CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint

Nom:...............................................Prénom:.........................................Date :.....................Classe:..........
CS Intermédiaire de mathématiques -Toussaint - D
NB: Justifie tes réponses et détaille tes calculs partout où c'est demandé.
Sois précis dans tes formulations, et utilise des phrases complètes.
Assure-toi de répondre (uniquement) aux questions posées...
Toutes les réponses doivent être fournies sur le questionnaire.
C1 :
/15
C2 :
/13
C3 :
/12
1. Dans le repère ci-dessous, place (aussi précisément que possible) et
C2: /3
donne les coordonnées (exactes) du point D qui représente un angle d'une amplitude de 4π/3
radian dans le cercle trigonométrique.
D(..................;................)
2. On donne sin(131°) = ¾. Calcule, si possible, cos(131°) et cos(-49°)
C2: /5
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√a = a ?
3. A quelles conditions peut-on écrire que
C1: /2
√d d
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√
4. Vrai ou faux ? Rectifie ce qui est faux
C1: /3
a) ∀ a , b∈ℝ : √ a . √ b= √ a.b .................................................................................................
2
b) ∀ a∈ℝ + : ( √ a ) =a
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2
c) ∀ a∈ℝ : √ a =−a
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(suite au verso!)
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1
5. Vrai ou faux ? On ne considère que des angles orientés correctement
C1: /4
représentés sur le cercle trigonométrique.
Attention, une bonne réponse rapporte un point, une mauvaise réponse coûte un demi-point et
une abstention ne rapporte ni ne coûte rien.
a) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
possède le même cosinus. Vrai – Faux
b) Deux angles orientés appartenant à deux quadrants différents mais voisins ne peuvent pas
avoir la même tangente. Vrai – Faux
c) Pour tout angle orienté α, il est possible de trouver un angle orienté dans un quadrant
différent mais voisin qui possède le même cosinus que α .
Vrai – Faux
d) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que cos α = x.
Vrai – Faux
6. Définis :
C1: /6
a) Sinus d'un angle orienté :
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b) Racine cubique d'un réel :
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7. Résous (et exprime correctement la solution!) :
C2: /5
2
a) (x−5)( x+3)=9− x
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b)
2 x −6<4+5 x
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2
8. La grande roue du Millénaire de Londres a un diamètre de 160 mètres et
C3:
/5
parcourt en 25 secondes un angle de 100°. Quelle est la distance parcourue par les
nacelles pendant ces 25 secondes ? Aide-toi d'un schéma, et donne une réponse exacte
et une réponse approximative à 10 mètres près.
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9. Classe par ordre décroissant les nombres suivants :
π
4π
2π
.
0 ; 1 ; cos 15° ; cos 60° ; cos 300° ; tan
; sin 3 ; tan –
7
3
Aide-toi d'un cercle trigonométrique pour établir ta réponse (ci-dessous)
C3:
/7
...............>................>................>................>................>................>................>................
Bonus :
Combien existe-t-il sur le cercle trigonométrique de paires d’angles orientés distincts qui soient à la
fois complémentaires et supplémentaires ? Justifie ta réponse, et identifie les angles (s'il en existe).
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Bon travail !
Quelques cercles trigonométriques à utiliser pour supporter vos réflexions....
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CS Intermédiaire de Toussaint - Corrigé - D
Question 1
Question 2
cos 2 131° =1−sin 2 131 ° =1−
9
7
=
16 16.
131 ° ∈ QII ⇒ cos 131 °≤0
7
cos 131° =− √
4
On remarque que 131° et – 49° sont des amplitudes d'angles anti-supplémentaires.
Donc cos(-49°) = - cos(131°).
7
cos−49 °= √
4
Question 3
Question 4
a) Faux : ∀ a , b∈ℝ+ :
√ a . √ b= √ a.b
b) Vrai
c) Vrai : ∀ a∈ℝ : √ a 2=∣a∣ En particulier si a <0, |a| = -a
Question 5
a) Pour tout angle orienté d'amplitude α, il est possible de trouver un angle orienté distinct qui
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4
possède le même cosinus.
Faux. Il n'y a qu'un seul angle dont le cosinus vaut 1 par exemple.
b) Deux angles orientés appartenant à deux quadrants différents mais voisins ne peuvent pas
avoir la même tangente.
Vrai: puisque dans des quadrants voisins les tangentes sont de signe contraire.
c) Pour tout angle orienté α, il est possible de trouver un angle orienté à l'intérieur d'un
quadrant différent mais voisin qui possède le même cosinus que α .
Vrai. Il y a toujours un quadrant voisin dans lequel le signe du cosinus est identique à
celui de cos α, et dans lequel on rencontre toutes les valeurs de cosinus qui ont ce
signe.
d) Pour tout réel x je peux trouver un angle orienté d'amplitude α tel que cos α = x.
Faux : il faut que x soit compris entre -1 et 1.
Question 6
Voir cours.
Question 7
2 x−6<4+5 x ⇔ 2 x−5 x<4+6⇔−3 x<10 ⇔ x>−
a)
10
3
10
;→
3
2
(x−5)( x +3)=9− x
⇔( x−5)( x+3)−(9−x 2 )=0 ⇔( x−5)(x+3)−(3−x)(3+x )=0
b)
⇔( x+3) (( x−5)−(3− x) )=0
⇔( x+3)( 2x−8)=0⇔ ⇔2( x+3)(x−4)⇔ x=−3 ou x=4
S ={−3 ; 4}
S =]−
Question 8
x=r. θ=80 .100 .
2. π
1600
800
400
⇔x=
π=
π=
π≈ 45. 3≈135 m
360
36
18
9
Question 9
tan –
π
2π
4π
> 1 > cos 15° > sin 3 > cos 300° = cos 60° > 0 > tan
3
7
Bonus
Dans une telle paire, les points représentant les angles doivent être symétriques par rapport à l'axe Y
(puisque les angles sont supplémentaires) et par à la bissectrice du premier quadrant (puisque les
angles sont complémentaires). C'est évidemment impossible : deux points ne peuvent être symétriques
par rapport à deux axes distincts, à moins d'être confondus avec leur intersection, ce qui est impossible.
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