Université Mohammed I Année 2007-2008 Ecole Nationale des Sciences Appliquées ENSA1 - Analyse II Oujda Enseignant : I.Elmahi Chapitre 5 Séries de Fourier Table des matières 1 Séries trigonométriques 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Fonctions périodiques . . . Fonctions trigonométriques Cas de convergence . . . . . Ecriture complexe . . . . . Calcul des coecients . . . . . . . . 2 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Coecients de Fourier d'une fonction paire ou impaire . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 2 3 4 4 5 6 3 Cas d'une fonction quelconque 10 4 Formule de Bessel-Parseval 13 ENSA1 Analyse II Séries 1 de Séries de Fourier Fourier Séries trigonométriques 1.1 Fonctions périodiques Dénition Une fonction f : R → C est dite périodique de période T si ∀x ∈ R, On dit aussi que f est T -périodique. f (x + T ) = f (x). Remarque Une fonction T -périodique est entièrement dénie par sa restriction sur un intervalle de longueur T . (ex : [0, T [; [a, a + T [). 6 a−T - a a+T a + 2T 1.2 Fonctions trigonométriques Dénition On Pappelle série trigonométrique toute série de fonctions complexes de la variable réelle x Un (x) dont le terme général s'écrit : Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx) avec x ∈ R; (an , bn ) ∈ C2 P La suite des sommes partielles associée à la série Un (x) est : Sn (x) = a0 + an cos(x) + bn sin(x) + · · · + an cos(nx) + bn sin(nx) Remarque 1. On remarque que la suite des sommes partielles Sn (x) est 2π -périodique. En eet : Pour n = 1, le terme U1 (x) = a1 cos x + b1 sin x est 2π -périodique. Pour n > 1, Un (x) = an cos(nx) + P bn sin(nx) est 2π n -périodique. Donc P si la série trigonométrique Un (x) converge simplement sur R, alors la somme Sn = +∞ n=0 Un (x) = limn→+∞ Sn (x) est 2π -périodique. 2. Remarquons aussi que ∀n ≥ 0, le terme Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx) est continue P sur R. (Attention, cela dit, on ne peut rien dire de la continuité de la somme f (x) de Un (x)). I.Elmahi 1 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier 1.3 Cas de convergence Proposition 1 Soit la série trigonométrique P P Un (x) avec : Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx). Si les séries numériques a et bn convergent absolument, alors la série trigonométrique n P Un (x) converge normalement sur R. De plus, la somme f (x) est continue sur R. P Preuve On a ∀x ∈ R |Un (x)| = |an cos(nx) + bn sin(nx)| ≤ |an | + |bn | | {z } Vn Or les séries numériques |an | et |bn | convergent. D'où Vn converge. P On enP déduit que Un (x) converge normalement sur R. Donc Un (x) converge uniformément sur R. On a ∀n P ∈ N Un (x) est continue sur R Un (x) converge uniformément sur R Alors la somme f (x) est continue sur R (théorème de continuité). P P P Proposition 2 Si (an ) et (bn ) sont des suites décroissantes de nombres réels positifs convergent vers P 0, alors la série trigonométrique an cos(nx) + bn sin(nx) converge simplement sur R − 2πZ. De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle Ik = [2kπ + α, 2(k + 1)π − α] où α ∈]0, π[. Preuve(exercice) Indication : Convergence simple : P inx converge (appliquer le critère d'Abel). Cela perMontrer que ∀x ∈ R − 2πZ, la série an eP P P mettra de déduire la convergence des séries an cos(nx) et an sin(nx) et idem pour bn einx . On prend : εn = an , αn = einx . εn & 0 n n 1 − (eix )n+1 1 ei(n+1)x X X ix k ≤ + αk = (e ) = 1 − eix 1 − eix 1 − eix k=0 avec eix 6= 1 ⇒ k=0 x = 2kπ i,e : x ∈ R − 2πZ Convergence uniforme : Montrer que ∀n, p, ∀x ∈ Ik on a : |Sn+p (x) − Sn (x)| ≤ 2can+1 avec c = 2 . |1−eix | 1.4 Ecriture complexe On va essayer d'écrire Un (x) sous la forme complexe : On a ∀n ∈ N Un (x) = an cos(nx) + bn sin(nx). Avec la formule d'Euler on a : P Un (x) = an I.Elmahi einx + e−inx 2 + bn einx − e−inx 2i 2 = an − ibn 2 einx + an + ibn 2 e−inx Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier n cn = an −ib (1) 2 an +ibn c−n = (2) 2 P Dans ce cas, on a alors : ∀n ≥ 1 Un (x) = cn einx +c−n e−inx . Si la série trigonométrique Un (x) converge, alors sa somme f (x) s'écrit (on suppose pour le moment que c0 = a0 ) : Posons ∀n ≥ 1 f (x) = c0 + (c1 eix + c−1 e−ix ) + (c2 ei2x + c−2 e−i2x ) + · · · + (cn einx + c−n e−inx ) + · · · = +∞ X cn einx −∞ Réciproquement, on peut calculer les coecients an et bn en fonction des cn par : ∀n ≥ 1 an = cn + c−n (3) bn = i(cn − c−n ) (4) Pour que les relations (1) et (3) soient vraies pour n = 0, on doit alors P avoir : a0 = 2c0 c'est à dire : c0 = a20 . Donc pour pouvoir écrire la somme f (x) de la série Un (x) sous la forme : P inx . On va considérer notre série trigonométrique comme étant de la forme : f (x) = +∞ −∞ cn e a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx 2 1.5 Calcul des coecients inx Soit Un (x) une série qui converge uniformément sur R, alors sa somme f (x) = +∞ −∞ cn e est continue sur R donc intégrable sur tout compact. On va calculer les coecients cn en fonction de la somme f (x). Soit p ∈ Z, on a : P P f (x)e−ipx = e−ipx +∞ X cn einx f (x)e−ipx = ⇒ n=−∞ Or la série P +∞ X cn ei(n−p)x n=−∞ cn ei(n−p)x est uniformément convergente elle est donc intégrable, et on a : Z 2π f (x)e −ipx Z +∞ X 2π dx = 0 0 i(n−p)x cn e dx = n=−∞ +∞ X n=−∞ Z 2π cn ei(n−p)x dx 0 2π 1 i(n−p)x e dx = Pour n 6= p, on a : : e =0 i(n − p) 0 0 Z 2π Z 2π i(n−p)x Pour n = p, on a : : e dx = 1dx = 2π Z 2π i(n−p)x 0 On a alors : ∀p ∈ Z D'où cp = Si la série trigonométrique P 0 2π Z f (x)e−ipx dx = cp 2π 0 1 2π Z 2π f (x)e−ipx dx 0 Un (x) s'écrit : a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx 2 Alors on peut calculer les coecients an et bn par : ∀n ∈ N I.Elmahi an = cn + c−n bn = i(cn − c−n ) 3 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier et on a : an = bn = En eet : an = 1 2π 2π Z Z 1 2π f (x) cos(nx) dx π 0 Z 2π 1 f (x) sin(nx) dx π 0 f (x)e−inx dx + 0 1 2π 2π Z f (x)einx dx = 0 1 π Z 2π f (x) cos(nx) dx 0 Proposition Soit la série trigonométrique f (x) = +∞ X +∞ cn einx ⇒ a0 X + an cos(nx) + bn sin(nx) 2 f (x) = n=−∞ On suppose que P n=1 Un (x) converge uniformément sur R, alors on a : Z 2π 1 ∀n ∈ Z , cn = f (x)e−inx dx 2π 0 Z 1 2π f (x) cos(nx) dx ∀n ∈ N , an = π 0 Z 1 2π ∀n ∈ N , bn = f (x) sin(nx) dx π 0 2 Séries de Fourier 2.1 Dénition Soit f : R −→ C une fonction 2π -périodique et intégrable sur tout compact de R. P+∞ a0 On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique 2 + n=1 an cos(nx) + bn sin(nx). où : Z 1 2π an = f (x) cos(nx) dx π 0 Z 1 2π bn = f (x) sin(nx) dx π 0 P inx avec : La série de Fourier peut s'écrire aussi +∞ n=−∞ cn e ∀n ∈ Z, cn = 1 2π Z 2π f (x)e−inx dx 0 an , bn , cn sont appelés coecients de Fourier de f . Remarque La fonction f étant 2π -périodique, il en est de même pour la fonction : x 7−→ f (x)e−inx . On a alors : Z 2π Z α+2π f (x)e−inx dx = ∀α ∈ R, 0 I.Elmahi f (x)e−inx dx α 4 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier On peut donc changer l'intervalle d'intégration [0, 2π] par [α, α+2π] sans changer les coecients de Fourier. 2.2 Coecients de Fourier d'une fonction paire ou impaire On choisit l'intervalle [−π, π] pour le calcul des coecients an , bn et cn . • Si f est paire : Alors la fonction x 7−→ f (x) cos nx est aussi paire et la fonction x 7−→ f (x) sin nx est impaire. On a alors : ∀n ∈ N, an bn 2 = π = 0 π Z f (x) cos nx dx 0 C'est à dire que la série de Fourier associée à f est : +∞ a0 X + an cos nx 2 n=1 • Si f est impaire : Alors la fonction x 7−→ f (x) cos nx est impaire et la fonction x 7−→ f (x) sin nx est paire. On a alors : ∀n ∈ N, an = 0 Z 2 π bn = f (x) sin nx dx π 0 C'est à dire que la série de Fourier associée à f est : +∞ X bn sin nx n=1 Exemple Soit la fonction f 2π -périodique dénie sur R par f (x) = x pour 0 ≤ x < 2π 1. Représenter f 2. Série de Fourier associée à f ? 6 [ −2π I.Elmahi −π [ 0 π 5 [ 2π - Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier f est une fonction impaire donc ∀n ∈ N : an = 0 Z 2 π bn = f (x) sin nx dx π 0 bn = = = = Z 2 π x sin nx dx ∀n ≥ 1 π 0 Z 2 π − cos nx 0 x dx π 0 n Z π 2 cos nx −x cos nx π + dx π n n 0 0 sin nx π 2 π(−1)n+1 + π n n2 0 2(−1)n+1 n Donc la série de Fourier associée à f est : X 2(−1)n+1 bn = n≥1 n sin nx 2.3 Problème Le problème fodamental qui se pose sur la série de Fourier associée à une fonction 2π périodique et intégrable sur tout compact de R est le suivant : 1. Cette série converge-t-elle ? 2. Dans le cas de convergence, sa somme vaut-elle f (x) ? Dénition (fonction réglée) Une fonction f : [a, b] −→ R est dite réglée si elle admet en tout point de [a, b[ une limite à gauche et en tout point de ]a, b] une limite à droite. Nous allons maintenant énoncer un théorème de convergence qui répond à la question posée. Ce théorème sera admis car la démonstration est longue. Théorème de Dirichlet Soit f : R −→ C une fonction 2π -périodique vériant : 1. f réglée sur R 2. f est dérivable à gauche et à droite sur R Alors la série de Fourier de f est simplement convergente sur R, et sa somme vaut pour tout x ∈ R − + f (x ) + f (x ) 2 où f (x− ) et f (x+ ) sont les limites à gauche et à droite de x. En particulier, si f est continue en un point x, alors on a : +∞ a0 X f (x) = + an cos nx + bn sin nx 2 n=1 I.Elmahi 6 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier 6 f (x− ) S= f (x− )+f (x+ ) 2 f (x+ ) - x Exemple 1 Soit la fonction f : R 7−→ R, 2π -périodique, paire dénie par : f (x) = x pour x ∈ [0, π] 1. Représenter f . 2. Calculer les coecients de Fourier de f , puis appliquer le théorème de Dirichlet. P P+∞ 1 1 3. Calculer +∞ p=0 (2p+1)2 puis en déduire la somme S = n=1 n2 . 6 0 −π −2π 6 π 2π - Puisque f est paire, alors : an • Pour n = 0 on a : • Pour n ≥ 1 on a : a0 = an = an = an = 2 π bn Rπ 0 2 = π = 0 Z π f (x) cos nx dx 0 x dx = π1 [x2 ]π0 d'où : a0 = π iπ 1 Z π 2 hx sin(nx) − f (x) sin nx dx π n n 0 0 2 1 · [cos nx]π0 π n2 2 [(−1)n − 1] πn2 Si n = 2p + 1 (impaire) ⇒ a2p+1 = Donc la série de Fourier associée à f est : −4 . π(2p+1)2 +∞ π X + a2p+1 cos ((2p + 1)x) 2 p=0 I.Elmahi 7 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier f est une fonction réglée (elle est même continue sur R). f est dérivable à gauche et à droite sur R. Alors le théorème de Dirichlet s'applique : La série de Fourier qui est : π2 + simplement sur R et sa somme vaut en tout point x, f (x). Donc : P+∞ −4 p=0 π(2p+1)2 converge +∞ ∀x ∈ R, π X −4 + cos((2p + 1)x) 2 π(2p + 1)2 f (x) = p=0 En particulier, pour x = 0, on a : +∞ −4 π X f (0) = 0 = + 2 π(2p + 1)2 p=0 On déduit alors que : +∞ X p=0 S = 1 π2 = (2p + 1)2 8 +∞ X n=0 S = S = S = π2 8 +∞ X 1 1 + (2p + 1)2 (2p)2 p=1 + 1 4 +∞ X p=1 1 p2 π2 S + 8 4 π2 6 Exemple 2 Soit f : R −→ R, 2π -périodique, impaire, dénie par : f (x) = et prenant des valeurs quelconques en 1. Graphe de f . 2. Coecients de Fourier de f . P (−1)p−1 3. En déduire +∞ p=1 2p−1 . I.Elmahi x pour x ∈ [0, π2 [ α pour x ∈] π2 , π[ (α ∈ R) π 2 et π . 8 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier 6 [ [ 0 −π −2π ] [ π - 2π ] ] Puisque f est impaire alors : ∀n ∈ N an = 0 ∀n ≥ 1 bn = bn = bn = bn = bn = bn = 2 π f (x) sin nx dx 0 2 π 2 π 2 π π 2 Z 2 π 2 π π Z Z ! π x sin(nx) dx + α sin(nx) dx π 2 π 2 0 π ! Z 1 − cos nx π −x cos nx 2 + cos nx dx + α n n 0 n π 0 2 h nπ i nπ 1 π −π α + [sin nx]02 − (−1)n − cos cos 2 2 n n 2 π nπ 1 nπ α nπ n − cos + 2 sin − (−1) − cos 2 2 n 2 n 2 π πn 1 nπ α nπ − cos + 2 sin + cos − cos(nπ) 2n 2 n 2 n 2 • Si n = 2p, alors : b2p π 2 α p p − (−1) + ((−1) − 1) = π 4p 2p • Si n = 2p − 1, alors : b2p−1 2 1 α p−1 = (−1) + π (2p − 1)2 2p − 1 Donc la série de Fourier associée à f est : +∞ X n=1 bn sin nx = +∞ X b2p−1 sin(2p − 1)x + p=1 +∞ X b2p sin 2px p=1 f est une fonction réglée sur R et dérivable à gauche et à droite sur R. Donc le théorème de Dirichlet s'applique. On a : ∀x ∈ R, I.Elmahi +∞ +∞ p=1 p=1 X f (x+ ) + f (x− ) X = b2p−1 sin(2p − 1)x + b2p sin 2px 2 9 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier Pour x = π2 , on a : +∞ +∞ p=1 p=1 f ( π2 + ) + f ( π2 − ) X f (x+ ) + f (x− ) π X π = = b2p−1 sin(2p − 1) + b2p sin 2p 2 2 2 2 π 2 +∞ +∞ X +α X 1 2 α p−1 p−1 (−1)p−1 = b2p−1 (−1) = (−1) + 2 π (2p − 1)2 2p − 1 p=1 p=1 +∞ +∞ X X π α 1 2 α(−1)p−1 2 π 2 (−1)p−1 + = + = +α 4 2 π (2p − 1)2 (2p − 1) π 8 2p − 1 p=1 p=1 +∞ π α π 2α X (−1)p−1 + = + 4 2 4 π 2p − 1 p=1 +∞ X (−1)p−1 On conclut que : p=1 2p − 1 = π 4 Remarque importante Jusqu'à maintenant, nous avons développé en série de Fourier des fonctions supposées 2π périodiques sur tout compact [α, α + 2π]. Supposons maintenant que f est T -périodique. Alors en eectuant la changement d'inconnue : F (x) = f (x) 2π avec x = t T 2π =ω T i,e t = Tx 2π On se ramène à une fonction F qui elle est 2π -périodique. En eet : T Tx Tx F (x + 2π) = f (x + 2π) = f +T =f = F (x) 2π 2π 2π 2π α, α + 2π . Les coecients de Fourier de f sont De plus la fonction F est intégrable sur 2π T T alors : an = bn = Z 2 T f (t) cos(nωt) dt T 0 Z 2 T f (t) sin(nωt) dt T 0 Et le théorème de Dirichlet s'écrit : +∞ f (t+ ) + f (t− ) a0 X = + an cos nωt + bn sin nωt 2 2 n=1 3 Cas d'une fonction quelconque Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a, b] et bornée. I.Elmahi 10 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier 6 f a b - Il est possible d'obtenir un développement en série de Fourier de f . Pour ce faire, il sut de prolonger f en une fonction g dénie sur R et qui soit périodique de période ≥ b − a. Un exemple de prolongement : a b En général, il y a plusieurs prolongements possibles. A chaque prolongement g , on a un développement en série de Fourier qui est de la forme : g(x+ ) + g(x− ) a0 X = + an cos nωx + bn sin nωx 2 2 n=1 2π ω= T En particulier, on peut prolonger f en une fonction g paire ou bien impaire. • Si g est paire, alors : +∞ a0 X g(x+ ) + g(x− ) = + an cos nωx 2 2 n=1 • Si g est impaire, alors : +∞ g(x+ ) + g(x− ) X = bn sin nωx 2 n=1 Exemple Développer en série de Fourier la fonction : f (x) = puis en série de sinus. x 4 pour 0 ≤ x ≤ 2, en une série de cosinus, • Développement en série de cosinus : f (x) = x4 x ∈ [0, 2]. Soit g une fonction T -périodique, paire, dénie par : g(x) = ]0, 2[. I.Elmahi 11 x 4 /x∈ Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier 6 1 2 6 2 0 g est paire, donc : avec : ω = 2π T = 2π 4 4 an = T Z 0 - T g(t) cos nωt dt et bn = 0 2 = π2 . D'où : Z 2 t nπ cos t dt 2 0 4 2 2 Z 2 t 1 t dt = = Pour n = 0, a0 = 8 0 2 0 4 2 Z 2 1 2t π 2 nπ Pour n ≥ 1, an = sin n t − sin t dt 4 nπ 2 0 πn 0 2 nπ i2 1 h 1 t = 2 2 [(−1)n − 1] ⇒ an = 2 2 cos n π 2 0 n π ◦ Si n = 2p, alors : a2p = 0 −2 ◦ Si n = 2p + 1, alors a2p+1 = (2p+1) 2 π2 Puisque g est une fonction réglée (continue), dérivable à gauche et à droite, alors le théorème P+∞ a0 de Dirichlet ⇒ ∀x ∈ R, g(x) = 2 + p=0 a2p+1 . an = +∞ D'où g(x) = 1 X −2 π + cos(2p + 1) 2 2 4 (2p + 1) π 2x p=0 Donc ∀x ∈ R, f (x) = g(x). • Développement en série de sinus : Dans ce cas, on prolongera f par une fonction impaire. 6 1 2 -2 0 2 4 - − 12 I.Elmahi 12 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier g est impaire alors : ( an = 0 bn 4 T = R T 2 0 2 Z bn = 0 bn = bn = g(t) sin(nωt) dt ∀n ≥ 1 ω= 2π 4 = π 2 t nπ sin t dt 4 2 Z 2 nπt t 2 nπ 2 1 cos − · cos t + dt 4 nπ 2 0 2πn 0 2 (−1)n+1 nπ On a g est réglée et continue à droite et à gauche et dérivable à droite et à gauche. D'après le théorème de Dirichlet on a : +∞ nπ g(x− ) + g(x+ ) X (−1)n+1 = sin t 2 nπ 2 ∀x ∈ R, n=1 ∀x ∈]0, 2[, on a : f (x) = g(x) = X (−1)n+1 nπ sin nπ t 2 Car g est continue sur ]0, 2[. 4 Formule de Bessel-Parseval Considérons L22π l'espace des fonctions 2π -périodiques et de carré intégrable sur tout compact de la forme [α, α + 2π] L22π = f : R −→ C / f est 2π − périodique et tq : Z α+2π |f (x)| dx < +∞ 2 α On peut montrer facilement que L22π est un espace vectoriel sur C. Considérons alors l'application : < · , · > : L22π × L22π −→ C Z α+2π 1 f (x)g(x) dx < f, g > 7−→ 2π α On a les propriétés suivantes : ∀f, g, h ∈ L22π ; ∀(λ, µ) ∈ C2 : 1. < λf + µg , h >= λ < f , h > +µ < g , h > 2. < g , f >=< f , g > 3. < f , f > ≥ 0 On dit que < · , · > est un produit scalaire hermitien. A ce produit scalaire hermitien, on associe la norme suivante : pour f ∈ L22π 1 2 ||f || =< f , f > = 1 2π Z α+2π 2 12 |f (x)| dx α Soit donc f une fonction 2π -périodique, développable en série de Fourier, sous la forme : f (x) = +∞ X cn einx avec cn = n=−∞ I.Elmahi 13 1 2π Z 2π f (x)e−inx dx 0 Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier Remarquons que f s'écrit comme combinaison linéaire innie des ϕn (x) avec ϕn (x) = einx . Montrons que (ϕn (x))−∞≤n≤+∞ forme une base orthonormée. On a : Z 1 α + 2πϕn (x)ϕm (x) dx 2π α Z 1 α + 2πeinx e−imx dx 2π α Z 1 α + 2πei(n−m)x dx 2π α < ϕn (x) , ϕm (x) > = = = • Si n = m : < ϕn (x) , ϕm (x) >= • Si n 6= m : 1 2π Z α + 2π1 dx = α 2π =1 2π α+2π −i 1 i(n−m)x =0 < ϕn (x) , ϕm (x) >= e 2π (n − m) α Donc (ϕ(x)) est une base orthonormée. Proposition Le développement en série de Fourier de f f (x) = +∞ X cn einx n=−∞ représente la décomposition de f selon la base orthonormée (einx ) avec n ∈ Z. Conséquence Nous allons établir une relation liant ||f || au coecient de Fourier cn . ||f ||2 = hf , f i = h +∞ X cn einx , n=−∞ = = 2 ||f || 2 ||f || = = +∞ X +∞ X cn heinx , n=−∞ +∞ X cm eimx i m=−∞ +∞ X cm eimx i m=−∞ +∞ X n=−∞ m=−∞ n=+∞ X |cn |2 n=−∞ |cn |2 +∞ X cn cm heinx , eimx i car : he inx , e imx i= 0 si n 6= m 1 si n = m est la formule de Bessel-Parseval qui s'écrit encore : n=−∞ +∞ X 1 |cn | = 2π n=−∞ I.Elmahi 2 Z 14 α+2π |f (x)|2 dx α Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II De plus on a : c0 = cn = cn = a0 2 an −ibn 2 an +ibn 2 Séries de Fourier ∀n ≥ 1 La formule de Bessel-Parseval : +∞ 2||f ||2 = |a0 |2 X + |an |2 + |bn |2 2 n=1 Preuve On a : < . , . > : C × C −→ C (a , b) 7−→ ab ||a||2 = |a|2 =< a , a >= aa. D'où : |an + ibn |2 = |an |2 + |ibn |2 + 2 < an , ibn > = |an |2 + |bn |2 + 2 < an , ibn > = |an |2 + | − bn |2 + 2 < an , −ibn > = |an |2 + |bn |2 − 2 < an , ibn > On a alors : +∞ |a0 |2 1 X + 2(|an |2 + |bn |2 ) + |c1 |2 + |c0 |2 + |c1 |2 + |c2 |2 + . . . ||f || = 4 4 2 n=1 +∞ D'où 2||f ||2 = |a0 |2 X + |an |2 + |bn |2 2 n=1 Exemple Soit f : R −→ R, 2π -périodique paire, dénie par f (x) = x pour 0 < x < π . 1. Coecients de Fourier. 2. Appliquer l'égalite de Bessel-Parseval pour calculer : +∞ X p=0 1 (2p + 1)4 3. En déduire la somme de la série de Riemann : S= +∞ X 1 n4 n=1 6 π −2π 6 I.Elmahi −π 0 15 π 2π - Année 2007-2008 ENSA1 Analyse II Séries de Fourier f est 2π -périodique et paire, donc : bn = 0 R ∀n ≥ 1 π an = π2 0 f (x) cos nx dx Pour n = 0 on a a0 = π . On a : Z π x sin nx π sin nx 2 − dx π n n 0 0 2 h cos nx iπ π n2 0 2 ((−1)n − 1) πn2 an = an = an = • Si n = 2p alors : a2p = 0 • Si n = 2p + 1 alors : a2p+1 = −4 (2p+1)2 π Egalité de Bessel-Parseval : +∞ |a0 |2 X + |an |2 + |bn |2 2 2||f ||2 = n=1 2 1 2π 2π Z 2 +∞ −4 π 2 X = + 2 2 π(2p − 1) 2 |f (x)| dx 0 p=0 Comme x 7−→ |f (x)|2 est 2π -périodique et paire, alors : Z 2π 2 Z π |f (x)| dx = 0 +∞ π π2 16 X 1 x dx = + 2 2 π (2p + 1)4 0 p=0 π +∞ π2 16 X 1 2 x3 = + 2 π 3 0 2 π (2p + 1)4 2 π 2 |f (x)| dx ⇒ −π ⇒ Z 2 p=0 2π 2 ⇒ 3 +∞ X ⇒ p=0 S = = 16 π2 +∞ X p=0 +∞ X p=0 1 (2p + 1)4 1 (2p + 1)4 1 π4 = (2p + 1)4 96 +∞ +∞ +∞ X X X 1 1 1 = + 4 4 n (2p) (2p + 1)4 n=1 S = 2 π4 = 6 × 16 ⇒ S = − π2 1 16 +∞ X p=1 p=1 p=0 1 π4 + p4 96 1 π4 S+ 16 96 15 π4 S= 16 96 ⇒ S= π4 π4 = 6 × 15 90 I.Elmahi 16 Année 2007-2008