CONTINUITE D’UNE FONCTION Soit f une fonction et I un intervalle inclus dans Df. I- Continuité d’une fonction 1) Continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle Définitions : • Dire que f est continue en un point a de I signifie que : lim f (x) = f (a) x→a • Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout point de I. Interprétation graphique : Si f est continue, alors Cf est tracée en un seul morceau. f est continue f (x) = E (x) f n’est pas continue Conséquence : D’après la définition et les théorèmes d’opérations sur les limites, la somme, le produit, la composée de fonction continues sont continues. 2) Dérivabilité et continuité Théorème : • Si f est dérivable en un point a de I, alors f est continue en a. • Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I. Démonstration (BAC) : f (x ) − f (a ) f (x ) − f (a ) = f’(a) Posons : g (x) = . x→a x−a x−a (x – a) g (x) = f (x) – f (a) ⇔ f (x) = f (a) + (x – a) g (x) lim g (x) = f’(a) et lim (x – a) = 0 ⇒ lim f (x) = f (a) f est dérivable en a ⇔ lim x→a x→a x→a Remarques : • La réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Contre-exemple : Soit f : x ï | x |. lim f (x) = 0 = f (0) donc f est continue en 0. x→0 1 x f (x ) − f (0 ) = x−0 x x lim+ x →0 x = lim+ x→0 x =1 x −x = - 1. x →0 x →0 x x En 0, f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles ne sont pas égales. Donc f n’est pas dérivable en 0. lim− x = lim+ • Si f n’est pas continue, alors f n’est pas dérivable. 3) Conséquences : • f : x ï x est continue sur IR *+ . • Les fonctions polynômes sont continues sur car dérivables sur . • Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition. • Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur . • Toutes les fonctions construites algébriquement par somme, produit, quotient, composition de fonctions usuelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition. II- Fonctions continues et résolution d’équations Posons I = [a, b], avec a < b. 1) Théorème des valeurs intermédiaires Théorème : Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors, pour tout réel y compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : f (c) = y. f (a) y f (b) a c b Supposons f (a) ≤ f (b). Le théorème signifie que : • Pour tout y de [f (a), f (b)], l’équation f (x) = y a au moins une solution dans I. • Tout réel y de [f (a), f (b)] est l’image par f d’au moins un réel c de I. c n’est pas unique. Démonstration en travaux dirigés. 2 2) Fonction continue, strictement monotone sur [a, b] Théorème : Si f est continue, strictement croissante sur I, alors : 1) L’image de I par f est [f (a), f (b)]. 2) Pour tout réel y de [f (a), f (b)], l’équation f (x) = y a une solution unique dans I. Démonstration ( BAC) : 1) Montrons que f (I) = [f (a), f (b)]. • Soit x dans I : f (x) ∈ f (I). a ≤ x ≤ b et f strictement croissante sur I ⇒ f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) ⇒ f (x) ∈ [f (a), f (b)] D’où : f (I) ⊂ [f (a), f (b)]. • Soit y dans [f (a), f (b)]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, y est l’image d’au moins un réel c de I. Donc : y ∈ f (I). D’où : [f (a), f (b)] ⊂ f (I). Donc : f (I) = [f (a), f (b)]. 2) Unicité de la solution: L’équation f (x) = y ne peut pas avoir deux solutions car, f étant strictement croissante, 2 réels distincts ont des images distinctes. Cas particulier : Si f est continue et strictement monotone sur I, et si f (a) f (b) < 0, alors l’équation f (x) = 0 a une solution unique dans I. Démonstration : f (a) f (b) < 0 ⇒ f (a) ≠ 0 et f (b) ≠ 0 et f (a) et f (b) de signes contraires. Donc : 0 ∈ [f (a), f (b)] si f est croissante ou 0 ∈ [f (b), f (a)] si f est décroissante. Remarques : • L’existence de la solution de l’équation f (x) = y vient du fait que f est continue. Si f n’est pas continue, alors l’équation f (x) = c n’a pas de solution. Dans l’exemple ci-contre, l’équation f (x) = 2 n’a pas de solution. 2 • L’unicité de la solution de l’équation f (x) = y vient du fait que f est strictement monotone. Dans l’exemple ci-contre, l’équation f (x) = 2 a une infinité de solutions. 2 Exemple : Soit f : x ï x3 – 3x² - 1. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique α dans [2, 4]. Donner un encadrement de α d’amplitude 10- 2. f’(x) = 3x² - 6x = 3x (x – 2) f’(x) = 0 ⇔ 3x (x – 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 x −∞ 0 2 +∞ f'(x) + − + ) ) f (x −1 +∞ - 4 −∞ Sur [2, 4], f est continue car elle est dérivable. Elle est strictement croissante. Donc l’équation f (x) = 0 a une solution unique. 3 A la calculatrice : f (3,1) = - 0,039 et f (3,2) = 1,048. f (3,11) = 0,06393 donc : α ∈ ] 3,1 ; 3,11 [. 4) Extension du théorème précédent Lorsque f est continue et strictement monotone, le théorème précédent s’étend à un intervalle I quelconque. Exemple : Démontrer que l’équation ( E ) : x x = 1 – x a une solution unique sur +. ( E ) ⇔ x x + x = 1 ⇔ f (x) = 1 avec f : x ï x x + x . f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables donc f est continue. x 3 x f’(x) = x + +1= +1 Sur +, f’(x) > 0, donc f est strictement croissante. 2 2 x f ( [0, + ∝[ ) = [ f (0), lim f (x) [ = [0, + ∝[. x → +∞ 1 ∈ [0, + ∝[. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe α dans [0, + ∝[ tel que : f (α) = 0. 5) Notion de fonction réciproque Soit f continue et strictement monotone sur I. Posons f (I) = J. • Pour tout x de I, f (x) ∈ J. • Pour tout y de J, il existe x unique dans I tel que y = f (x). Lorsque ces deux conditions sont réunies, on dit que f est une bijection de I sur J. y = f (x) x = g (y) On peut définir une fonction g sur J : y ï x telle que : y = f (x) ⇔ x = g (y). g est la fonction réciproque de f. On la note f – 1. y = f (x) ⇔ x = f −1 (y ) On a : Pour tout x de I, f −1 [ f (x )] = f − 1 (y ) = x. [ ] Pour tout y de J, f f − 1 (y ) = f (x) = y. 4