peut plus être réglé de façon indépendante puisqu'il est maintenant fonction du courant d'induit, ce dernier étant, sauf exception, une variable "interne" dépendant des conditions de fonctionnement. Le schéma équivalent de la machine série présente la même structure que celui de la machine à excitation indépendante ( cf. figures 4 et 5 ). Les seules différences résident dans le résistor série, constitué ici de la somme de la résistance d'induit R et de la résistance d'inducteur Re, et de l'inductance L, de même constituée par la somme des termes correspondants. En régime permanent, on a donc U = (R + Re)I + KΦΩ en rappelant que Φ dépend de I. Le couple électromagnétique reste également de la forme KΦI. On peut noter que, du fait que Φ dépend de I, l'évolution de Ce avec le courant d'induit est différente de celle obtenue avec la machine à excitation indépendante. En particulier, au démarrage, comme on tolère généralement un courant ID supérieur à la valeur nominale ( usuellement entre 50% et 100% de IN ), le couple CD est nettement supérieur à celui que l'on obtiendrait dans un fonctionnement à flux constant. Ceci a longtemps été une des raisons de l'emploi de ce type de machines. En fait, la différence essentielle réside dans l'évolution de la vitesse avec le couple. Alors que précédemment, il y avait peu d'influence, là, elle est énorme. Pour le montrer qualitativement, nous allons faire ici deux hypothèses simplificatrices. Comme précédemment, on ne tient pas compte de la chute ohmique de tension. De plus, on néglige la saturation du matériau magnéti- MC 9 que. Φ est donc proportionnel à I, ce qu'on peut traduire en écrivant le terme KΦ sous la forme LeI ( le coefficient de proportionnalité ayant bien la dimension d'une inductance ). Compte tenu de ceci, il vient U = KΦΩ = LeIΩ Ce = KΦI = LeI ² dont on tire, par élimination de I entre les deux relations et après réarrangement, Ω Ω= figure 12 Ce U Le 1 Ce On en déduit en particulier qu'à tension d'induit donnée, ce type de machine ne doit jamais fonctionner à vide sous peine d'emballement ( Ω tendant vers l'infini lorsque Ce tend vers 0, cf. figure 12 ). En ce qui concerne le réglage de vitesse, il se fait a priori par action sur la tension d'induit. Il est cependant possible d'agir sur le flux en dérivant une partie du courant d'induit à l'aide d'un rhéostat placé en parallèle sur l'enroulement série ( cf. figure 13 ), le Rh Rh I . Avec les hypothècourant d'inducteur devenant alors I e = I Ie Re + R h Rh , la nouvelle exMG ses précédentes, et en notant x le rapport U Re + R h U 1 . pression de la vitesse s'écrit Ω = figure 13 Le x Ce MC 10 1 La plaque signalétique d’une machine à courant continu à excitation indépendante porte en particulier les indications suivantes: IN = 15A nN = 1500tr/min. Le courant d'inducteur Ie est supposé constant et égal à 0,5A dans tout ce qui suit. Pour cette valeur du courant inducteur et pour n = nN, un essai en génératrice à vide a donné E = 237V. On a également mesuré la résistance du circuit d’induit R = 1,3Ω et celle du circuit d'inducteur Re = 440Ω. La réaction magnétique d’induit est parfaitement compensée. On admet que le couple Cp correspondant aux pertes fer et mécaniques est constant. 1) Un essai en moteur à vide pour n = 1500tr/min a donné U = 239V et I = 1,5A. Calculer la valeur de la somme des pertes fer et mécaniques et en déduire la valeur de Cp. 2) Pour le point de fonctionnement suivant: n = nN, I = IN a) Calculer la valeur de U. b) Présenter un bilan de puissance. En déduire la puissance utile Pu, le couple utile Cu ainsi que le rendement η. 3) Dans cette question, on envisage un fonctionnement à tension U variable. a) Au démarrage, on tolère un courant ID = 1,5IN. Calculer la valeur maximale UD de la tension U que l'on peut appliquer à l'instant initial entre les bornes de l'induit. b) On met E sous la forme Kn. Déduire de l'essai en génératrice à vide la valeur de K. c) Déterminer l'expression du couple électromagnétique Ce en fonction de K et I. A.N.: Calculer la valeur CN de Ce correspondant à I = IN. d) Partant de la relation liant U, R, I et E, établir l'expression de la caractéristique n = f(Ce). Application: Pour U = 80V, 160V et 240V, tracer les courbes correspondantes en se limitant à Ce = CN ( échelles: 1cm = 2Nm 1cm = 200tr/min ). e) La machine entraîne une charge qui oppose un couple résistant constant et égal à 15Nm. Compte tenu du couple de pertes, calculer la valeur totale du couple électromagnétique à fournir puis déduire de la question précédente les vitesses de rotation obtenues pour chacune des trois tensions. 2 On dispose d’une machine à courant continu à excitation indépendante dont la caractéristique à vide à la fréquence de rotation n = 1500tr/min passe par les points suivants Ie(A) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,25 1,5 E(V) 15 60 105 150 180 202 223 237 La résistance R de l’induit a pour valeur 0,8Ω. La réaction magnétique d’induit est parfaitement compensée. Par ailleurs, on néglige les pertes fer et mécaniques. I) Dans cette partie, le courant Ie reste constant et égal à 1,5A. 1) Pour le point de fonctionnement suivant: n = 1500tr/min, I = 25A a) Calculer la valeur de U. b) Présenter un bilan de puissance. En déduire la puissance utile Pu et le rendement η sachant que la tension Ue aux bornes du circuit d'inducteur vaut 220V. 2) On met E sous la forme kΦn. Déterminer l'expression de Ce en fonction de kΦ et I. A.N.: Déduire kΦ de la caractéristique à vide, puis, sachant que la valeur nominale ( et maximale ) du courant dans l’induit vaut IN = 25A, calculer la valeur correspondante CN de Ce. MC 11 3) Donner l'expression de I en fonction de U, R, kΦ et n. Reporter celle-ci dans l'expression de Ce pour obtenir une expression du couple de la forme aU − bn. Application: a) Calculer a et b puis, pour U = 125V et U = 250V, tracer les courbes Ce = f(n) en se limitant à Ce = CN ( éch.: 1cm = 200tr/min 1cm = 4Nm). b) La machine entraîne une charge dont la caractéristique de couple résistant a pour équation Cr = 4 + 10−5.n². Superposer la courbe correspondante à celles tracées à la question précédente et en déduire, pour chacune des deux tensions d'induit, la fréquence de rotation obtenue ainsi que le couple mis en jeu. Partant de ce dernier, calculer ensuite le courant d'induit absorbé dans chaque cas. II) Dans cette partie, l'induit est supposé alimenté par un variateur dont la tension de sortie est limitée à une valeur maximale UM = 250V et on se place systématiquement dans le cas où I = IN. Par ailleurs, on note Cmax le couple maximum pouvant être obtenu. 1) Tant que c'est possible, on donne à Ie la valeur maximale 1,5A et on fait varier n en agissant sur U. Calculer la fréquence de rotation maximale n1 que l'on peut obtenir dans ces conditions. Que vaut Cmax ici? 2) Pour n ≥ n1, on maintient U constant et égal à UM et on règle la vitesse de rotation en agissant sur Ie. Déterminer l'expression numérique de kΦ en fonction de n et en déduire celle, correspondante, de Cmax. 3) Tracer la courbe Cmax = f(n) pour 0 ≤ n ≤ 3000tr/min ( éch.: 1cm = 200tr/min 1cm = 4Nm ). Préciser sur le tracé la zone de fonctionnement à flux constant et celle à flux variable. 4) Toujours à partir de la caractéristique à vide, calculer les valeurs de kΦ en fonction de Ie et tracer la courbe correspondante ( éch.: 1cm = 0,1A 1cm = 0,02V/(tr/min) ). En déduire, compte tenu de la relation entre kΦ et n, les valeurs qu'il faut donner à Ie pour obtenir les fréquences de rotation suivantes 2000tr/min, 2500tr/min et 3000tr/min, toujours dans le cas où C = Cmax. 3 Un dispositif de levage est constitué par: − Une machine à courant continu à excitation indépendante constante. − Un ensemble réducteur + treuil + charge à lever de poids P = 10000N. On donne la résistance d'induit R = 1Ω du moteur et sa constante de f.é.m. kΦ = 0,5V/(tr/min). On admet que le rendement du réducteur est égal à 1 et que son rapport de réduction est tel que, si la vitesse de montée de la charge est égale à 1m/s, la machine tourne à 1000tr/min. Par ailleurs, on néglige également toutes les autres pertes mécaniques. 1) Déterminer l'expression du couple électromagnétique du moteur en fonction de kΦ et du courant d'induit I. 2) La machine, fonctionnant en moteur, élève la charge à la vitesse de 1m/s. a) En égalant la puissance mécanique sur l'axe moteur à celle mise en jeu au niveau de la charge à lever, calculer la valeur de Ce. En déduire celle de I. b) Calculer la valeur de la tension U à appliquer à l'induit. 3) On considère maintenant le cas où la charge descend à la vitesse de 1m/s. a) Que valent Ce et I? b) La machine restant alimentée par une source de tension, calculer la valeur à donner à U ainsi que la puissance récupérée au niveau de cette dernière. MC 12 c) Le fonctionnement à la descente peut également être obtenu en faisant débiter la machine dans un rhéostat Rh. Calculer la valeur qu'il faut donner à Rh. Calculer d'autre part la vitesse de descente que l'on obtiendrait si on court-circuitait la machine à courant continu. 4) Dans un plan n = f(Ce), faire apparaître les points de fonctionnement envisagés au 2) et au 3). 4 On considère un moteur à courant continu à excitation série dont les caractéristiques nominales sont les suivantes: UN = 400V IN = 27A nN = 1000tr/min. De plus, on donne la résistance d’induit R = 1Ω, la résistance d’inducteur Rs = 0,6Ω et la caractéristique à vide de la machine, relevée en excitation séparée pour n = nN Is(A) 5,7 7,35 10,5 15,2 18 22,6 27 33,2 45 E(V) 136 174 233 287 308 335 357 383 429 N.B.: Is désigne le courant dans l'inducteur série lorsque celui-ci est différent du courant d'induit I, ce qui est par exemple le cas dans l'essai ci-dessus. 1) Le moteur est alimenté sous U = UN. a) Le courant d’induit ( et d’inducteur ) dans le moteur a pour intensité 22,6A. Calculer E à partir de la relation liant cette tension à U, R, Rs et I. En utilisant le fait qu'à Is donné le rapport E/n est constant, déduire de E et du tableau ci-dessus la valeur de la fréquence de rotation n en tr/min. Calculer d'autre part le couple électromagnétique Ce. b) On équipe ce moteur d’un rhéostat de démarrage limitant le courant d’induit à 45A. Calculer − la résistance RD de ce rhéostat − le couple CD obtenu au démarrage ( pour lever l'indétermination due au fait que E et Ω sont nuls au démarrage, on utilisera de nouveau le fait que le rapport E/n ne dépend que de Is, ici, en déduisant de la caractéristique à vide le rapport E/Ω pour le courant correspondant ). − la fréquence de rotation n atteinte lorsque l’intensité descend à 27A. 2)a) Pour déterminer les pertes fer et mécaniques Pfm du moteur dans les conditions de la question 1)a), on fait fonctionner le moteur à vide en excitation séparée et à vitesse telles que ces pertes soient les mêmes. Quelles doivent être les valeurs, notées Is0 et n0, de Is et de n? On désigne, d'autre part, par U0 la tension appliquée et I0 le courant consommé. Sachant que I0 = 2,2A, déterminer U0 et Pfm. b) Présenter alors un bilan des puissances mises en jeu et en déduire le couple utile Cu ainsi que le rendement du moteur dans les conditions du 1)a). 3) On se place dans des conditions de fonctionnement pour lesquelles le courant d’induit vaut 33,2A. a) Avec Is = I, sous quelle tension le moteur devrait-il être alimenté pour tourner à 1000tr/min? Comment peut-on obtenir cette vitesse si la tension d’alimentation ne peut pas dépasser 400V? b) On place en parallèle avec l’inducteur un résistor R1 = 2,61Ω. Quelle est la fréquence de rotation du moteur alimenté sous 400V? 5 Une machine à courant continu, à excitation indépendante constante, est accouplée à une charge imposant un couple résistant indépendant de la vitesse. Le couple de pertes est également constant. On note Cr la somme du couple résistant et du couple de pertes. MC 13 − La mesure de la résistance d'induit a donné R = 1,2Ω. − Le moteur, désaccouplé de sa charge, a une vitesse de rotation de 157rad/s lorsque le circuit d’induit est alimenté sous 143V et absorbe 0,9A. − A vitesse stable, le courant d’induit I vaut 16 A. − Un essai de mise en vitesse de l’ensemble est effectué à courant constant I = 25A. Au bout de 4,8s la vitesse de rotation atteint 126rad/s. Ω Dans l'utilisation qui en est faite, la machine, associée à sa Ω0 charge, doit avoir une évolution de vitesse Ω(t) satisfaisant au cycle ci-contre avec Ω0 = 140rad/s, t1 = 6s, t2 = 22s et t3 = 24s. Pour t supérieur à t3, un système mécanique maintient l’ensemble à l’arrêt. 0 t1 t2 t3 t I) Détermination des paramètres de l'ensemble moteur + charge 1) On met la f.é.m. du moteur sous la forme E = KΩ. Utiliser le résultat de l'essai à vide pour déterminer la valeur numérique de K. 2) Déterminer l'expression du couple électromagnétique Ce en fonction de K et de I. A.N.: Déduire du courant à vide la valeur du couple de pertes Cp, puis du courant absorbé pendant la phase de vitesse stable la valeur du couple résistant total Cr. 3) Partant de la loi fondamentale de la dynamique des systèmes en rotation, calculer à partir de l'essai de mise en vitesse le moment d’inertie J de l’ensemble. II) Etude du cycle de fonctionnement Cf. courbe Ω(t) tracée plus haut, on considère trois intervalles de temps ∆t1 pour t ∈ [0,t1], ∆t2 pour t ∈ [t1,t2], ∆t3 pour t ∈ [t2,t3]. 1) Pour chacun de ces intervalles, et en présentant les résultats sous forme de tableau: − Toujours en partant de la loi fondamentale de la dynamique des systèmes en rotation, calculer le couple électromagnétique Ce et en déduire le courant d’induit I. − Préciser le mode de fonctionnement ( moteur ou génératrice ) de la machine. − Calculer les valeurs numériques de la tension d'induit U à l'instant initial et à l'instant final. 2) Pour t compris entre 0 et t3, tracer en regard les unes des autres les allures de Ω(t), Ce(t) et U(t) ( échelles: 1cm = 2s 1cm = 50rad/s 1cm = 10Nm 1cm = 50V ). Tracer ensuite Ω(Ce) pour mettre en évidence les deux quadrants de fonctionnement. 3) Dans l’intervalle ∆t2 où la vitesse est constante, calculer le couple utile Cu, la puissance utile Pu et le rendement si les pertes d'excitation valent 200W. Pour le moteur série schématisé ci-contre, on donne: résistance d’inducteur Re = 4,6Ω résistance d’induit R = 5,6Ω courant nominal d’induit U M In = 6A tension d'induit nominale Un = 220V. Dans tout ce qui suit, on néglige les pertes fer et mécaniques et on met la f.é.m. du moteur sous la forme K⋅Ie⋅n avec Ie, courant circulant dans l'enroulement série, égal à I sauf indication contraire. 1) Un essai en génératrice à vide pour n = 1500tr/min et Ie = 5A a donné E = 240V. Calculer la valeur de K. 6 I MC 14 2) Déterminer la relation liant U, Re, R, K, I et n. A.N.: Pour U = Un et I = In, calculer − la fréquence de rotation n − la puissance utile Pu − le couple utile Cu. 3) Dans cette question, on place en parallèle sur l'inducteur un rhéostat Rs conformément au schéma partiel ci-contre. Is Rs a) Exprimer Ie en fonction de Re, Rs et I. I Ie b) Ecrire la relation liant U, Re, Ie, R, I, K et n et en déduire, compte tenu du résultat ci-dessus, celle liant U, Re, Rs, R, K, I et n. c) Application: On veut obtenir n = 1500tr/min pour U = Un et I = In. Déterminer la valeur qu'il faut donner à Rs ( on pourra commencer par calculer celle du rapport Rs/(Rs + Re) ) puis calculer la valeur de Cu. 4) Le moteur, alimenté par une source de courant constant I, entraîne une charge qui oppose un couple résistant Cr de la forme k1Ω avec k1 = 0,064Nm/(rad/s). a) Déterminer l'expression de Cu en fonction de K et I et mettre celle-ci sous la forme Cu = kI² en donnant la valeur numérique de k. b) Déterminer l'expression de la vitesse de rotation Ω0 en régime établi en fonction de k, k1 et I. A.N.: Calculer la valeur I0 qu'il faut donner à I pour avoir Ω0 = 100rad/s. c) Pour I = I0 et en désignant par J le moment d'inertie de l’ensemble, déterminer l’équation dΩ différentielle régissant l'évolution de la vitesse et la mettre sous la forme τ + Ω = Ω0 en dt donnant l'expression de τ en fonction de J et de k1. d) Le groupe étant initialement à l'arrêt, montrer que la solution de l'équation précédente peut se t − τ mettre sous la forme Ω = Ω0 1 − e . A.N.: J = 0,05kg⋅m², calculer le temps tr au bout duquel Ω est égal à 0,95Ω0. 7 L'étude porte sur un moteur à flux constant pour lequel on donne la constante de vitesse KE = E/Ω = 0,163Wb, la résistance d'induit R = 1,5Ω ainsi que les valeurs nominales UN = 60V, IN = 6,2A et ΩN = 315rad/s. Dans ce qui suit, on se limite au fonctionnement à vide en négligeant l’inductance d’induit et en admettant que le couple de pertes Cp est constant. Par ailleurs, on désigne par u et i les expressions en fonction du temps de la tension et du courant d'induit. 1) La mesure des pertes à vide pour Ω = ΩN a donné, après déduction des pertes Joule, P0 = 22W. Calculer Cp. 2) Lors d'un essai de ralentissement à induit ouvert, on a mesuré (∆Ω/∆t) = −300rad/s² pour Ω = ΩN. Calculer la valeur du moment d'inertie J. 3) Déterminer l'expression du couple électromagnétique Ce en fonction de KE et de i d'une part, de KE, u, R et Ω d'autre part. 4) Rappeler la relation liant J, dΩ/dt, Ce et Cp. 5) A l'instant t = 0 pris comme origine, le moteur étant arrêté, on applique à son induit une tension constante U = UN. MC 15 a) Calculer la valeur initiale i(0) de i. Le constructeur précise que le courant impulsionnel maximal est de 50A pour ce moteur. Vérifier qu'il y a compatibilité. b) Ecrire l’équation différentielle déterminant l'évolution de la vitesse. La mettre sous la forme dΩ τm + Ω = Ω0 en donnant les expressions de τm et de Ω0. A.N.: Calculer τm et Ω0. dt c) Résoudre cette équation compte tenu de la condition initiale pour obtenir l’expression de Ω(t) en fonction de Ω0, t et τm. d) Calculer le temps t0 au bout duquel Ω est égal à 99% de Ω0. 6) On considère maintenant un démarrage à I = IN constant. a) Ecrire la nouvelle équation différentielle déterminant l'évolution de la vitesse et en déduire l'expression de Ω(t). b) Calculer le temps t1 au bout duquel Ω atteint la valeur Ω0 définie au 5)b).
