Exos debut annee

EXERCICES 1
Exo1 : Un groupe de personnes est composé de 20 hommes (dont 10 européens) et de 30 femmes (dont 20
européennes). Si l’on choisit une personne au hasard dans ce groupe, calculer la probabilité pour qu’elle
soit :
a) de sexe féminin b)de nationalité européenne c) un homme non européen
Exo2 : Trouver dans des familles de 3 enfants les probabilités des événements suivants (on suppose
l’équiprobabilité des naissances de filles et de garçons) :
a) avoir exactement un garçon b) avoir un garçon comme aîné c) avoir un garçon comme aîné et une
fille comme cadette d) avoir exactement 2 garçons e) avoir au moins un garçon f) avoir au moins
deux garçons
g) avoir au plus un garçon h) avoir plus de garçons que de filles i) avoir au moins une fille et un garçon
j) déterminer la loi de probabilité du nombre de garçons dans une famille de 3 enfants, son espérance
mathématique et son écart-type.
Exo3 : Un questionnaire comprend 2 questions avec trois réponses dont une seule est juste. Une personne
répond au hasard au questionnaire. Calculer la probabilité qu’il ait :
a) Une réponse correcte aux deux questions b) une réponse incorrecte au deux c) au moins une réponse
correcte d) au plus une réponse correcte e) une réponse correcte à la première question
f) Dans un questionnaire à 8 questions de ce type, donner la loi de probabilité du nombre de réponses
correcte qu’une personne peut fournir en répondant au hasard, donner l’espérance mathématique et
l’écart-type
Exo4 : Une balle est tirée au hasard d’une boite contenant 4 balles rouges, 2 balles vertes, 6 balles
blanches et 8 balles noire. Calculer la probabilité pour qu’elle soit :
a) rouge b) verte c) non blanche d) verte ou noire e) rouge ou blanche
f) Si on tire 5 balles avec remise, donner le nombre de balles rouges que je peux tirer, donner l’espérance
mathématique et l’écart-type g) idem sans remise
Exo5 : Un dé bien équilibré est joué jusqu’à l’obtention d’un as.
a) Quelle est la probabilité pour qu’il faille plus de 3 jets pour voir apparaître l’as
b) donner la loi de probabilité du nombre de jets jusqu’à l’obtention d’un as ? A partir de combien de jets
x, la probabilité d’obtenir un as en plus de x jets est-elle inférieure à 5 % ?
Exo6 : Si deux dés sont jetés, quelle est la probabilité pour que la somme des deux résultats vaille :
a) 3 b) au moins 3 c) au plus 3 d) au moins 4
e) calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de la loi de probabilité de la somme des deux
résultats (en vous servant des propriétés de la somme des espérances et des écart-types)
Exo7 : On prélève au hasard 4 chaussures dans un lot de 10 paires de chaussures différentes. Quelle est
lae probabilité pour qu’il y ait au moins une paire parmi les 4 chaussures ?
Exo8 : Considérons la loi de probabilité de la variable aléatoire :
xi :
1
2
3
4
5
6
pi :
0,1 0,4 0,2
0,1 0,1 0,1
a) vérifier qu’il s’agit bien d’une distribution de probabilité b) calculer la fonction de répartition
c) calculer µ et σ
d) déterminer µ et σ des variables Y=2X , Z= X/2 , W=X-3
Exo9 : On lance 3 dés bien équilibrés, calculer la loi de probabilité du nombre d’as que l’on peut obtenir,
calculer µ et σ.
Exo10 : En 1964, lors de l’élection présidentielle aux USA, 60% des électeurs votèrent démocrate et 40%
républicain. Calculer la probabilité qu’un échantillon tiré au hasard prévoie la victoire du démocrate,
sachant que la taille de l’échantillon est
a) n=1
b) n=3
c) n=6
d) n=15
EXERCICES 2
Exo1 : Dans une population jeune et saine, un certain dosage sanguin X suit une loi Normale N(20,3).
a) Calculer la probabilité, pour qu’un individu pris au hasard dans cette population ait un dosage sanguin :
i) X<21 2) 18<X<22 3) X<17 4) X> 19
ii) Calculer la probabilité, pour 10 individus pris au hasard dans cette population ait un dosage sanguin
moyen :
b) X<21 2) 18<X<22 3) X<17 4) X> 19
c) Idem pour 100 individus
Exo2 : Je demande à 121 étudiants de piquer un nombre entier compris entre 0 et 9 (les yeux fermés) dans
une table de nombres au hasard.
Quelle est la loi de probabilité de la fréquence de 7 que je peux obtenir (exacte puis approchée) ?
Calculer la probabilité pour que la fréquence de 7 ainsi obtenue soit 1) comprise entre 4,65 % et 15,35 %
2) soit supérieure à 14 % 3) soit inférieure à 8 %.
Quand j’ai demandé à mes 121 étudiants en deuxième année de Sociologie de me donner un chiffre au
hasard entre 0 et 9 sans tirer dans une table de nombres au hasard, j’ai obtenu 22,9 % de 7. Que pouvezvous en déduire ?
Exo3 : Une assemblée se compose de 200 personnes. Un groupe de 20 personnes se mettent d’accord
pour faire accepter le projet. Les autres personnes indécises votent au hasard. Quelle est la probabilité
pour que le projet soit accepté ?
Exo4 : L’entreprise Electropak met en boite des boites de céréales dont le poids suit une loi Normale
(450gr, 3gr). Ces boites sont livrées en caisse de 24.
a) A quoi obéit le poids total S24 des boites contenues dans une caisse ? Calculer l’espérance et l’écarttype de cette variable.
b) A quoi obéit le poids moyen des boites contenues dans une caisse. espérance et écart-type.
c) idem pour le poids moyen des boites contenues dans 10 caisses ?
Exo5 : D’après l’ACA (Association canadienne des automobilistes), 20% des automobiles actuellement
sur la route ne devraient pas circuler puisqu’elles ne satisfont pas aux normes de sécurité. Dans un
échantillon aléatoire de 200 voitures,
a) Quelle est la probabilité d’observer plus de 20 automobiles ne satisfaisant pas aux normes de sécurité ?
b) Quelle est la probabilité d’observer plus de 40 automobiles ne satisfaisant pas aux normes de sécurité ?
c) trouver un intervalle centré contenant 95 % de probabilité ?
Exo6 : La côte d’un homme politique est, dit-on, de 52 % dans la population française. Un institut de
sondage décide de le déclarer élu si dans un échantillon de taille n, il trouve plus de 50 % de personnes en
sa faveur. Quelle est la loi de probabilité de la fréquence de personnes qui voteraient pour lui et la
probabilité de le déclarer élu dans un échantillon de taille
a) 7 b) 100 c) 1000
Quelle doit être la taille de l’échantillon pour qu’il puisse prédire le résultat de l’élection avec un
probabilité de 95 % ?
Exo7 : le poids d’un individu adulte suit une loi quelconque d’espérance 70kg et d’écart-type 10 kg.
Quelle est la loi de probabilité du poids total de 100 personnes ? S’ils montent dans un engin quelconque,
quel est le poids que doit supporter cet engin pour avoir une probabilité de 5 %, de 1%, de 0,1% de ne pas
démarrer ?