PHS3104 - Mécanique quantique II

Département de génie physique
École Polytechnique de Montréal
PHS3104 - Mécanique quantique II
Devoir #4 – Automne 2013
(à remettre le 12 novembre au début du cours)
4.1
Atomes polyélectroniques
On considère un atome dans la configuration électronique 3d2 (Z=22).
a) Déterminer les valeurs possibles des nombres quantiques S et L et les termes
spectroscopiques (symboles) correspondants (incluant ceux qui ne sont pas permis par
le principe d’exclusion) ;
b) Déterminer le triplet (JLS) et son symbole spectroscopique pour la configuration
fondamentale (de plus basse énergie) et préciser sa dégénérescence ;
c) Si on applique un champ magnétique de 1 tesla, il y aura une levée de dégénérescence
des états du niveau fondamental : déterminer l’écart d’énergie entre ces états (unité eV).
Solution 4.1
a)
Une configuration électronique
, correspond à deux électrons dans le niveau
, avec un moment
angulaire
. Les moments angulaires totaux
ainsi que les moments de spins totaux
possibles,
sont présentés au tableau 1 avec leur terme spectroscopique respectif.
Les états permis qui satisfont la condition d’antisymétrisation de la fonction d’onde totale des électrons
dû au principe d’exclusion de Pauli sont indiqués en gris (note : on ne demandait pas de les identifier
dans la question).
b) À partir des trois règles de Hund, nous avons
i.
Maximiser le moment de spin total :
.
ii.
Suite à i., maximiser le moment agulaire total :
iii.
Puisque l’état
est rempli moins que la moitié :
Ainsi, nous obtenons la configuration
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.
.
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dont le terme spectroscopique est
c)
En considérant
1
0
1
-2
, et la dégénérescence de l’état est donnée par
.
, l’Hamiltonien, dû à l’effet Zeeman, s’exprime comme
La valeur moyenne de l’opérateur correspond alors à
, avec la
dégénérescence
. L’écart d’énergie entre les états
correspond alors à,
.
Avec
T et le facteur de Landé
l’écart d’énergie est,
4.2
Couplage spin orbite pour un électron 3d
Soit un atome avec un électron dans la configuration 3d. Calculer le clivage, E/, dû à
l’interaction spin orbite : L  S .
Solution 4.2
Soit l’Hamiltonien dû au couplage spin-orbite,
La valeur moyenne de l’opérateur est,
Pour calculer l’effet de cet opérateur, on peut considérer

ˆ  Sˆ
Jˆ 2  L

2
ˆ 2  Sˆ 2  2L
ˆ  Sˆ
L
ˆ  Sˆ  1  Jˆ 2  L
ˆ 2  Sˆ 2 
 L
2 

Le clivage dû au couplage spin-orbite peut alors s’exprimer comme
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Pour une configuration
:
,
,
, de sorte que
Donc le niveau 3d de l’électron se divise en deux niveaux (doublet) séparés en énergie par ESO.
4.3
Effet d’un champ magnétique sur l’électron
On considère un électron libre en présence d’un faible champ magnétique constant dans la
direction x positive. On rappel que B peut être lié à un potentiel vecteur par B   A .
a) Écrire l’Hamiltonien total (spatial et spin) pour un électron libre en présence du faible
champ magnétique constant dans la direction x positive ;
b) Développer l’expression en a) sous forme d’un Hamiltonien principal, pˆ 2 / 2me ,
additionné d’un terme de perturbation (on peut négliger les termes d’ordre B2) ;
c) Trouver une expression pour le champ de vecteur A(r), correspondant au champ B
parallèle à l’axe x ;
d) Calculer les corrections au premier ordre à l’énergie en fonction de B.
Solution 4.3
a)
À partir de l’Hamiltonien de Pauli avec champ magnétique,
l’Hamiltonien pour une particule libre,
déduit,
et
(pas de couplage spin-orbite), s’en
b) En développant l’expression de a), l’Hamiltonien devient,
En négligeant le terme
:
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et en admettant p·A  A·p (vu en classe), nous trouvons en posant
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c)
Soit,
ainsi que
Par identification,
Une solution possible à ce système (il en existe d’autres) est
d) La correction de l’énergie au premier ordre est donnée par (méthode des perturbations stationnaires, cas
dégénéré)
où
, sont les éléments de matrice de l’Hamiltonien
.
Les états ,
correspondent donc aux états propres de l’Hamiltonien non perturbé (terme d’énergie
cinétique seulement, ce qui correspond à des états pour l’électron libre, deux fois dégénérés à cause des
deux états de spin). Les états s’expriment donc comme un produit d’ondes planes (état propre de l’électron
libre) multiplié un état propre de spin. En considérant la représentation de l’état de spin dans la base de
l’opérateur , les fonctions d’onde sont
où V est le volume d’intégration (facteur de normalisation).
Calcul de
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En posant,
En considérant
,
En posant le volume du système comme
En exprimant
,
et la vitesse de l’électron comme
, nous trouvons
En procédant de manière analogue pour les trois autres termes, nous obtenons
La correction de l’énergie au premier ordre s’en déduit alors en calculant le déterminant,
Il y a donc une levée de dégénérescence en deux niveaux d’énergie, pour l’électron libre en présence d’un
champ magnétique.
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