NOM : PRENOM : Partiel d’électromagnétisme C.P.I 1 : 2012-2013 Vous attacherez la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si vous pensez avoir repéré ce qui peut vous sembler être une erreur d’énoncé, vous le signalerez sur la copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. Durée : 1H20 Enseignant : J.Geandrot Exercice 1 : questions de cours (6 points) 1.1. Parfois, une distribution de charges globalement neutre peut être modélisée par un dipôle électrostatique. 1.1.1. Expliquer en utilisant la notion de barycentre. 1.1.2. Définir de façon générale un dipôle électrostatique et donner la grandeur qui le caractérise. 1.1.3. Donner un exemple de dipôle. 1.2. Circulation du champ et définition du potentiel : On considère une charge ponctuelle positive située au centre d’un repère sphérique. Soient A et B deux points de l’espace repérés par leurs coordonnées sphériques, ces points sont baignés dans le champ créé par la charge. Faire un schéma. 1.2.1. Rappeler l’expression du champ électrique créé par la charge ponctuelle en un point M de l’espace ? 1.2.2. Calculer la circulation du champ électrostatique créé par la charge ponctuelle entre le point A et le point B. 1 1.2.3. Donner son expression en fonction du potentiel électrostatique des points A et B. 1.2.4. Que peut-on en déduire quant à la définition du potentiel électrostatique en un point de l’espace ? Exercice 2 : lignes de champ et équipotentielle d’un dipôle électrostatique (4 points) 2.1. Rappeler ce qu’est une ligne de champ. −−→ 2.2. Dessiner grossièrement ci-dessous le champ électrique créé par le dipôle N P au niveau des différents repères. 2.3. En déduire le dessin d’une ligne de champ puis représenter la ligne de champ symétrique par rapport à l’axe du dipôle. 2.4. Représenter grossièrement une ligne équipotentielle, en expliquant la démarche. · · · · · • P • N Figure 1 Exercice 3 : champ créé par un disque uniformément chargé (5 points) Soit un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé et portant la densité surfacique de charge σ. 2 Système de coordonnées 3.1. Quel est le système de coordonnées le plus approprié à l’étude de cette distribution ? 3.2. Donner l’expression du champ électrique (la plus générale possible : coordonnées de dépendance et composantes) créé par cette distribution. Symétries et invariances 3.3. Soit un point M situé sur l’axe de révolution du disque. Etudier (en justifiant) les symétries et invariances de cette distribution vues du point M. Donner l’expression générale simplifiée du champ électrique. 3.4. Faites de même si on considère un point M situé en dehors de l’axe de révolution du disque. Calcul du champ sur l’axe par méthode intégrale On se contente ici de calculer le champ créé par le disque en un point M (z > 0) de son axe de révolution. 3.5. Que vaut la portion de surface élémentaire dS dans le système de coordonnées adéquat ? 3.6. Ecrire le champ élémentaire créé par une portion infinitésimale de disque chargé dS. 3.7. Intégrer l’expression précédente et donner l’expression du champ obtenu à une distance z > 0 du centre du disque. Exercice 4 : champ et potentiel créé par un noyau non uniformément chargé (5 points) Les noyaux de certains atomes légers peuvent être modélisés par une distribution volumique de charge à l’intérieur d’une sphère de centre O et de rayon a. Cette sphère n’est pas chargée uniformément : sa densité volumique de charge a pour ! 2 r expression ρ = ρ0 1 − 2 pour r < a où ρ0 est une constante positive. a 4.1. Calculer la charge totale Q contenue dans la sphère modélisant le noyau. 4.2. Etudier les invariances et symétries de la distribution chargée (se placer en un point M en dehors de la sphère). En déduire l’expression (orientation et dépendance) du champ électrique. Rappelons qu’en gravitation, la Terre de masse MT n’a pas une répartition de masse homogène. Pourtant on écrit le champ de gravitation qu’elle crée sans tenir compte de cette non homogénéité. 4.3. Quelle est l’expression du champ de gravitation créé par la Terre en un point M situé à une distance r du centre de celle-ci ? 3 4.4. En déduire, par analogie, le champ électrique créé par la distribution sphérique en un point M de l’espace situé en dehors du noyau ; d’abord en fonction de Q et r puis en fonction de ρ0 , r et a. 4.5. Calculer alors le potentiel en ce même point M en fonction de ρ0 , r et a. On prendra le potentiel nul à l’infini. 4.6. Le champ créé par la sphère à l’intérieur de celle-ci est donné par : → − ρ0 r E int = 30 3 r2 1− 5 a2 ! → − ur Calculer le potentiel en un point M à l’intérieur de la sphère chargée en fonction de ρ0 , r et a. On sait que le potentiel est continu dans tout l’espace. Données — Le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques vaut : → − dl = dr + r dθ + r sin θ dφ — Le volume élémentaire en coordonnées cylindriques s’écrit : dτ = r2 dr sin θ dθ dφ — Le gradient en coordonnées sphériques s’écrit : −−→ 1 ∂ → 1 ∂ → ∂ → − − − er + eθ + eφ grad = ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ — En mathématiques, dans certains cas très particuliers, une intégrale triple peut être transformée en produit de trois intégrales simples : ZZZ Sif (x, y, z) = f1 (x) × f2 (y) × f3 (z), alors : Z Z Z f (x, y, z) dx dy dz = f1 (x) dx × f2 (y) dy × f3 (z) dz En électromagnétisme, on est souvent dans ce cas très particulier ; en l’occurrence ici. 4 Correction Exercice 1 1.1.1. Une distribution de charges globalement neutre peut présenter un barycentre des charges positives et un barycentre des charges négatives distincts. Ainsi, la distribution peut être considérée comme un dipôle centré sur le milieu des barycentres. 1.1.2. Un dipôle électrostatique est un ensemble de deux points qui portent des charges opposées et qui sont espacés d’une distance d. −−→ − p = q N P où q est La grandeur moment dipolaire caractérise ce dipôle. On la note → la charge du "point positif" P. 1.1.3. La molécule d’eau est un bon exemple de dipôle : le barycentre des charges négatives, situé en O, est distinct du barycentre des charges positifs situé à mi-distance entre les deux atomes d’hydrogène. → − E •B → − dl A• Figure 2 1.2.1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle de charge q en un point M distant de r du centre de la charge a pour expression : → − E = q → − er 4π0 r2 (1) − où → er est le vecteur unitaire de la base sphérique. 1.2.2. Calcul de la circulation : Z B CAB = A q q → − − er · dr → er = − 2 4 π0 r 4 π0 r B = A q 4 π 0 1 1 − rA rB (2) → − En effet, le déplacement élémentaire dl est normalement quelconque et vaut en → − coordonnées cylindriques dl = dr + r dθ + r sin θ dφ. Mais le champ n’étant que → − − − suivant → er , le produit scalaire non nul n’est qu’avec la composante suivant → er du dl. 1.2.3. On a également : CAB = V (A) − V (B) 5 (3) 1.2.4. D’après cette définition, c’est la différence de potentiel qui a une signification physique : le potentiel en un point est donc défini à une constante près. Exercice 2 1. Une ligne de champ est une ligne qui en tout point est tangente au champ électrique. 2. Dessin : voir Figure 3. — En bleu sont dessinés les champs électriques créés par la charge positive ; — En rouge sont dessinés les champs électriques créés par la charge négatives ; — En vert les champs résultants ; — En rose, les lignes de champ ; — En orange, les équipotentielles. 3. Voir Figure 3. 4. Voir Figure 3. On sait que les équipotentielles sont perpendiculaires aux ligne de champ en tout point. Exercice 3 3.1. On utilisera le système de coordonnées cylindriques puisque un disque représente une section d’un cylindre. → − − − − 3.2. On a : E (M ) = Er (r, θ, z) → er + Eθ (r, θ, z) → eθ + Ez (r, θ, z) → ez . 3.3. Le système est nécessairement invariant par la coordonnées r car r = 0 sur l’axe de révolution du disque. L’angle θ n’étant pas défini sur ce même axe, il y a invariance par θ également. Tous les plans contenant l’axe de révolution du disque et passant par le point M sont plans de symétries, le champ appartient à tous ces plans donc à l’axe Oz. → − − On peut alors écrire : E (M ) = Ez (z) → ez . 3.4. Si le point M est en dehors de l’axe de révolution, Il n’y a plus qu’invariance par rotation autour de l’axe de révolution du disque. En ce qui concerne les symétries, le plan contenant l’axe de révolution du disque et le point M est plan de symétrie, le champ appartient à ce plan. Ce plan étant défini par → − − − les vecteurs → er et → ez , le champ E aura deux composantes suivant ces deux directions. 6 Figure 3 – Lignes de champ et équipotentielles du dipôle électrostatique 7 → − − − Finalement E (M ) = Er (r, z) → er + Ez (r, z) → ez 3.5. On a dS = r dr dθ. 3.6. D’après la loi de Coulomb : −−→ → − σ dS P M dE = (4) 4π0 P M 3 − ez , on peut sommer les projections des champs 3.7. Le champ total étant dirigé suivant → élémentaires sur ce même axe : −−→ − −− → − \ → − → σ dS P M · → σ dS P M × cos (P M , → ez ez ) − dEz = d E · ez = = 3 3 4π0 P M 4π0 PM σ dS P M × z σ dS z = = 4π0 P M 4 4π0 P M 3 √ Or, d’après le théorème de Pythagore, P M = r2 + z 2 : Finalement : dEz = z σdS √ 2 4π0 ( r + z 2 )3 (5) (6) (7) On doit maintenant sommer tous les champs élémentaires dEz créé par chaque élément infinitésimal de surface dS. Pour parcourir la surface du disque, on fait varier r de 0 à R et θ de 0 à 2π. Donc : ZZ z σdS √ Ez (M ) = (8) 2 4π P ∈S 0 ( r + z 2 )3 ZZ σ × r × dr × dθ z √ = (9) 4π0 ( r 2 + z 2 )3 P ∈S Z 2π Z R r × dr σz √ dθ (10) = 4π0 0 ( r2 + z 2 )3 0 r r On cherche une primitive de √ = 2 = r × (r2 + z 2 )−3/2 . 2 2 3 (r + z 2 )3/2 ( r +z ) un+1 On reconnaît la formule u0 × un dont la primitive est à un facteur 1/2 près. n+1 Ainsi : " σz 1 (r2 + z 2 )−3/2+1 Ez (M ) = 4π0 2 −3/2 + 1 " σz 1 (r2 + z 2 )−1/2 = 4π0 2 −1/2 #R 8 (11) 0 #R [θ]2π 0 (12) 0 −σz 1 1 √ −√ = 2 2 4π0 R +z z2 −σ z z √ = − 2 2 20 |z| R +z [θ]2π 0 × 2π (13) (14) Comme ici z est positif : → − σ z → − E (z > 0) = 1− √ ez 2 2 20 R +z (15) Exercice 4 4.1. La charge élémentaire dQ s’écrit dQ = ρ dτ avec dτ le volume élémentaire en coordonnées sphériques. On va donc intégrer cette charge élémentaire sur le volume élémentaire afin de parcourir toute la sphère. Pour cela, il faut intégrer de 0 à a sur r, de 0 à π sur θ et de 0 à 2π sur φ. Cela donne : ZZZ Q= ρ dτ ZZZ Z a = ρ0 0 Z a = ρ0 0 Z a = ρ0 0 " = ρ0 = ρ0 r2 a2 1− ρ0 = (16) r2 1− 2 a r3 r5 − 2 3 5a = 8 π ρ0 r2 dr × Z π (17) sin θ dθ × Z 2π dφ 0 ! dr × Z π sin θ dθ × Z 2π r2 dr × dφ (19) 0 0 ! (18) 0 Z π sin θ dθ × 0 Z 2π dφ (20) 0 #a a5 a3 − 2 3 5a = 4π ρ0 r2 dr sin θ dθ dφ ! r4 r2 − 2 a r2 1− 2 a ! × [− cos θ]π0 × [φ]2π 0 (21) × 2 × 2π (22) 0 ! 5a3 − 3a3 15 ! (23) a3 15 (24) 4.2. En utilisant les coordonnées sphériques, on peut dire qu’il y a invariances par toutes rotations, donc invariances selon θ et φ. Le champ électrostatique ne dépend donc que de la coordonnées r. Au niveau des symétries, tout plan passant par M et par O, le centre de la sphère est plan de symétrie : le champ électrostatique appartient à tous ces plans donc à leur − intersection : il est dirigé suivant le vecteur → er . → − − Finalement : E (M ) = Er (r) → er . 9 4.3. Le champ de gravitation exercé par la Terre s’écrit : MT − → − ur g = −G 2 → r (25) 4.4. Ainsi, une sphère chargée d’une charge Q créé un champ : → − E = 1 Q→ 8πρ0 a3 → 2ρ0 a3 → − − − u = u = ur r r 4π0 r2 4π0 15r2 0 15 r2 (26) −−→ → − 4.5. Pour calculer le potentiel, on utilise la relation E = −grad V . −−→ dV → − − ur . Ici, le champ n’étant dirigé que suivant → ur , grad V = dr Ainsi : 8πρ0 a3 dV =− 2 4π0 15r dr 2ρ0 a3 ⇐⇒ dV = − dr 0 15 r2 2ρ0 a3 1 ⇐⇒ V = + cste 0 15 r (27) (28) (29) Or on sait que V (r → ∞) = 0 d’où cste = 0. 4.6. On utilise la même relation pour calculer le potentiel à l’intérieur de la sphère à partir du champ donné : ρ0 r dV = − 30 ⇐⇒ V = − 3 r2 1− 5 a2 ! dr ρ0 r2 3 ρ0 r4 + cste + 60 40 15a2 (30) (31) Sachant que le potentiel est continu partout, il est en r = a. cette continuité nous permet d’exprimer la constante ci-dessus : 2ρ0 a3 1 ρ0 a2 3 ρ0 a4 + cste =− + 0 15 a 60 40 15a2 ρ0 a2 2 1 1 ⇐⇒ cste = + − 0 15 6 20 ρ0 a2 ⇐⇒ cste = 4 0 (32) (33) (34) Finalement, lorsque r < a : V =− ρ0 r 2 3 ρ0 r 4 ρ0 a2 + + 60 40 15a2 4 0 10 (35)