Complément VI.2 : Pression cinétique

Complément VI.2
page i/v
Pression cinétique
Nous allons reprendre le calcul de la pression cinétique en considérant un modèle moins
simpliste que celui du chapitre VI. C’est-à-dire en ne simplifiant pas l’agitation moléculaire.
Nous commençons par rappeler l’interprétation cinétique qualitative de la pression.
Puis nous exprimons la pression en fonction de la force pressante moyenne subie par
une petite portion de paroi.
Cette force moyenne se déduit de la force exercée par chaque molécule au cours d’un
choc. Ce calcul utilise la loi des actions réciproques et la loi fondamentale de la
Dynamique.
Le choc est supposé élastique ce qui permet d’exprimer les variations des quantités de
mouvement des molécules au cours des chocs.
Le décompte des chocs conduit finalement { l’expression de la pression cinétique.
Ce complément s’achève sur deux remarques concernant d’une part l’hypothèse du choc
élastique et d’autre part les phénomènes physiques qui se déroulent lors de l’interaction d’une
molécule avec la paroi.
1. Interprétation cinétique
Reprenons l’interprétation cinétique de la pression : Elle est engendrée par la force exercée sur
la paroi par les molécules au moment des chocs. Ils sont à la fois très nombreux et irréguliers à
cause de l’agitation moléculaire. La pression observée est donc due à la moyenne au cours du
temps de cette force.
gaz
x'
paroi de surface S
x
Figure 1: Un aperçu de l’agitation moléculaire.
Nous considérons une petite portion de paroi de surface S. La pression est le quotient de
l’intensité moyenne de cette force par la surface S :
p
Fmolécules/paroi
S
L’expérience montre que cette force moyenne est perpendiculaire { la paroi. Donc cette
moyenne est égale à sa composante normale :
Complément VI.2
p
page ii/v
Fx molécules/paroi
S
2. Expression de la force pressante moyenne
La composante Fx molécules/paroi de la force totale exercée par les molécules sur la paroi est une
fonction du temps égale à la somme des composantes fx molécule/paroi des forces exercées par
chaque choc sur la paroi. Sa moyenne sur l’intervalle de temps Δt est l’intégrale de cette fonction
divisée par la durée Δt :
1
t
Fx molécules/paroi
t
t
t
Fx (t )dt
1
t
t
t
t
N chocs
fi x (t ) dt
i 1
L’intégrale d’une somme est égale { la somme des intégrales. De plus chaque force fi(t) exercée
par une molécule sur la paroi est nulle en dehors de la brève durée Δtchoc i du choc :
p
1 Nchocs
S t i1
ti
ti
tchoc i
fi x (t )dt
Pour calculer la ième intégrale, nous allons étudier le ième choc.
3. Etude du ième choc
a) Loi des interactions réciproques
f(t)
t
t
Figure 2 : L’intensité de l’interaction molécule-paroi.
Pour évaluer la force fi(t) nous allons d’abord étudier le choc d’une molécule sur la paroi. D’après
la loi des interactions réciproques, la force exercée par une molécule sur la paroi est l’opposée
de la force exercée par la paroi sur la molécule :
fi molécule/paroi
fi paroi/molécule
Complément VI.2
page iii/v
b) Loi fondamentale de la Dynamique
D’après la loi fondamentale de la Dynamique, cette force est égale à la dérivée de la quantité de
mouvement de la molécule :
fi paroi/molécule (t )
dpi molécule
dt
Nous en déduisons l’intégrale concernant le ième choc :
ti
tchoc i
ti
fi paroi/molécule (t )dt
pi molécule
mvi molécule
Seule nous intéresse la composante normale :
ti
tchoc i
ti
fi
x paroi/molécule
(t )dt
pi x molécule
mvi x molécule
mvi x après mvi x avant
c) Hypothèse du choc élastique
Nous faisons l’hypothèse que le choc est élastique c’est-à-dire que la molécule est réfléchie par la
paroi. Seules nous intéressent les composantes normales :
vi x après
vi x avant
vi x
Nous avons noté vix la composante de la vitesse avant le choc pour alléger les notations. Voir
figure 3 ci-après.
y
v x avant
v avant
v x après = - v x avant
v y avant
x'
v y après = + v y avant
v après
y'
Figure 3 : Le choc élastique d’une molécule contre la paroi.
D’où la variation de la quantité de mouvement :
mvi x après
ti
ti
choc
ti
choc
ti
ti
ti
mvi x avant
m
fi x paroi/molécule (t )dt
fi x molécule/paroi (t )dt
vi x
m vi x
2mvi x
2mvi x
2mvi x
x
Complément VI.2
page iv/v
La pression se récrit donc :
p
1 Nchocs
S t i1
ti
tchoc i
ti
fi x (t )dt
1 Nchocs
2mvi x
S t i1
4. Décompte des chocs à la vitesse normale vx
Nous allons regrouper tous les termes de la somme concernant une même valeur vx de la
composante normale de la vitesse :
p
1 Nchocs
2mvi x
S t i1
1
N chocs à vx 2mvx
S t valeurs de vx
Nous cherchons donc le nombre de chocs effectués à la vitesse v de composante vx donnée entre
deux instants de dates t et t + Δt. Les molécules qui choquent la paroi { l’instant de date t se
trouvent sur la paroi { cet instant. Et les molécules qui choqueront la paroi { l’instant de date
t + Δt se trouvent sur la section S’ située à la distance vx Δt de la paroi. Voir figure 4 ci-après.
Donc les molécules qui heurtent la paroi entre les instants de dates t et t + Δt se trouvent à
l’instant de date t dans un cylindre de base S et de hauteur vx Δt c’est-à-dire de volume1 S vx Δt.
gaz
section S'
paroi de surface S
distance vx
t
Figure 4 : Décompte des molécules de vecteur-vitesse v de composante vx donnée.
Lorsqu’on change de vecteur-vitesse v sans changer de composante vx le cylindre change
d’inclinaison mais garde le même volume. Il suffit donc de multiplier ce volume par la densité
particulaire np,vx des molécules ayant cette composante de vitesse vx, pour obtenir le nombre de
chocs :
1
Volume d’un cylindre = surface de base x hauteur (mesurée perpendiculairement aux bases).
Complément VI.2
page v/v
Nchocs à vx
np vx Svx t
5. Conclusion
La pression se récrit donc :
1
N chocs à vx 2mvx
S t valeurs de vx
p
1
n p v Svx t 2mvx
S t valeurs de vx x
n p vx v x 2
2m
valeurs de vx
La dernière somme peut s’écrire en fonction de la moyenne du carré de la composante normale
de la vitesse et de la densité particulaire np mais en se limitant aux valeurs positives car les
molécules sélectionnées se dirigent vers la paroi :
n p vx v x 2
np
vx 2
vx 0
valeurs de vx
Or { cause de l’isotropie de la distribution des vitesses :
vx 2
vx 0
1
2
vx 2
1 2
C
6
Donc la pression se récrit :
p
2n p m vx 2
vx 0
1
2n p m C 2
6
Finalement :
p
1
n p mC 2
3
Nous retrouvons l’expression de la pression cinétique.
Deux remarques :
i. L’hypothèse du choc élastique n’est en fait pas nécessaire (mais simplifie, un peu, les calculs)
car les chocs dans un gaz { l’équilibre thermodynamique ne modifient pas en moyenne la
répartition des vitesses. Donc la somme des composantes normales des quantités de mouvement
après les chocs est l’opposée de la somme des composantes normales des quantités de
mouvement avant les chocs.
ii. En réalité la molécule interagit avec la paroi grâce à une adsorption (elle se fixe sur la paroi)
suivie d’une désorption (elle quitte la paroi). La variation de quantité de mouvement a donc lieu
en deux temps, de la vitesse vavant à la vitesse nulle puis de la vitesse nulle à la vitesse vaprès.