Département de Mathématiques Maıtrise de Math. Pures Université

Maı̂trise de Math. Pures
Premier semestre, année 2002/2003
Analyse réelle et complexe
Département de Mathématiques
Université d’Orléans
Module Ma7.01
Feuille 7 : Séries de Fourier 2, partiels des années précédentes.
1. Partiel 1999: sous-espaces invariants de L2 (T)
On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E = L2 (T) est stable par translations si, pour tout f ∈ H
et tout θ ∈ R ,on a τθ f ∈ H où τθ f : x 7→ f (x − θ).
Pour I un sous-ensemble de Z on note HI = {f ∈ E : fˆ(n) = 0, n ∈
/ I}.
1. Montrer que HI est un sous-espace fermé de E, stable par translations. Trouver une base
hilbertienne de HI et déterminer son orthogonal dans E.
2. Soit maintenant H un sous-espace fermé de E, stable par translation, f ∈ H et g ∈ H ⊥ . On
pose an = fˆ(n), bn = ĝ(n),
Xn ∈ Z.
an bn est absolument convergente.
(a) Montrer que la série
n∈Z
(b) Montrer que pour tout θ ∈ R,
X
an bn einθ = 0.
n∈Z
(c) En déduire quepour tout n ∈ Z, an bn = 0.
(d) Montrer qu’il existe I ⊂ Z tel que H = HI .
3. On suppose dans cette partie que I est tel que toutes les fonctions HI appartiennent à L∞ (T)
et on se propose de montrer que I est fini.
Z 1
n n
(a) Pour n > 0, f ∈ HI , on pose Mn (f ) =
f (x)dx.
2 − n1
Montrer que les Mn sont des formes linéaires continues sur HI .
(b) En appliquant le théorème de Banach-Steinhaus, montrer qu’il existe une constante CI > 0
telle que pour tout n ∈ N, kMn k ≤ CI .
N
X
(c) Soient n1 , n2 , . . . , nN ∈ I deux à deux distincts et f (x) =
eink x .
k=1
√
Montrer que la suite Mn (f ) converge. En déduire que N ≤ CI N . Conclure.
2. Partiel 2000
Soit ω = (ωn )n≥0 une suite de réels ≥ 1. On définit
2
X
H ω = {f ∈ L2 (T) :
ω|n| fb(n) < +∞}.
n∈Z
1. Montrer qu’il s’agit d’un espace vectoriel.
2. Soient f, g ∈ H ω ; on pose :
X
g (n).
hf, giω =
ω|n| fb(n)b
n∈Z
(a) Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire sur H ω
(b) Montrer qu’il munit H ω d’une structure d’espace de Hilbert.
(c) Montrer que l’ensemble des polynômes trigonométriques est dense dans H ω .
X 1
3. On suppose que
< +∞.
ωn
n≥0
X (a) Montrer que si f ∈ H ω alors
fb(n) < +∞.
n∈Z
(b) En déduire que l’espace H ω est formé de fonctions continues.
1
4. On suppose maintenant que
X 1
= +∞. Si n ≥ 1 on note Kn (f ) la n-ième somme de Fejer
ωn
n≥0
de f et l’on pose, pour f ∈ H ω , Tn (f ) = Kn (f )(0).
(a) Montrer qu’il existe une unique fonction ϕn ∈ H ω telle que, pour tout f ∈ H ω , Tn (f ) =
hf, ϕn iω .
(b) Déterminer ϕn et montrer que kϕn kω → +∞.
(c) En déduire la norme de la forme linéaire Tn et en déduire que H ω contient des fonctions
non continues.
3. Partiel 2001
Pour f ∈ L1 (T) on notera fˆ = (fˆ(n))n∈Z la suite de ses coefficients de Fourier.
Le but de ce problème est d’examiner pour quelles valeurs de α > 0 la propriété (Pα ) suivante est
vraie :
Si C > 0 et si a = (an )n∈Z ∈ CZ est une suite vérifiant pour tout n ∈ Z, |an | ≤
C
alors il existe une fonction f ∈ L1 (T) telle que fˆ = a.
(1 + |n|)α
En d’autres termes, on cherche à savoir si cette condition de décroissance sur (an ) est suffisante pour
garantir qu’elle est la suite des coefficients de Fourier d’une fonction f ∈ L1 (T).
I.
1. Montrer que (Pα ) est vérifiée si α > 12 .
2. On définit pour α > 0
Bα = {a ∈ CZ ; kakBα := sup(1 + |n|)α |an | < +∞}.
n∈Z
Montrer que (Bα , k.kBα ) est un espace de Banach.
3. On définit alors Aα = {f ∈ L1 (T); fˆ ∈ Bα }. Montrer que, muni de la norme
kf kα = kf k1 + kfˆkBα
c’est un espace de Banach et que F : f 7−→ fˆ est une application linéaire continue de Aα dans
Bα .
4. Montrer que si (Pα ) est vérifiée, il existe une constante C telle que pour tout f ∈ Aα , kf k1 ≤
CkfˆkBα .
5. (a) Montrer que pour f ∈ L1 (T) et g polynômes trigonométriques de degré N ,
Z π
N
X
1
f (t)g(t)dt =
fˆ(n)ĝ(n).
2π −π
−N
(b) En déduire que si (Pα ) est vérifié, alors il existe une constante C telle que pour tout polynôme
g on a :
X |ĝ(n)|
≤ Ckgk∞
(1 + |n|)α
n∈Z
II. On construit deux suites de polynômes trigonométriques par la règle de récurrence P0 = Q0 = 1,
Pm+1 (t) = Pm (t) + ei2
m
t
Qm (t) et
Qm+1 (t) = Pm (t) − ei2
m
t
Qm (t).
1. Déterminer P4 . Montrer que Pm , Qm sont des polynômes trigonométriques de degré 2m − 1 dont
les coefficients non nuls valent +1 ou −1.
2
2
2
2
2. Calculer |Pm+1 (t)| + |Qm+1 (t)| en fonction de |Pm (t)| + |Qm (t)| et en déduire que kPm k∞ ≤
(m+1)/2
2
.
3. Montrer que si α < 12 , la propriété (Pα ) n’est pas vérifiée.
4. Partiel 2002
On note ω la fonction définie sur ] − 1, 1[ par ω(x) =
par µ = ωdx.
On considère les deux espaces
2 √ 1
π 1−x2
• L2 (µ) = L2 ([−1, 1], dµ) muni de la norme kf kL2 (µ) =
2
π
Z
et µ la mesure sur ] − 1, 1[ donnée
1
−1
! 12
2
|f (x)|
√
dx . On note h., .iL2 (µ)
1 − x2
le produit scalaire associé.
1/2
Z
1 π 2
• L ([0, π]) muni de la norme kf k2 =
|f |
. On note h., .i2 le produit scalaire associé.
π 0
I. Soit f une fonction de L2 ([0, π]) et g la fonction de L2 ([−π, π]) définie par g(t) = f (|t|).
(i) Montrer que pour tout n ∈ Z,
Z
1 π
gb(n) =
f (t) cos ntdt.
π 0
2
(ii) On pose pour n ≥ 0 ξn (t) = cos nt: montrer que la famille √
(ξn )n≥0 est totale dans L2 ([0, π]).
(iii) Soit maintenant Φ l’application f 7−→ Φ(f ) où Φ(f )(t) = 2f (cos t).
Montrer que Φ est un isomorphisme isométrique de L2 (µ) sur L2 ([0, π]).
II. (i) Soit H l’espace des polynômes. Montrer que H ⊂ L2 (µ).
(ii) Montrer que, pour tout n ≥ 0, il existe un polynôme Tn de degré n tel que pour tout t ∈ R,
Tn (cos t) = cos nt.
(iii) Montrer que la famille (Tn )n≥0 est orthonormale dans L2 (µ).
(iv) Soit f ∈ H ⊥ (l’orthogonal étant pris dans L2 (µ)). Montrer que Φ(f ) = 0 et en déduire que
H est dense.
(v) Quelle est la projection orthogonale Pn (f ) de f ∈ L2 (µ) sur l’espace Hn des polynômes de
degré ≤ n ?
(vi) Que peut on dire de la suite (Pn (f ))n≥0 de L2 (µ) ?
(vii) On considère Pn : C([−1, 1]) → R définie par f 7→ P4n (f )(0). Montrer que Pn est une
forme linéaire continue sur C([−1, 1]).
(viii) Déterminer An pour que Pn = hΦ(f ), An i2 et en déduire que kPn k = kAn k1 .
(ix) Montrer que kPn k → +∞.
(x) En déduire qu’il existe f ∈ C([−1, 1]) telle que la suite (Pn (f )(0)) diverge.